En teoría de números , la ley de reciprocidad cuadrática es un teorema sobre aritmética modular que da condiciones para la solubilidad de ecuaciones cuadráticas módulo números primos . Debido a su sutileza, tiene muchas formulaciones, pero la declaración más estándar es:
Ley de reciprocidad cuadrática - Deje que p y q sean distintos números primos impares, y definir el símbolo de Legendre como:
Luego:
Esta ley, junto con sus suplementos , permite el cálculo fácil de cualquier símbolo de Legendre, lo que permite determinar si existe una solución entera para cualquier ecuación cuadrática de la forma por un primo impar ; es decir, para determinar los "cuadrados perfectos" módulo. Sin embargo, este es un resultado no constructivo : no ayuda en absoluto a encontrar una solución específica ; para esto, se requieren otros métodos. Por ejemplo, en el casousando el criterio de Euler se puede dar una fórmula explícita para el módulo de "raíces cuadradas" de un residuo cuadrático , a saber,
Por supuesto,
Esta fórmula solo funciona si se sabe de antemano que es un residuo cuadrático , que se puede verificar usando la ley de reciprocidad cuadrática.
El teorema de reciprocidad cuadrática fue conjeturado por Euler y Legendre y primero probado por Gauss , [1] quien se refirió a él como el "teorema fundamental" en sus Disquisitiones Arithmeticae y sus artículos, escribiendo
- Ciertamente, el teorema fundamental debe considerarse como uno de los más elegantes de su tipo. (Art. 151)
En privado, Gauss se refirió a él como el "teorema de oro". [2] Publicó seis pruebas para ello, y se encontraron dos más en sus artículos póstumos. Ahora hay más de 240 pruebas publicadas. [3] La prueba más corta conocida se incluye a continuación , junto con pruebas breves de los suplementos de la ley (los símbolos de Legendre de -1 y 2).
La generalización de la ley de reciprocidad a los poderes superiores ha sido un problema importante en matemáticas y ha sido crucial para el desarrollo de gran parte de la maquinaria del álgebra moderna , la teoría de números y la geometría algebraica , que culminó en la reciprocidad de Artin , la teoría de campos de clases y la teoría de Langlands. programa .
Ejemplos motivadores
La reciprocidad cuadrática surge de ciertos patrones sutiles de factorización que involucran números cuadrados perfectos. En esta sección, damos ejemplos que conducen al caso general.
Factorizar n 2 - 5
Considere el polinomio y sus valores para Las factorizaciones primas de estos valores se dan de la siguiente manera:
norte | norte | norte | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | −4 | −2 2 | dieciséis | 251 | 251 | 31 | 956 | 2 2 ⋅239 | ||
2 | −1 | −1 | 17 | 284 | 2 2 ⋅71 | 32 | 1019 | 1019 | ||
3 | 4 | 2 2 | 18 | 319 | 11⋅29 | 33 | 1084 | 2 2 ⋅271 | ||
4 | 11 | 11 | 19 | 356 | 2 2 ⋅89 | 34 | 1151 | 1151 | ||
5 | 20 | 2 2 ⋅5 | 20 | 395 | 5⋅79 | 35 | 1220 | 2 2 ⋅5⋅61 | ||
6 | 31 | 31 | 21 | 436 | 2 2 ⋅109 | 36 | 1291 | 1291 | ||
7 | 44 | 2 2 ⋅11 | 22 | 479 | 479 | 37 | 1364 | 2 2 ⋅11⋅31 | ||
8 | 59 | 59 | 23 | 524 | 2 2 ⋅131 | 38 | 1439 | 1439 | ||
9 | 76 | 2 2 ⋅19 | 24 | 571 | 571 | 39 | 1516 | 2 2 ⋅379 | ||
10 | 95 | 5⋅19 | 25 | 620 | 2 2 ⋅5⋅31 | 40 | 1595 | 5⋅11⋅29 | ||
11 | 116 | 2 2 ⋅29 | 26 | 671 | 11⋅61 | 41 | 1676 | 2 2 ⋅419 | ||
12 | 139 | 139 | 27 | 724 | 2 2 ⋅181 | 42 | 1759 | 1759 | ||
13 | 164 | 2 2 ⋅41 | 28 | 779 | 19⋅41 | 43 | 1844 | 2 2 ⋅461 | ||
14 | 191 | 191 | 29 | 836 | 2 2 ⋅11⋅19 | 44 | 1931 | 1931 | ||
15 | 220 | 2 2 ⋅5⋅11 | 30 | 895 | 5⋅179 | 45 | 2020 | 2 2 ⋅5⋅101 |
Los factores primos divisor están , y cada primo cuyo último dígito sea o ; sin números primos que terminen en o aparecer alguna vez. Ahora, es un factor primo de algunos cuando sea , es decir, siempre que es decir, siempre que 5 sea un módulo de residuo cuadrático . Esto pasa por y esos primos con y los últimos números y son precisamente los residuos cuadráticos módulo . Por lo tanto, a excepción de, tenemos eso es un módulo de residuo cuadrático si es un módulo de residuo cuadrático .
