Métodos de celosía de Boltzmann

Los métodos Lattice Boltzmann (LBM) , originados a partir del método de los autómatas de gas de celosía (LGA) (modelos de Hardy- Pomeau -Pazzis y Frisch - Hasslacher - Pomeau ), son una clase de métodos de dinámica de fluidos computacional (CFD) para la simulación de fluidos . En lugar de resolver las ecuaciones de Navier-Stokes directamente, se simula una densidad de fluido en una red con procesos de flujo y colisión (relajación). ^[1] El método es versátil ^[1]ya que el fluido modelo se puede hacer directamente para imitar el comportamiento de fluido común como la coexistencia de vapor / líquido, y así se pueden simular sistemas de fluido como gotas de líquido. Además, los fluidos en entornos complejos, como los medios porosos, se pueden simular directamente, mientras que con límites complejos puede resultar difícil trabajar con otros métodos CFD.

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Reproducir medios

Simulación por computadora en dos dimensiones, utilizando el método Lattice Boltzmann, de una gota que comienza estirada y se relaja hasta su forma circular de equilibrio.

Algoritmo

LBM es relativamente nuevo ^{[ ¿cuándo? ]} técnica de simulación para sistemas de fluidos complejos y ha atraído el interés de investigadores en física computacional. A diferencia de los métodos CFD tradicionales, que resuelven las ecuaciones de conservación de propiedades macroscópicas (es decir, masa, momento y energía) numéricamente, LBM modela el fluido que consiste en partículas ficticias, y dichas partículas realizan procesos consecutivos de propagación y colisión sobre una red discreta. Debido a su naturaleza particulada y dinámica local, LBM tiene varias ventajas sobre otros métodos CFD convencionales, especialmente en el tratamiento de límites complejos, incorporando interacciones microscópicas y paralelización del algoritmo. ^{[ cita requerida ]} Una interpretación diferente de la ecuación de celosía de Boltzmann es la de una ecuación de Boltzmann de velocidad discreta . Los métodos numéricos de solución del sistema de ecuaciones diferenciales parciales dan lugar entonces a un mapa discreto, que puede interpretarse como la propagación y colisión de partículas ficticias.

Esquema de los vectores de celosía D2Q9 para 2D Lattice Boltzmann

En un algoritmo, hay pasos de colisión y transmisión. Estos evolucionan la densidad del fluido. ${\ Displaystyle \ rho ({\ vec {x}}, t)}$ , por ${\ Displaystyle {\ vec {x}}}$ la posición y ${\ Displaystyle t}$ el tiempo. Como el fluido está en una red, la densidad tiene varios componentes ${\ Displaystyle f_ {i}, i = 0, \ ldots, a}$ igual al número de vectores de celosía conectados a cada punto de celosía. Como ejemplo, aquí se muestran los vectores de celosía para una celosía simple utilizada en simulaciones en dos dimensiones. Esta celosía generalmente se denota D2Q9, para dos dimensiones y nueve vectores: cuatro vectores a lo largo del norte, este, sur y oeste, más cuatro vectores en las esquinas de un cuadrado unitario, más un vector con ambos componentes cero. Entonces, por ejemplo, vector ${\ Displaystyle {\ vec {e}} _ {4} = (0, -1)}$ , es decir, apunta hacia el sur y, por lo tanto, no tiene ${\ Displaystyle x}$ componente pero un ${\ Displaystyle y}$ componente de ${\ Displaystyle -1}$ . Entonces, uno de los nueve componentes de la densidad total en el punto central de la red, ${\ Displaystyle f_ {4} ({\ vec {x}}, t)}$ , es esa parte del fluido en el punto ${\ Displaystyle {\ vec {x}}}$ moviéndose hacia el sur, a una velocidad en unidades de celosía de uno.

Entonces, los pasos que hacen evolucionar el fluido en el tiempo son: ^[1]

El paso de la colisión: ${\ Displaystyle f_ {i} ({\ vec {x}}, t + \ delta _ {t}) = f_ {i} ({\ vec {x}}, t) + {\ frac {f_ {i} ^ {eq} ({\ vec {x}}, t) -f_ {i} ({\ vec {x}}, t)} {\ tau _ {f}}} \, \!}$; que es el modelo de Bhatnagar Gross y Krook (BGK) ^[2] para la relajación hasta el equilibrio mediante colisiones entre las moléculas de un fluido. ${\ Displaystyle f_ {i} ^ {eq} ({\ vec {x}}, t)}$ es la densidad de equilibrio a lo largo de la dirección i a la densidad de corriente allí. El modelo asume que el fluido se relaja localmente hasta el equilibrio durante una escala de tiempo característica. ${\ Displaystyle \ tau _ {f}}$ . Esta escala de tiempo determina la viscosidad cinemática , cuanto mayor es, mayor es la viscosidad cinemática.
El paso de transmisión: ${\ Displaystyle f_ {i} ({\ vec {x}} + {\ vec {e}} _ {i}, t + \ delta _ {t}) = f_ {i} ({\ vec {x}}, t) \, \!}$; Como ${\ Displaystyle f_ {i} ({\ vec {x}}, t)}$ es, por definición, la densidad del fluido en el punto ${\ Displaystyle {\ vec {x}}}$ en el momento ${\ Displaystyle t}$ , que se mueve a una velocidad de ${\ Displaystyle {\ vec {e}} _ {i}}$ por paso de tiempo, luego en el siguiente paso de tiempo ${\ Displaystyle t + \ delta _ {t}}$ habrá fluido para apuntar ${\ Displaystyle {\ vec {x}} + {\ vec {e}} _ {i}}$ .

