Autómata de gas de celosía

Simulación HPP de flujo de gas. Los tonos de gris de los píxeles individuales son proporcionales a la densidad de partículas de gas (entre 0 y 4) en ese píxel. El gas está rodeado por una capa de células amarillas que actúan como reflectores para crear un espacio cerrado.

Los autómatas de gas de celosía ( LGCA ), o autómatas celulares de gas de celosía , son un tipo de autómata celular utilizado para simular flujos de fluidos, del que fueron pioneros Hardy- Pomeau-de Pazzis y Frisch - Hasslacher - Pomeau . Fueron los precursores de los métodos de celosía de Boltzmann . A partir de los autómatas de gas de celosía, es posible derivar las ecuaciones macroscópicas de Navier-Stokes . ^{[1] El} interés en los métodos de autómatas de gas de celosía se estabilizó a principios de la década de 1990, cuando el interés en el celosía de Boltzmann comenzó a aumentar. ^[2] Sin embargo, una variante LGCA, denominada BIO-LGCA, todavía se utiliza ampliamente ^[3] para modelar la migración colectiva en biología.

Principios básicos

Como autómata celular, estos modelos comprenden una celosía, donde los sitios en la celosía pueden tomar un cierto número de estados diferentes. En el gas reticular, los diversos estados son partículas con ciertas velocidades. La evolución de la simulación se realiza en pasos de tiempo discretos. Después de cada paso de tiempo, el estado en un sitio dado puede ser determinado por el estado del sitio mismo y los sitios vecinos, antes del paso de tiempo.

El estado de cada sitio es puramente booleano . En un sitio dado, allí tampoco es o no es una partícula que se mueve en cada dirección.

En cada paso de tiempo se llevan a cabo dos procesos, propagación y colisión. ^[4]

En el paso de propagación, cada partícula se moverá a un sitio vecino determinado por la velocidad que tenía la partícula. Salvo que haya colisiones, una partícula con una velocidad ascendente después del paso de tiempo mantendrá esa velocidad, pero se moverá al sitio vecino por encima del sitio original. El llamado principio de exclusión evita que dos o más partículas viajen en el mismo enlace en la misma dirección.

En el paso de colisión, se utilizan reglas de colisión para determinar qué sucede si varias partículas llegan al mismo sitio. Estas reglas de colisión son necesarias para mantener la conservación de la masa y conservar el impulso total ; El modelo de autómata celular en bloque puede utilizarse para lograr estas leyes de conservación. ^[5] Tenga en cuenta que el principio de exclusión no evita que dos partículas viajen en el mismo enlace en direcciones opuestas , cuando esto sucede, las dos partículas se pasan entre sí sin chocar.

Primeros intentos con celosía cuadrada

Demostración a pequeña escala del modelo HPP de celosía cuadrada.

En artículos publicados en 1973 y 1976, Hardy, Pomeau y de Pazzis introdujeron el primer modelo Lattice Boltzmann, que se llama modelo HPP en honor a los autores. El modelo HPP es un modelo bidimensional de interacciones entre partículas fluidas. En este modelo, la red es cuadrada y las partículas viajan independientemente a una velocidad unitaria al tiempo discreto. Las partículas pueden moverse a cualquiera de los cuatro sitios cuyas células comparten un borde común. Las partículas no pueden moverse en diagonal.

Si dos partículas chocan de frente, por ejemplo, una partícula que se mueve hacia la izquierda se encuentra con una partícula que se mueve hacia la derecha, el resultado será que dos partículas abandonen el sitio en ángulo recto con la dirección en la que entraron. ^[6]

El modelo HPP carecía de invariancia rotacional , lo que hizo que el modelo fuera altamente anisotrópico . Esto significa, por ejemplo, que los vórtices producidos por el modelo HPP tienen forma cuadrada. ^[7]

Rejillas hexagonales

El modelo de cuadrícula hexagonal se introdujo por primera vez en 1986, en un artículo de Uriel Frisch , Brosl Hasslacher e Yves Pomeau , y se lo conoce como el modelo FHP en honor a sus inventores. El modelo tiene seis o siete velocidades, según la variación que se utilice. En cualquier caso, seis de las velocidades representan movimiento hacia cada uno de los sitios vecinos. En algunos modelos (llamados FHP-II y FHP-III), se introduce una séptima velocidad que representa partículas "en reposo". Las partículas "en reposo" no se propagan a sitios vecinos, pero son capaces de colisionar con otras partículas. El modelo FHP-III permite todas las posibles colisiones que conservan la densidad y el momento. ^[8] Aumentar el número de colisiones aumenta el número de Reynolds., por lo que los modelos FHP-II y FHP-III pueden simular flujos menos viscosos que el modelo FHP-I de seis velocidades. ^[9]

La regla de actualización simple del modelo FHP procede en dos etapas, elegidas para conservar el número de partículas y el momento. El primero es el manejo de colisiones. Las reglas de colisión en el modelo FHP no son deterministas , algunas situaciones de entrada producen dos resultados posibles y, cuando esto sucede, uno de ellos se elige al azar. Dado que la generación de números aleatorios no es posible a través de medios completamente computacionales, generalmente se elige un proceso pseudoaleatorio . ^[10]

Después del paso de colisión, se toma una partícula en un enlace para abandonar el sitio. Si un sitio tiene dos partículas acercándose de frente, se dispersan. Se hace una elección aleatoria entre las dos posibles direcciones de salida que conservan el impulso.