La ley de reciprocidad cuadrática proporciona una caracterización similar de los divisores primos de para cualquier primo q , lo que conduce a una caracterización para cualquier número entero.
Patrones entre residuos cuadráticos
Sea p un primo impar. Un número módulo p es un residuo cuadrático siempre que sea congruente con un cuadrado ( módulo p ); de lo contrario, es un no residuo cuadrático. ("Cuadrático" puede descartarse si queda claro en el contexto.) Aquí excluimos cero como un caso especial. Entonces, como consecuencia del hecho de que el grupo multiplicativo de un campo finito de orden p es cíclico de orden p-1 , se cumplen las siguientes afirmaciones:
- Hay un número igual de residuos cuadráticos y no residuos; y
- El producto de dos residuos cuadráticos es un residuo, el producto de un residuo y un no residuo es un no residuo, y el producto de dos no residuos es un residuo.
Para evitar dudas, estas afirmaciones no son válidas si el módulo no es primo. Por ejemplo, solo hay 3 residuos cuadráticos (1, 4 y 9) en el grupo multiplicativo módulo 15. Además, aunque 7 y 8 son no residuos cuadráticos, su producto 7x8 = 11 también es un no residuo cuadrático, en contraste con el caso principal.
Los residuos cuadráticos son entradas en la siguiente tabla:
norte | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | dieciséis | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
n 2 | 1 | 4 | 9 | dieciséis | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 | 256 | 289 | 324 | 361 | 400 | 441 | 484 | 529 | 576 | 625 |
mod 3 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
mod 5 | 1 | 4 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 4 | 1 | 0 |
mod 7 | 1 | 4 | 2 | 2 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 2 | 2 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 2 | 2 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 2 | 2 |
mod 11 | 1 | 4 | 9 | 5 | 3 | 3 | 5 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 5 | 3 | 3 | 5 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
mod 13 | 1 | 4 | 9 | 3 | 12 | 10 | 10 | 12 | 3 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 3 | 12 | 10 | 10 | 12 | 3 | 9 | 4 | 1 |
mod 17 | 1 | 4 | 9 | dieciséis | 8 | 2 | 15 | 13 | 13 | 15 | 2 | 8 | dieciséis | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | dieciséis | 8 | 2 | 15 | 13 |
mod 19 | 1 | 4 | 9 | dieciséis | 6 | 17 | 11 | 7 | 5 | 5 | 7 | 11 | 17 | 6 | dieciséis | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | dieciséis | 6 | 17 |
mod 23 | 1 | 4 | 9 | dieciséis | 2 | 13 | 3 | 18 | 12 | 8 | 6 | 6 | 8 | 12 | 18 | 3 | 13 | 2 | dieciséis | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
mod 29 | 1 | 4 | 9 | dieciséis | 25 | 7 | 20 | 6 | 23 | 13 | 5 | 28 | 24 | 22 | 22 | 24 | 28 | 5 | 13 | 23 | 6 | 20 | 7 | 25 | dieciséis |