Ventajas

El LBM fue diseñado desde cero para ejecutarse de manera eficiente en arquitecturas masivamente paralelas , que van desde FPGA y DSP integrados de bajo costo hasta GPU y clústeres y supercomputadoras heterogéneas (incluso con una red de interconexión lenta). Permite física compleja y algoritmos sofisticados. La eficiencia conduce a un nivel de comprensión cualitativamente nuevo, ya que permite resolver problemas que antes no se podían abordar (o solo con una precisión insuficiente).
El método se origina a partir de una descripción molecular de un fluido y puede incorporar directamente términos físicos derivados del conocimiento de la interacción entre moléculas. Por tanto, es un instrumento indispensable en la investigación fundamental, ya que mantiene corto el ciclo entre la elaboración de una teoría y la formulación de un modelo numérico correspondiente.
Preprocesamiento automatizado de datos y generación de celosías en un tiempo que representa una pequeña fracción de la simulación total.
Análisis, posprocesamiento y evaluación de datos en paralelo.
Flujo multifásico completamente resuelto con pequeñas gotas y burbujas.
Flujo completamente resuelto a través de geometrías complejas y medios porosos.
Flujo complejo, acoplado con transferencia de calor y reacciones químicas.

Limitaciones

A pesar de la creciente popularidad de LBM en la simulación de sistemas de fluidos complejos, este enfoque novedoso tiene algunas limitaciones. En la actualidad, los flujos de alto número de Mach en aerodinámica siguen siendo difíciles para LBM, y no existe un esquema termohidrodinámico consistente. Sin embargo, al igual que con la CFD basada en Navier-Stokes, los métodos LBM se han combinado con éxito con soluciones térmicas específicas para permitir la capacidad de simulación de transferencia de calor (conducción, convección y radiación basada en sólidos). Para los modelos multifase / multicomponente, el grosor de la interfaz suele ser grande y la relación de densidad a través de la interfaz es pequeña en comparación con los fluidos reales. Recientemente, este problema ha sido resuelto por Yuan y Schaefer, quienes mejoraron los modelos de Shan y Chen, Swift y He, Chen y Zhang. Pudieron alcanzar proporciones de densidad de 1000: 1 simplemente cambiando la ecuación de estado . Se ha propuesto aplicar la transformación galileana para superar la limitación del modelado de flujos de fluidos a alta velocidad. ^[3] Sin embargo, las amplias aplicaciones y los rápidos avances de este método durante los últimos veinte años han demostrado su potencial en la física computacional, incluida la microfluídica : ^{[ cita requerida ]} LBM demuestra resultados prometedores en el área de flujos de alto número de Knudsen . ^{[ cita requerida ]}

Desarrollo a partir del método LGA

LBM se originó a partir del método de autómatas de gas de celosía (LGA), que puede considerarse como un modelo de dinámica molecular ficticio simplificado en el que el espacio, el tiempo y las velocidades de las partículas son todos discretos. Por ejemplo, en el modelo FHP bidimensional, cada nodo de celosía está conectado a sus vecinos por 6 velocidades de celosía en una celosía triangular; puede haber 0 o 1 partículas en un nodo de la red que se mueva con una velocidad de red dada. Después de un intervalo de tiempo, cada partícula se moverá al nodo vecino en su dirección; este proceso se denomina paso de propagación o transmisión. Cuando más de una partícula llega al mismo nodo desde diferentes direcciones, chocan y cambian sus velocidades de acuerdo con un conjunto de reglas de colisión. Los pasos de transmisión y los pasos de colisión se alternan. Las reglas de colisión adecuadas deberían conservar el número de partículas (masa), el momento y la energía antes y después de la colisión. LGA adolece de varios defectos innatos para su uso en simulaciones hidrodinámicas: falta de invariancia galileana para flujos rápidos, ruido estadístico y escalado deficiente del número de Reynolds con el tamaño de la red. Sin embargo, los LGA son adecuados para simplificar y ampliar el alcance de los modelos de dinámica molecular y difusión de reacciones .

La principal motivación para la transición de LGA a LBM fue el deseo de eliminar el ruido estadístico reemplazando el número de partículas booleanas en una dirección reticular con su promedio de conjunto, la llamada función de distribución de densidad. Junto con este reemplazo, la regla de colisión discreta también se reemplaza por una función continua conocida como operador de colisión. En el desarrollo de LBM, una simplificación importante es aproximar el operador de colisión con el término de relajación Bhatnagar-Gross-Krook (BGK). Este modelo de celosía BGK (LBGK) hace que las simulaciones sean más eficientes y permite la flexibilidad de los coeficientes de transporte. Por otro lado, se ha demostrado que el esquema LBM también se puede considerar como una forma discretizada especial de la ecuación de Boltzmann continua. A partir de la teoría de Chapman-Enskog , se puede recuperar la continuidad gobernante y las ecuaciones de Navier-Stokes del algoritmo LBM. Además, también está disponible directamente a partir de las distribuciones de densidad y, por lo tanto, no hay una ecuación de Poisson adicional para resolver como en los métodos CFD tradicionales.

Las celosías y la clasificación D n Q m

Los modelos Lattice Boltzmann se pueden operar en una serie de celosías diferentes, tanto cúbicas como triangulares, y con o sin partículas en reposo en la función de distribución discreta.

Una forma popular de clasificar los diferentes métodos por celosía es el esquema D n Q m . Aquí "D n " significa " n dimensiones", mientras que "Q m " significa " m velocidades". Por ejemplo, D3Q15 es un modelo de Boltzmann de celosía tridimensional en una cuadrícula cúbica, con partículas en reposo presentes. Cada nodo tiene una forma de cristal y puede entregar partículas a 15 nodos: cada uno de los 6 nodos vecinos que comparten una superficie, los 8 nodos vecinos que comparten una esquina y él mismo. ^[4] (El modelo D3Q15 no contiene partículas que se muevan a los 12 nodos vecinos que comparten un borde; agregarlos crearía un modelo "D3Q27").

Las cantidades reales como espacio y tiempo deben convertirse en unidades de celosía antes de la simulación. Las cantidades adimensionales, como el número de Reynolds , siguen siendo las mismas.