La cuadrícula hexagonal no sufre problemas de anisotropía tan grandes como los que afectan al modelo de cuadrícula cuadrada HPP, un hecho afortunado que no es del todo obvio, y que llevó a Frisch a comentar que "los dioses de la simetría son benevolentes". ^[11]

Tres dimensiones

Para una cuadrícula tridimensional, el único politopo regular que llena todo el espacio es el cubo , mientras que los únicos politopos regulares con un grupo de simetría suficientemente grande son el dodecaedro y el icosaedro (sin la segunda restricción el modelo sufrirá los mismos inconvenientes que el Modelo HPP). Por tanto, hacer un modelo que aborde las tres dimensiones requiere un aumento en el número de dimensiones, como en el modelo de 1986 de D'Humières, Lallemand y Frisch, que empleó un modelo de hipercubo centrado en el rostro . ^[12]

Obtención de cantidades macroscópicas

La densidad en un sitio se puede encontrar contando el número de partículas en cada sitio. Si las partículas se multiplican por la velocidad unitaria antes de sumarlas, se puede obtener el impulso en el sitio. ^[13]

Sin embargo, el cálculo de la densidad, el impulso y la velocidad para sitios individuales está sujeto a una gran cantidad de ruido y, en la práctica, se promediaría en una región más grande para obtener resultados más razonables. El promedio de conjunto se usa a menudo para reducir aún más el ruido estadístico. ^[14]

Ventajas y desventajas

Los principales activos del modelo de gas de celosía son que los estados booleanos significan que habrá un cálculo exacto sin ningún error de redondeo debido a la precisión del punto flotante, y que el sistema de autómatas celulares permite ejecutar simulaciones de autómatas de gas de celosía con paralelos. Computación . ^[15]

Las desventajas del método de gas de celosía incluyen la falta de invariancia galileana y el ruido estadístico . ^[16] Otro problema es la dificultad de expandir el modelo para manejar problemas tridimensionales, requiriendo el uso de más dimensiones para mantener una cuadrícula suficientemente simétrica para abordar tales problemas. ^[12]

Como modelo en biología

Artículo principal: BIO-LGCA

Los autómatas celulares de celosía de gas se han adaptado y todavía se utilizan ampliamente para modelar la migración colectiva en biología. Debido a la naturaleza activa de los agentes biológicos, así como a los entornos viscosos en los que viven las células, no se requiere la conservación del impulso. Además, los agentes pueden morir o reproducirse, por lo que la conservación masiva también puede estar ausente. Durante el paso de colisión, las partículas se reorientan estocásticamente siguiendo una distribución de Boltzmann, simulando la interacción local entre individuos.

Notas

1. Succi, la sección 2.3 describe el proceso
2. Succi, sección 2.6
3. Deutsch, Andreas; Nava-Sedeño, Josué Manik; Syga, Simon; Hatzikirou, Haralampos (15 de junio de 2021). "BIO-LGCA: una clase de modelado de autómatas celulares para analizar la migración celular colectiva" . PLOS Biología Computacional . 17 (6): e1009066. doi : 10.1371 / journal.pcbi.1009066 . ISSN  1553-7358 . PMC  8232544 . PMID  34129639 .
4. Buick, sección 3.4
5. Wolfram, Stephen (2002), Un nuevo tipo de ciencia , Wolfram Media, págs.  459–464 , ISBN 1-57955-008-8.
6. Buick, sección 3.2.1
7. Succi, nota a pie de página p. 22
8. Buick, sección 3.2.2
9. Wolf-Gladrow 3.2.6, figura 3.2.3
10. Wolf-Gladrow 3.2.1
11. Succi, nota a pie de página p. 23
12. Wolf-Gladrow, secciones 3.4 - 3.5
13. Buick, sección 3.5.1
14. Buick, sección 3.8
15. Succi, sección 2.4
16. Succi, sección 2.5

Referencias

• Sauro Succi (2001). La Ecuación Lattice de Boltzmann, para dinámica de fluidos y más . Publicaciones científicas de Oxford. ISBN 0-19-850398-9. (El capítulo 2 trata sobre los autómatas celulares de gas de celosía)
• James Maxwell Buick (1997). Métodos de celosía de Boltzmann en el modelado de ondas interfaciales. Tesis doctoral, Universidad de Edimburgo. (El Capítulo 3 trata sobre el modelo de gas de celosía.) ( Archive.org ) 2008-11-13
• Dieter A. Wolf-Gladrow (2000). Autómatas Celulares Lattice-Gas y Modelos Lattice Boltzmann . Saltador. ISBN 3-540-66973-6.

enlaces externos

• (en francés) Tesis de maestría (2000) - Detalles sobre la programación y optimización de la simulación del FHP LGA
• (en polaco e inglés) Tesis de maestría (2010) - Implementación del modelo FHP en la tecnología Nvidia CUDA.