En geometría , el empaquetamiento de círculos es el estudio de la disposición de círculos (de tamaños iguales o variables) en una superficie dada, de modo que no se produzca superposición y que ningún círculo pueda agrandarse sin crear una superposición. La densidad de empaquetamiento asociada , η , de una disposición es la proporción de la superficie cubierta por los círculos. Se pueden hacer generalizaciones a dimensiones más altas; esto se llama empaquetamiento de esferas , que generalmente solo se ocupa de esferas idénticas.
La rama de las matemáticas generalmente conocida como "empaquetamiento circular" se ocupa de la geometría y la combinatoria de empaquetamientos de círculos de tamaño arbitrario: estos dan lugar a análogos discretos del mapeo conforme , superficies de Riemann y similares.
Embalaje más denso
En el plano euclidiano bidimensional , Joseph Louis Lagrange demostró en 1773 que el empaquetamiento de círculos de celosía de mayor densidad es el arreglo de empaquetamiento hexagonal , [1] en el que los centros de los círculos están dispuestos en una celosía hexagonal (filas escalonadas, como un panal ), y cada círculo está rodeado por otros 6 círculos. Para círculos de diámetro y hexágonos de longitud lateral , el área del hexágono es y el área cubierta dentro de cada hexágono por círculos es , lo que permite calcular la densidad como
Si bien el círculo tiene una densidad de empaquetamiento máxima relativamente baja, no tiene la más baja posible, incluso entre las formas convexas simétricas centralmente : el octágono suavizado tiene una densidad de empaquetamiento de aproximadamente 0.902414, el más pequeño conocido para formas convexas simétricas centralmente y conjeturado que ser lo más pequeño posible. [3] (Las densidades de empaquetamiento de formas cóncavas, como polígonos en estrella, pueden ser arbitrariamente pequeñas).
Otros embalajes
En el otro extremo, Böröczky demostró que existen arreglos de densidad arbitrariamente baja de círculos empaquetados rígidamente. [4] [5]
Hay 11 empaquetaduras circulares basadas en las 11 teselaciones uniformes del avión. [7] En estos empaques, cada círculo se puede mapear a todos los demás círculos mediante reflejos y rotaciones. Los huecos hexagonales se pueden rellenar con un círculo y los huecos dodecagonales se pueden rellenar con 7 círculos, creando 3 empaquetaduras uniformes. El embaldosado truncado trihexagonal con ambos tipos de huecos se puede rellenar como un empaque de 4 uniformes. El embaldosado hexagonal chato tiene dos formas de imagen especular.
En la esfera
Un problema relacionado es determinar la disposición de energía más baja de puntos que interactúan de manera idéntica y que están obligados a encontrarse dentro de una superficie determinada. El problema de Thomson se ocupa de la distribución de energía más baja de cargas eléctricas idénticas en la superficie de una esfera. El problema de Tammes es una generalización de esto, que trata de maximizar la distancia mínima entre círculos en la esfera. Esto es análogo a distribuir cargas no puntuales en una esfera.
En áreas delimitadas
Empaquetar círculos en formas simples delimitadas es un tipo de problema común en las matemáticas recreativas . La influencia de las paredes del contenedor es importante y el empaque hexagonal generalmente no es óptimo para pequeñas cantidades de círculos. Los problemas específicos de este tipo que se han estudiado incluyen:
- Embalaje circular en un círculo
- Embalaje circular en un cuadrado
- Empaquetado circular en un triángulo equilátero
- Empaquetado de círculos en un triángulo rectángulo isósceles
Consulte los artículos vinculados para obtener más detalles.