Conversión de unidades de celosía

En la mayoría de las simulaciones de Lattice Boltzmann ${\ Displaystyle \ delta _ {x} \, \!}$ es la unidad básica para el espaciado de celosía, por lo que si el dominio de la longitud ${\ Displaystyle L \, \!}$ posee ${\ Displaystyle N \, \!}$ unidades de celosía a lo largo de toda su longitud, la unidad de espacio se define simplemente como ${\ Displaystyle \ delta _ {x} = L / N \, \!}$ . Las velocidades en las simulaciones de celosía de Boltzmann se dan típicamente en términos de la velocidad del sonido. Por tanto, la unidad de tiempo discreta se puede dar como ${\ Displaystyle \ delta _ {t} = {\ frac {\ delta _ {x}} {C_ {s}}} \, \!}$ , donde el denominador ${\ Displaystyle C_ {s}}$ es la velocidad física del sonido. ^[5]

Para flujos a pequeña escala (como los que se ven en la mecánica de medios porosos ), operar con la verdadera velocidad del sonido puede conducir a pasos de tiempo inaceptablemente cortos. Por lo tanto, es común aumentar el número de Mach de la red a algo mucho mayor que el número de Mach real, y compensar esto aumentando también la viscosidad para preservar el número de Reynolds . ^[6]

Simulación de mezclas

La simulación de flujos multifase / multicomponente siempre ha sido un desafío para los CFD convencionales debido a las interfaces móviles y deformables . Más fundamentalmente, las interfaces entre diferentes fases (líquido y vapor) o componentes (por ejemplo, aceite y agua) se originan a partir de interacciones específicas entre moléculas de fluido. Por lo tanto, es difícil implementar tales interacciones microscópicas en la ecuación macroscópica de Navier-Stokes. Sin embargo, en LBM, la cinética de partículas proporciona una forma relativamente fácil y consistente de incorporar las interacciones microscópicas subyacentes modificando el operador de colisión. Se han desarrollado varios modelos LBM multifase / multicomponente. Aquí, las separaciones de fase se generan automáticamente a partir de la dinámica de partículas y no se necesita ningún tratamiento especial para manipular las interfaces como en los métodos CFD tradicionales. Se pueden encontrar aplicaciones exitosas de modelos LBM multifase / multicomponente en varios sistemas de fluidos complejos, que incluyen inestabilidad de la interfaz, dinámica de burbujas / gotas , humectación en superficies sólidas, deslizamiento interfacial y deformaciones electrohidrodinámicas de gotas.

Recientemente se ha propuesto un modelo de celosía de Boltzmann para la simulación de la combustión de una mezcla de gases capaz de adaptarse a variaciones de densidad significativas en un régimen de número de Mach bajo. ^[7]

A este respecto, vale la pena señalar que, dado que LBM trata con un conjunto más grande de campos (en comparación con CFD convencional), la simulación de mezclas de gases reactivos presenta algunos desafíos adicionales en términos de demanda de memoria en cuanto a grandes mecanismos de combustión detallados. están preocupados. Sin embargo, estos problemas pueden abordarse recurriendo a técnicas de reducción de modelos sistemáticos. ^[8]^[9]^[10]

Método de celosía térmica-Boltzmann

Actualmente (2009), un método de celosía térmica-Boltzmann (TLBM) cae en una de tres categorías: el enfoque de múltiples velocidades, ^[11] el enfoque escalar pasivo, ^[12] y la distribución de energía térmica. ^[13]

Derivación de la ecuación de Navier-Stokes a partir de LBE discreto

Comenzando con la ecuación de Boltzmann de celosía discreta (también conocida como ecuación LBGK debido al operador de colisión utilizado). Primero hacemos una expansión de la serie de Taylor de segundo orden sobre el lado izquierdo del LBE. Esto se elige en lugar de una expansión de Taylor de primer orden más simple, ya que el LBE discreto no se puede recuperar. Al hacer la expansión de la serie de Taylor de segundo orden, el término de la derivada cero y el primer término de la derecha se cancelarán, dejando solo los términos de la primera y segunda derivada de la expansión de Taylor y el operador de colisión:

{\ Displaystyle f_ {i} ({\ vec {x}} + {\ vec {e}} _ {i} \ delta _ {t}, t + \ delta _ {t}) = f_ {i} ({\ vec {x}}, t) + {\ frac {\ delta _ {t}} {\ tau _ {f}}} (f_ {i} ^ {eq} -f_ {i}).}

Por simplicidad, escriba ${\ Displaystyle f_ {i} ({\ vec {x}}, t)}$ como ${\ Displaystyle f_ {i}}$ . La expansión de la serie de Taylor ligeramente simplificada es la siguiente, donde ":" es el producto de dos puntos entre díadas:

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial f_ {i}} {\ parcial t}} + {\ vec {e}} _ {i} \ cdot \ nabla f_ {i} + \ left ({\ frac {1} {2}} {\ vec {e}} _ {i} {\ vec {e}} _ {i}: \ nabla \ nabla f_ {i} + {\ vec {e}} _ {i} \ cdot \ nabla {\ frac {\ parcial f_ {i}} {\ parcial t}} + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ parcial ^ {2} f_ {i}} {\ parcial t ^ { 2}}} \ right) = {\ frac {1} {\ tau}} (f_ {i} ^ {eq} -f_ {i}).}

Al expandir la función de distribución de partículas en componentes de equilibrio y no equilibrio y utilizando la expansión de Chapman-Enskog, donde ${\ Displaystyle K}$ es el número de Knudsen, el LBE expandido por Taylor se puede descomponer en diferentes magnitudes de orden para el número de Knudsen con el fin de obtener las ecuaciones continuas adecuadas:

{\ Displaystyle f_ {i} = f_ {i} ^ {\ text {eq}} + Kf_ {i} ^ {\ text {neq}},}

{\ Displaystyle f_ {i} ^ {\ text {neq}} = f_ {i} ^ {(1)} + Kf_ {i} ^ {(2)} + O (K ^ {2}).}

Las distribuciones de equilibrio y no equilibrio satisfacen las siguientes relaciones con sus variables macroscópicas (estas se utilizarán más adelante, una vez que las distribuciones de partículas estén en la "forma correcta" para escalar desde el nivel de partícula hasta el nivel macroscópico):

{\ Displaystyle \ rho = \ sum _ {i} f_ {i} ^ {\ text {eq}},}

{\ Displaystyle \ rho {\ vec {u}} = \ sum _ {i} f_ {i} ^ {\ text {eq}} {\ vec {e}} _ {i},}

{\ Displaystyle 0 = \ sum _ {i} f_ {i} ^ {(k)} \ qquad {\ text {for}} k = 1,2,}

{\ Displaystyle 0 = \ sum _ {i} f_ {i} ^ {(k)} {\ vec {e}} _ {i}.}

La expansión Chapman – Enskog es entonces:

{\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial} {\ t parcial}} = K {\ frac {\ parcial} {\ t parcial_ {1}}} + K ^ {2} {\ frac {\ parcial} {\ parcial t_ {2}}} \ qquad {\ text {para}} t_ {2} ({\ text {escala de tiempo difusiva}}) \ ll t_ {1} ({\ text {escala de tiempo convectiva}}), }

{\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} = K {\ frac {\ parcial} {\ parcial x_ {1}}}.}

Sustituyendo el equilibrio expandido y el no equilibrio en la expansión de Taylor y separándolo en diferentes órdenes de ${\ Displaystyle K}$ , las ecuaciones del continuo están casi derivadas.

Para ordenar ${\ Displaystyle K ^ {0}}$ :

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial f_ {i} ^ {\ text {eq}}} {\ parcial t_ {1}}} + {\ vec {e}} _ {i} \ nabla _ {1} f_ {i} ^ {\ text {eq}} = - {\ frac {f_ {i} ^ {(1)}} {\ tau}}.}

Para ordenar ${\ Displaystyle K ^ {1}}$ :

{\ Displaystyle {\ frac {\ f_ parcial {i} ^ {(1)}} {\ t_ parcial_ {1}}} + {\ frac {\ f_ parcial {i} ^ {\ text {eq}}} { \ parcial t_ {2}}} + {\ vec {e}} _ {i} \ nabla f_ {i} ^ {(1)} + {\ frac {1} {2}} {\ vec {e}} _ {i} {\ vec {e}} _ {i}: \ nabla \ nabla f_ {i} ^ {\ text {eq}} + {\ vec {e}} _ {i} \ cdot \ nabla {\ frac {\ parcial f_ {i} ^ {\ text {eq}}} {\ parcial t_ {1}}} + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ parcial ^ {2} f_ {i } ^ {\ text {eq}}} {\ parcial t_ {1} ^ {2}}} = - {\ frac {f_ {i} ^ {(2)}} {\ tau}}.}

Luego, la segunda ecuación se puede simplificar con algo de álgebra y la primera ecuación en lo siguiente:

{\ estilo de visualización {\ frac {\ f_ parcial {i} ^ {\ text {eq}}} {\ t_ parcial {2}}} + \ left (1 - {\ frac {1} {2 \ tau}} \ derecha) \ izquierda [{\ frac {\ parcial f_ {i} ^ {(1)}} {\ parcial t_ {1}}} + {\ vec {e}} _ {i} \ nabla _ {1} f_ {i} ^ {(1)} \ right] = - {\ frac {f_ {i} ^ {(2)}} {\ tau}}.}

Aplicando las relaciones entre las funciones de distribución de partículas y las propiedades macroscópicas de arriba, se logran las ecuaciones de masa y momento:

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial \ rho} {\ parcial t}} + \ nabla \ cdot \ rho {\ vec {u}} = 0,}

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial \ rho {\ vec {u}}} {\ parcial t}} + \ nabla \ cdot \ Pi = 0.}

El tensor de flujo de impulso ${\ Displaystyle \ Pi}$ tiene la siguiente forma entonces:

{\ Displaystyle \ Pi _ {xy} = \ sum _ {i} {\ vec {e}} _ {ix} {\ vec {e}} _ {iy} \ left [f_ {i} ^ {eq} + \ left (1 - {\ frac {1} {2 \ tau}} \ right) f_ {i} ^ {(1)} \ right],}

dónde ${\ Displaystyle {\ vec {e}} _ {ix} {\ vec {e}} _ {iy}}$ es la abreviatura del cuadrado de la suma de todos los componentes de ${\ Displaystyle {\ vec {e}} _ {i}}$ (es decir ${\ Displaystyle \ textstyle \ left (\ sum _ {x} {\ vec {e}} _ {ix} \ right) ^ {2} = \ sum _ {x} \ sum _ {y} {\ vec {e }} _ {ix} {\ vec {e}} _ {iy}}$ ), y la distribución de partículas de equilibrio con segundo orden para ser comparable a la ecuación de Navier-Stokes es:

{\ Displaystyle f_ {i} ^ {\ text {eq}} = \ omega _ {i} \ rho \ left (1 + {\ frac {{\ vec {e}} _ {i} {\ vec {u} }} {c_ {s} ^ {2}}} + {\ frac {({\ vec {e}} _ {i} {\ vec {u}}) ^ {2}} {2c_ {s} ^ { 4}}} - {\ frac {{\ vec {u}} ^ {2}} {2c_ {s} ^ {2}}} \ derecha).}

La distribución de equilibrio solo es válida para velocidades pequeñas o números de Mach pequeños . Insertar la distribución de equilibrio nuevamente en el tensor de flujo conduce a:

{\ Displaystyle \ Pi _ {xy} ^ {(0)} = \ sum _ {i} {\ vec {e}} _ {ix} {\ vec {e}} _ {iy} f_ {i} ^ { eq} = p \ delta _ {xy} + \ rho u_ {x} u_ {y},}

{\ Displaystyle \ Pi _ {xy} ^ {(1)} = \ left (1 - {\ frac {1} {2 \ tau}} \ right) \ sum _ {i} {\ vec {e}} _ {ix} {\ vec {e}} _ {iy} f_ {i} ^ {(1)} = \ nu \ left (\ nabla _ {x} \ left (\ rho {\ vec {u}} _ { y} \ derecha) + \ nabla _ {y} \ izquierda (\ rho {\ vec {u}} _ {x} \ derecha) \ derecha).}

Finalmente, la ecuación de Navier-Stokes se recupera bajo el supuesto de que la variación de densidad es pequeña:

{\ Displaystyle \ rho \ left ({\ frac {\ parcial {\ vec {u}} _ {x}} {\ parcial t}} + \ nabla _ {y} \ cdot {\ vec {u}} _ { x} {\ vec {u}} _ {y} \ right) = - \ nabla _ {x} p + \ nu \ nabla _ {y} \ cdot \ left (\ nabla _ {x} \ left (\ rho { \ vec {u}} _ {y} \ right) + \ nabla _ {y} \ left (\ rho {\ vec {u}} _ {x} \ right) \ right).}