Círculos desiguales
También hay una serie de problemas que permiten que los tamaños de los círculos no sean uniformes. Una de esas extensiones es encontrar la máxima densidad posible de un sistema con dos tamaños específicos de círculo (un sistema binario ). Solo nueve relaciones de radio particulares permiten un empaquetamiento compacto , que es cuando cada par de círculos en contacto está en contacto mutuo con otros dos círculos (cuando los segmentos de línea se dibujan desde el centro del círculo en contacto con el centro del círculo, triangulan la superficie). [6] Para todas estas relaciones de radio, se conoce un empaque compacto que alcanza la máxima fracción de empaque posible (por encima de la de los discos de tamaño uniforme) para mezclas de discos con esa relación de radio. [8] Los nueve tienen empaquetaduras de proporción específica más densas que la empaquetadura hexagonal uniforme, al igual que algunas proporciones de radio sin empaquetaduras compactas. [9]
También se sabe que si la relación de radio es superior a 0,742, una mezcla binaria no puede compactarse mejor que los discos de tamaño uniforme. [7] También se han obtenido límites superiores para la densidad que pueden obtenerse en tales empaquetaduras binarias en proporciones más pequeñas. [10]
Aplicaciones
La modulación de amplitud en cuadratura se basa en empaquetar círculos en círculos dentro de un espacio de amplitud de fase . Un módem transmite datos como una serie de puntos en un plano de amplitud de fase bidimensional. El espacio entre los puntos determina la tolerancia al ruido de la transmisión, mientras que el diámetro del círculo circunscrito determina la potencia del transmisor requerida. El rendimiento se maximiza cuando la constelación de puntos de código se encuentra en el centro de un empaquetamiento circular eficiente. En la práctica, a menudo se utilizan empaques rectangulares subóptimos para simplificar la decodificación.
El empaquetado circular se ha convertido en una herramienta esencial en el diseño de origami , ya que cada apéndice de una figura de origami requiere un círculo de papel. [11] Robert J. Lang ha utilizado las matemáticas del empaquetado circular para desarrollar programas de computadora que ayudan en el diseño de figuras de origami complejas.
Ver también
- Junta apolínea
- Embalaje circular en un cuadrado
- Embalaje circular en un círculo
- Distancia inversora
- Conjetura de Kepler
- Círculos de Malfatti
- Problema de embalaje
Referencias
- ^ a b Chang, Hai-Chau; Wang, Lih-Chung (2010). "Una prueba simple del teorema de Thue sobre el empaquetado circular". arXiv : 1009.4322 [ math.MG ].
- ^ Tóth, László Fejes (1940). "Über die dichteste Kugellagerung". Matemáticas. Z . 48 : 676–684.
- ^ Weisstein, Eric W. "Octágono suavizado" . MathWorld .
- ^ Böröczky, K. (1964). "Über stabile Kreis- und Kugelsysteme". Annales Universitatis Scientiarum Budapestinensis de Rolando Eötvös Nominatae, Sectio Mathematica . 7 : 79–82.
- ^ Kahle, Matthew (2012). "Empaquetaduras de disco dispersas localmente atascadas". Annals of Combinatorics . 16 (4): 773–780. doi : 10.1007 / s00026-012-0159-0 .
- ^ a b Tom Kennedy (2006). "Empaquetaduras compactas del avión con dos tamaños de discos". Geometría discreta y computacional . 35 (2): 255–267. arXiv : matemáticas / 0407145 . doi : 10.1007 / s00454-005-1172-4 .
- ^ a b Heppes, Aladár (1 de agosto de 2003). "Algunas empaquetaduras de discos de dos tamaños más densos en el avión" . Geometría discreta y computacional . 30 (2): 241–262. doi : 10.1007 / s00454-003-0007-6 .
- ^ Bédaride, Nicolas; Fernique, Thomas (17 de febrero de 2020). "Densidad de los paquetes de discos compactos binarios". arXiv : 2002.07168 . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Kennedy, Tom (21 de julio de 2004). "Embalajes circulares" . Consultado el 11 de octubre de 2018 .
- ^ de Laat, David; de Oliveira Filho, Fernando Mario; Vallentin, Frank (12 de junio de 2012). "Límites superiores para empaquetaduras de esferas de varios radios". Foro de Matemáticas, Sigma . 2 . arXiv : 1206.2608 . doi : 10.1017 / fms.2014.24 .
- ^ Conferencia de TED.com sobre origami moderno " Robert Lang en TED ".
Bibliografía
- Wells D (1991). El Diccionario Penguin de Geometría Curiosa e Interesante . Nueva York: Penguin Books. págs. 30–31, 167 . ISBN 0-14-011813-6.
- Stephenson, Kenneth (diciembre de 2003). "Circle Packing: A Mathematical Tale" (PDF) . Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense . 50 (11).