Esta derivación sigue el trabajo de Chen y Doolen. ^[14]

Ecuaciones matemáticas para simulaciones

La ecuación de Boltzmann continua es una ecuación de evolución para una función de distribución de probabilidad de una sola partícula ${\ Displaystyle f ({\ vec {x}}, {\ vec {e}} _ {i}, t)}$ y la función de distribución de densidad de energía interna ${\ Displaystyle g ({\ vec {x}}, {\ vec {e}} _ {i}, t)}$ (He et al.) Son respectivamente:

{\ estilo de visualización \ parcial _ {t} f + ({\ vec {e}} \ cdot \ nabla) f + F \ parcial _ {v} f = \ Omega (f),}

{\ estilo de visualización \ parcial _ {t} sol + ({\ vec {e}} \ cdot \ nabla) sol + sol \ parcial _ {v} f = \ Omega (sol),}

dónde ${\ Displaystyle g ({\ vec {x}}, {\ vec {e}} _ {i}, t)}$ está relacionado con ${\ Displaystyle f ({\ vec {x}}, {\ vec {e}} _ {i}, t)}$ por

{\ Displaystyle g ({\ vec {x}}, {\ vec {e}} _ {i}, t) = {\ frac {({\ vec {e}} - {\ vec {u}}) ^ {2}} {2}} f ({\ vec {x}}, {\ vec {e}} _ {i}, t),}

${\ Displaystyle F}$ es una fuerza externa, ${\ Displaystyle \ Omega}$ es una integral de colisión, y ${\ Displaystyle {\ vec {e}}}$ (también etiquetado por ${\ Displaystyle {\ vec {\ xi}}}$ en la literatura) es la velocidad microscópica. La fuerza externa ${\ Displaystyle F}$ está relacionado con la temperatura fuerza externa ${\ Displaystyle G}$ por la relación a continuación. Una prueba típica para nuestro modelo es la convección de Rayleigh-Bénard para ${\ Displaystyle G}$ .

{\ Displaystyle F = {\ frac {{\ vec {G}} \ cdot ({\ vec {e}} - {\ vec {u}})} {RT}} f ^ {\ text {eq}}, }

{\ Displaystyle {\ vec {G}} = \ beta g_ {0} (T-T_ {avg}) {\ vec {k}}.}

Variables macroscópicas como la densidad ${\ Displaystyle \ rho}$ , velocidad ${\ Displaystyle {\ vec {u}}}$ y temperatura ${\ Displaystyle T}$ se puede calcular como los momentos de la función de distribución de densidad:

{\ Displaystyle \ rho = \ int f \, d {\ vec {e}},}

{\ Displaystyle \ rho {\ vec {u}} = \ int {\ vec {e}} f \, d {\ vec {e}},}

{\ Displaystyle {\ frac {\ rho DRT} {2}} = \ rho \ epsilon = \ int g \, d {\ vec {e}}.}

El método de celosía de Boltzmann discretiza esta ecuación al limitar el espacio a una celosía y el espacio de velocidad a un conjunto discreto de velocidades microscópicas (es decir, ${\ Displaystyle {\ vec {e}} _ {i} = ({\ vec {e}} _ {ix}, {\ vec {e}} _ {iy})}$ ). Las velocidades microscópicas en D2Q9, D3Q15 y D3Q19, por ejemplo, se dan como:

{\ Displaystyle {\ vec {e}} _ {i} = c \ times {\ begin {cases} (0,0) & i = 0 \\ (1,0), (0,1), (- 1, 0), (0, -1) & i = 1,2,3,4 \\ (1,1), (- 1,1), (- 1, -1), (1, -1) & i = 5 , 6,7,8 \\\ end {cases}}}

{\ Displaystyle {\ vec {e}} _ {i} = c \ times {\ begin {cases} (0,0,0) & i = 0 \\ (\ pm 1,0,0), (0, \ pm 1,0), (0,0, \ pm 1) & i = 1,2, ..., 5,6 \\ (\ pm 1, \ pm 1, \ pm 1) & i = 7,8 ,. .., 13,14 \\\ end {cases}}}

{\ Displaystyle {\ vec {e}} _ {i} = c \ times {\ begin {cases} (0,0,0) & i = 0 \\ (\ pm 1,0,0), (0, \ pm 1,0), (0,0, \ pm 1) & i = 1,2, ..., 5,6 \\ (\ pm 1, \ pm 1,0), (\ pm 1,0, \ pm 1), (0, \ pm 1, \ pm 1) & i = 7,8, ..., 17,18 \\\ end {cases}}}

La ecuación de Boltzmann discretizada monofásica para densidad de masa y densidad de energía interna es:

{\ Displaystyle f_ {i} ({\ vec {x}} + {\ vec {e}} _ {i} \ delta _ {t}, t + \ delta _ {t}) - f_ {i} ({\ vec {x}}, t) + F_ {i} = \ Omega (f),}

{\ Displaystyle g_ {i} ({\ vec {x}} + {\ vec {e}} _ {i} \ delta _ {t}, t + \ delta _ {t}) - g_ {i} ({\ vec {x}}, t) + G_ {i} = \ Omega (g).}

El operador de colisión a menudo es aproximado por un operador de colisión BGK bajo la condición de que también cumpla con las leyes de conservación:

{\ Displaystyle \ Omega (f) = {\ frac {1} {\ tau _ {f}}} (f_ {i} ^ {\ text {eq}} - f_ {i}),}

{\ Displaystyle \ Omega (g) = {\ frac {1} {\ tau _ {g}}} (g_ {i} ^ {\ text {eq}} - g_ {i}).}

En el operador de colisión ${\ Displaystyle f_ {i} ^ {\ text {eq}}}$ es la función discreta de distribución de probabilidad de partículas en equilibrio ^{[ aclarar ]} . En D2Q9 y D3Q19, se muestra a continuación para un flujo incompresible en forma continua y discreta donde D , R y T son la dimensión, la constante universal de gas y la temperatura absoluta, respectivamente. La derivación parcial de la forma continua a discreta se proporciona mediante una derivación simple a una precisión de segundo orden.

{\ Displaystyle f ^ {\ text {eq}} = {\ frac {\ rho} {(2 \ pi RT) ^ {D / 2}}} e ^ {- {\ frac {({\ vec {e}) } - {\ vec {u}}) ^ {2}} {2RT}}}}

{\ displaystyle = {\ frac {\ rho} {(2 \ pi RT) ^ {D / 2}}} e ^ {- {\ frac {({\ vec {e}}) ^ {2}} {2RT }}} e ^ {{\ frac {{\ vec {e}} {\ vec {u}}} {RT}} - {\ frac {{\ vec {u}} ^ {2}} {2RT}} }}

{\ displaystyle = {\ frac {\ rho} {(2 \ pi RT) ^ {D / 2}}} e ^ {- {\ frac {({\ vec {e}}) ^ {2}} {2RT }}} \ left (1 + {\ frac {{\ vec {e}} {\ vec {u}}} {RT}} + {\ frac {({\ vec {e}} {\ vec {u} }) ^ {2}} {2 (RT) ^ {2}}} - {\ frac {{\ vec {u}} ^ {2}} {2RT}} + ... \ right)}

Dejando ${\ Displaystyle c = {\ sqrt {3RT}}}$ produce el resultado final:

{\ Displaystyle f_ {i} ^ {eq} = \ omega _ {i} \ rho \ left (1 + {\ frac {3 {\ vec {e}} _ {i} {\ vec {u}}} { c ^ {2}}} + {\ frac {9 ({\ vec {e}} _ {i} {\ vec {u}}) ^ {2}} {2c ^ {4}}} - {\ frac {3 ({\ vec {u}}) ^ {2}} {2c ^ {2}}} \ derecha)}

{\ Displaystyle g ^ {eq} = {\ frac {\ rho ({\ vec {e}} - {\ vec {u}}) ^ {2}} {2 (2 \ pi RT) ^ {D / 2 }}} e ^ {- {\ frac {({\ vec {e}} - {\ vec {u}}) ^ {2}} {2RT}}}}

{\ Displaystyle \ omega _ {i} = {\ begin {cases} 4/9 & i = 0 \\ 1/9 & i = 1,2,3,4 \\ 1/36 & i = 5,6,7,8 \\\ finalizar {casos}}}

{\ Displaystyle \ omega _ {i} = {\ begin {cases} 1/3 & i = 0 \\ 1/18 & i = 1,2, ..., 5,6 \\ 1/36 & i = 7,8, .. ., 17,18 \\\ end {cases}}}

Como ya se ha trabajado mucho en un flujo de un solo componente, se discutirá el siguiente TLBM. El TLBM multicomponente / multifase también es más intrigante y útil que simplemente un componente. Para estar en línea con la investigación actual, defina el conjunto de todos los componentes del sistema (es decir, paredes de medios porosos, múltiples fluidos / gases, etc.) ${\ Displaystyle \ Psi}$ con elementos ${\ Displaystyle \ sigma _ {j}}$ .

{\ Displaystyle f_ {i} ^ {\ sigma} ({\ vec {x}} + {\ vec {e}} _ {i} \ delta _ {t}, t + \ delta _ {t}) - f_ { i} ^ {\ sigma} ({\ vec {x}}, t) + F_ {i} = {\ frac {1} {\ tau _ {f} ^ {\ sigma}}} (f_ {i} ^ {\ sigma, eq} (\ rho ^ {\ sigma}, v ^ {\ sigma}) - f_ {i} ^ {\ sigma})}

El parámetro de relajación, ${\ Displaystyle \ tau _ {f} ^ {\ sigma _ {j}} \, \!}$ , está relacionado con la viscosidad cinemática , ${\ Displaystyle \ nu _ {f} ^ {\ sigma _ {j}} \, \!}$ , por la siguiente relación:

{\ Displaystyle \ nu _ {f} ^ {\ sigma _ {j}} = (\ tau _ {f} ^ {\ sigma _ {j}} - 0.5) c_ {s} ^ {2} \ delta _ { t}.}

Los momentos del ${\ Displaystyle f_ {i} \, \!}$ dar las cantidades conservadas locales. La densidad viene dada por

{\ Displaystyle \ rho = \ sum _ {\ sigma} \ sum _ {i} f_ {i} \, \!}

{\ Displaystyle \ rho \ epsilon = \ sum _ {i} g_ {i} \, \!}

{\ Displaystyle \ rho ^ {\ sigma} = \ sum _ {i} f_ {i} ^ {\ sigma} \, \!}

y la velocidad media ponderada, ${\ Displaystyle {\ vec {u '}} \, \!}$ , y el impulso local viene dado por

{\ Displaystyle {\ vec {u '}} = \ left (\ sum _ {\ sigma} {\ frac {\ rho ^ {\ sigma} {\ vec {u ^ {\ sigma}}}} {\ tau _ {f} ^ {\ sigma}}} \ derecha) / \ izquierda (\ sum _ {\ sigma} {\ frac {\ rho ^ {\ sigma}} {\ tau _ {f} ^ {\ sigma}}} \derecho)}

{\ Displaystyle \ rho ^ {\ sigma} {\ vec {u ^ {\ sigma}}} = \ sum _ {i} f_ {i} ^ {\ sigma} {\ vec {e}} _ {i}. }

{\ Displaystyle v ^ {\ sigma} = {\ vec {u '}} + {\ frac {\ tau _ {f} ^ {\ sigma}} {\ rho ^ {\ sigma}}} {\ vec {F }} ^ {\ sigma}}

En la ecuación anterior para la velocidad de equilibrio ${\ Displaystyle v ^ {\ sigma} \, \!}$ , la ${\ Displaystyle {\ vec {F}} ^ {\ sigma} \, \!}$ término es la fuerza de interacción entre un componente y los otros componentes. Todavía es objeto de mucha discusión, ya que normalmente es un parámetro de ajuste que determina cómo interactúan fluido-fluido, fluido-gas, etc. Frank y col. enumere los modelos actuales para este término de fuerza. Las derivaciones comúnmente utilizadas son el modelo cromodinámico de Gunstensen, el enfoque basado en energía libre de Swift para sistemas líquido / vapor y fluidos binarios, el modelo basado en interacción intermolecular de He, el enfoque Inamuro y el enfoque Lee y Lin. ^[15]

La siguiente es la descripción general de ${\ Displaystyle {\ vec {F}} ^ {\ sigma} \, \!}$ dado por varios autores. ^[16]^[17]

${\ Displaystyle {\ vec {F}} ^ {\ sigma} = - \ psi ^ {\ sigma} ({\ vec {x}}) \ sum _ {\ sigma _ {j}} H ^ {\ sigma \ sigma _ {j}} ({\ vec {x}}, {\ vec {x}} ') \ sum _ {i} \ psi ^ {\ sigma _ {j}} ({\ vec {x}} + {\ vec {e}} _ {i}) {\ vec {e}} _ {i} \, \!}$

${\ Displaystyle \ psi ({\ vec {x}}) \, \!}$ es la masa efectiva y ${\ Displaystyle H ({\ vec {x}}, {\ vec {x}} ') \, \!}$ es la función de Green que representa la interacción entre partículas con ${\ Displaystyle {\ vec {x}} '\, \!}$ como el sitio vecino. Satisfactorio ${\ Displaystyle H ({\ vec {x}}, {\ vec {x}} ') = H ({\ vec {x}}', {\ vec {x}}) \, \!}$ y donde ${\ Displaystyle H ({\ vec {x}}, {\ vec {x}} ')> 0 \, \!}$ representa fuerzas repulsivas. Para D2Q9 y D3Q19, esto conduce a

${\ Displaystyle H ^ {\ sigma \ sigma _ {j}} ({\ vec {x}}, {\ vec {x}} ') = {\ begin {cases} h ^ {\ sigma \ sigma _ {j }} & \ left | {\ vec {x}} - {\ vec {x}} '\ right | \ leq c \\ 0 & \ left | {\ vec {x}} - {\ vec {x}}' \ right |> c \\\ end {cases}}}$

${\ Displaystyle H ^ {\ sigma \ sigma _ {j}} ({\ vec {x}}, {\ vec {x}} ') = {\ begin {cases} h ^ {\ sigma \ sigma _ {j }} & \ left | {\ vec {x}} - {\ vec {x}} '\ right | = c \\ h ^ {\ sigma \ sigma _ {j}} / 2 & \ left | {\ vec { x}} - {\ vec {x}} '\ right | = {\ sqrt {2c}} \\ 0 & {\ text {de lo contrario}} \\\ end {cases}}}$

La masa efectiva propuesta por Shan y Chen usa la siguiente masa efectiva para un sistema multifásico de un solo componente . La ecuación de estado también se da bajo la condición de un solo componente y multifase.

{\ Displaystyle \ psi ({\ vec {x}}) = \ psi (\ rho ^ {\ sigma}) = \ rho _ {0} ^ {\ sigma} \ left [1-e ^ {(- \ rho ^ {\ sigma} / \ rho _ {0} ^ {\ sigma})} \ right] \, \!}

{\ Displaystyle p = c_ {s} ^ {2} \ rho + c_ {0} h [\ psi ({\ vec {x}})] ^ {2} \, \!}

Hasta ahora, parece que ${\ Displaystyle \ rho _ {0} ^ {\ sigma} \, \!}$ y ${\ Displaystyle h ^ {\ sigma \ sigma _ {j}} \, \!}$ son constantes libres para sintonizar, pero una vez conectadas a la ecuación de estado del sistema (EOS), deben satisfacer las relaciones termodinámicas en el punto crítico de manera que ${\ Displaystyle (\ P parcial / \ parcial {\ rho}) _ {T} = (\ parcial ^ {2} P / \ parcial {\ rho ^ {2}}) _ {T} = 0 \, \! }$ y ${\ Displaystyle p = p_ {c} \, \!}$ . Para la EOS, ${\ Displaystyle c_ {0} \, \!}$ es 3.0 para D2Q9 y D3Q19 mientras que es igual a 10.0 para D3Q15. ^[18]

Más tarde, Yuan y Schaefer ^[19] demostraron que la densidad de masa efectiva debe cambiarse para simular el flujo multifásico con mayor precisión. Compararon Shan y Chen (SC), Carnahan-Starling (C – S), van der Waals (vdW), Redlich – Kwong (R – K), Redlich – Kwong Soave (RKS) y Peng – Robinson (P– R) EOS. Sus resultados revelaron que el SC EOS era insuficiente y que C – S, P – R, R – K y RKS EOS son todos más precisos en el modelado del flujo multifásico de un solo componente.

Para los métodos populares de Lattice Boltzmann isotérmicos, estas son las únicas cantidades conservadas. Los modelos térmicos también conservan energía y, por lo tanto, tienen una cantidad conservada adicional:

{\ Displaystyle \ rho \ theta + \ rho uu = \ sum _ {i} f_ {i} {\ vec {e}} _ {i} {\ vec {e}} _ {i}.}

Aplicaciones

Durante los últimos años, el LBM ha demostrado ser una herramienta poderosa para resolver problemas en diferentes escalas de tiempo y duración. Algunas de las aplicaciones de LBM incluyen:

Flujos de medios porosos
Flujos biomédicos
Ciencias de la tierra (filtración de suelos).
Ciencias de la energía (Pilas de combustible ^[20] ).

enlaces externos

Método LBM
Método de Boltzmann de celosía entrópica (ELBM)
dsfd.org: sitio web de la serie anual de conferencias DSFD (1986 - ahora) donde se discuten los avances en la teoría y la aplicación del método de celosía de Boltzmann
Sitio web de la conferencia anual ICMMES sobre métodos de celosía de Boltzmann y sus aplicaciones

Otras lecturas

Deutsch, Andreas; Sabine Dormann (2004). Modelado de Autómatas Celulares de Formación de Patrones Biológicos . Birkhäuser Verlag . ISBN 978-0-8176-4281-5.
Succi, Sauro (2001). La ecuación de Boltzmann de celosía para la dinámica de fluidos y más allá . Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 978-0-19-850398-9.
Wolf-Gladrow, Dieter (2000). Autómatas Celulares Lattice-Gas y Modelos Lattice Boltzmann . Springer Verlag . ISBN 978-3-540-66973-9.
Sukop, Michael C .; Daniel T. Thorne, Jr. (2007). Modelado Lattice Boltzmann: una introducción para geocientíficos e ingenieros . Springer . ISBN 978-3-540-27981-5.
Jian Guo Zhou (2004). Métodos de celosía de Boltzmann para corrientes de agua poco profundas . Springer . ISBN 978-3-540-40746-1.
Él, X., Chen, S., Doolen, G. (1998). Un nuevo modelo térmico para el método Lattice Boltzmann en límite incompresible . Prensa académica .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
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Huang, H .; MC Sukop; XY. Lu (2015). Métodos de Boltzmann de celosía multifase: teoría y aplicación . Wiley-Blackwell . ISBN 978-1-118-97133-8.
Krüger, T .; Kusumaatmaja, H .; Kuzmin, A .; Shardt, O .; Silva, G .; Viggen, EM (2017). El método Lattice Boltzmann: principios y práctica . Springer Verlag . ISBN 978-3-319-44647-9.

Notas

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[:0-1] Chen, Shiyi; Doolen, Gary D. (1998). "Método de celosía de Boltzmann para flujos de fluidos". Revisión anual de mecánica de fluidos . 30 (1): 329–364. Código Bibliográfico : 1998AnRFM..30..329C . doi : 10.1146 / annurev.fluid.30.1.329 . ISSN 0066-4189 .

[2] Bhatnagar, PL; Gross, EP; Krook, M. (1 de mayo de 1954). "Un modelo para procesos de colisión en gases. I. Procesos de pequeña amplitud en sistemas monocomponentes cargados y neutros". Revisión física . 94 (3): 511–525. Código Bibliográfico : 1954PhRv ... 94..511B . doi : 10.1103 / PhysRev.94.511 . ISSN 0031-899X .

[3] Amir H. Hedjripour, David P. Callaghan y Tom E. Baldock, Transformación generalizada del método de celosía de Boltzmann para flujos de aguas poco profundas, https://doi.org/10.1080/00221686.2016.1168881

[4] Succi, pág. 68

[5] Succi, Apéndice D (p. 261-262)

[6] Succi, capítulo 8.3, p. 117-119

[7] Di Rienzo, A. Fabio; Asinari, Pietro; Chiavazzo, Eliodoro; Prasianakis, Nikolaos; Mantzaras, John (2012). "Modelo de celosía de Boltzmann para simulaciones de flujo reactivo" (PDF) . EPL . 98 (3): 34001. Bibcode : 2012EL ..... 9834001D . doi : 10.1209 / 0295-5075 / 98/34001 .

[8] Chiavazzo, Eliodoro; Karlin, Ilya; Gorban, Alexander; Boulouchos, Konstantinos (2010). "Acoplamiento de la técnica de reducción del modelo con el método Lattice Boltzmann para simulaciones de combustión". Combust. Llama . 157 (10): 1833–1849. doi : 10.1016 / j.combustflame.2010.06.009 .

[9] Chiavazzo, Eliodoro; Karlin, Ilya; Gorban, Alexander; Boulouchos, Konstantinos (2012). "Simulaciones eficientes de campos de combustión detallados mediante el método Lattice Boltzmann" . Revista internacional de métodos numéricos para el flujo de fluidos y calor . 21 (5): 494–517. doi : 10.1108 / 09615531111135792 .

[10] Chiavazzo, Eliodoro; Karlin, Ilya; Gorban, Alexander; Boulouchos, Konstantinos (2009). "Simulación de combustión a través de Lattice Boltzmann y cinética química reducida". Revista de Mecánica Estadística: Teoría y Experimento . 2009 (6): P06013. Código bibliográfico : 2009JSMTE..06..013C . doi : 10.1088 / 1742-5468 / 2009/06 / P06013 .

[11] McNamara, G., García, A. y Alder, B., "Un modelo de Boltzmann de celosía térmica hidrodinámicamente correcto", Journal of Statistical Physics, vol. 87, no. 5, págs. 1111-1121, 1997.

[12] Shan, X., " Simulación de convección rayleigh-b'enard utilizando un método de celosía de Boltzmann ", Physical Review E, vol. 55, págs. 2780-2788, The American Physical Society, 1997.

[13] He, X., Chen, S. y Doolen, GD, " Un nuevo modelo térmico para el método de boltzmann de celosía en el límite incompresible ", Journal of Computational Physics, vol. 146, págs. 282-300, 1998.

[14] Chen, S. y Doolen, GD, " Método Lattice Boltzmann para flujos de fluidos ", Revisión anual de mecánica de fluidos, vol. 30, pág. 329–364, 1998.

[15] Frank, X., Almeida, G., Perre, P., " Flujo multifásico en el sistema vascular de la madera: de exploración microscópica a experimentos de Boltzmann en celosía 3-D ", Revista internacional de flujo multifásico, vol. 36, págs. 599-607, 2010.

[16] Yuan, P., Schaefer, L., "Ecuaciones de estado en un modelo Lattice Boltzmann", Física de fluidos, vol. 18 de 2006.

[17] Harting, J., Chin, J., Maddalena, V., Coveney, P., " Simulaciones a gran escala de Lattice Boltzmann de fluidos complejos: avances a través del advenimiento de las cuadrículas computacionales ", Transacciones filosóficas de la Royal Society A , vol . 363, págs. 1895–1915 2005.

[18] Yuan, P., Schaefer, L., " Un modelo de flujo bifásico de Boltzmann de celosía térmica y su aplicación a los problemas de transferencia de calor-Parte 1. Fundamento teórico ", Revista de ingeniería de fluidos 142-150, vol. 128, 2006.

[19] Yuan, P .; Schaefer, L. (2006). "Ecuaciones de Estado en un modelo Lattice Boltzmann". Física de fluidos . 18 (4): 042101–042101–11. Código Bibliográfico : 2006PhFl ... 18d2101Y . doi : 10.1063 / 1.2187070 .

[20] Espinoza, Mayken (2015). "Comprimir efectos sobre la porosidad, tortuosidad en fase gaseosa y permeabilidad a los gases en una capa de difusión de gas PEM simulada". Revista Internacional de Investigación Energética . 39 (11): 1528-1536. doi : 10.1002 / er.3348 .

[1]