mod 31 | 1 | 4 | 9 | dieciséis | 25 | 5 | 18 | 2 | 19 | 7 | 28 | 20 | 14 | 10 | 8 | 8 | 10 | 14 | 20 | 28 | 7 | 19 | 2 | 18 | 5 |
mod 37 | 1 | 4 | 9 | dieciséis | 25 | 36 | 12 | 27 | 7 | 26 | 10 | 33 | 21 | 11 | 3 | 34 | 30 | 28 | 28 | 30 | 34 | 3 | 11 | 21 | 33 |
mod 41 | 1 | 4 | 9 | dieciséis | 25 | 36 | 8 | 23 | 40 | 18 | 39 | 21 | 5 | 32 | 20 | 10 | 2 | 37 | 33 | 31 | 31 | 33 | 37 | 2 | 10 |
mod 43 | 1 | 4 | 9 | dieciséis | 25 | 36 | 6 | 21 | 38 | 14 | 35 | 15 | 40 | 24 | 10 | 41 | 31 | 23 | 17 | 13 | 11 | 11 | 13 | 17 | 23 |
mod 47 | 1 | 4 | 9 | dieciséis | 25 | 36 | 2 | 17 | 34 | 6 | 27 | 3 | 28 | 8 | 37 | 21 | 7 | 42 | 32 | 24 | 18 | 14 | 12 | 12 | 14 |
Esta tabla está completa para primos impares menores que 50. Para verificar si un número m es un residuo cuadrático mod uno de estos primos p , encuentre a ≡ m (mod p ) y 0 ≤ a < p . Si a está en la fila p , entonces m es un residuo (mod p ); si a no está en la fila p de la tabla, entonces m no es un residuo (mod p ).
La ley de reciprocidad cuadrática es el enunciado de que ciertos patrones encontrados en la tabla son verdaderos en general.
q = ± 1 y el primer suplemento
Trivialmente, 1 es un residuo cuadrático para todos los números primos. La pregunta se vuelve más interesante para −1. Al examinar la tabla, encontramos −1 en las filas 5, 13, 17, 29, 37 y 41, pero no en las filas 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43 o 47. El primer conjunto de números primos son todos congruentes a 1 módulo 4, y estos últimos son congruentes con 3 módulo 4.
- Primer suplemento a la reciprocidad cuadrática. La congruencia es solucionable si y solo si es congruente con 1 módulo 4.
q = ± 2 y el segundo suplemento
Al examinar la tabla, encontramos 2 en las filas 7, 17, 23, 31, 41 y 47, pero no en las filas 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37 o 43. Los primeros números primos son todos ≡ ± 1 (mod 8), y los últimos son todos ≡ ± 3 (mod 8). Esto lleva a
- Segundo suplemento a la reciprocidad cuadrática. La congruencia es solucionable si y solo si es congruente con ± 1 módulo 8.
−2 está en las filas 3, 11, 17, 19, 41, 43, pero no en las filas 5, 7, 13, 23, 29, 31, 37 o 47. Las primeras son ≡ 1 o ≡ 3 (mod 8) , y los últimos son ≡ 5, 7 (mod 8).
q = ± 3
3 está en las filas 11, 13, 23, 37 y 47, pero no en las filas 5, 7, 17, 19, 29, 31, 41 o 43. Las primeras son ≡ ± 1 (mod 12) y las últimas son todos ≡ ± 5 (mod 12).
−3 está en las filas 7, 13, 19, 31, 37 y 43, pero no en las filas 5, 11, 17, 23, 29, 41 o 47. Las primeras son ≡ 1 (mod 3) y las últimas ≡ 2 (mod 3).
Dado que el único residuo (mod 3) es 1, vemos que −3 es un residuo cuadrático módulo cada primo que es un residuo módulo 3.
q = ± 5
5 está en las filas 11, 19, 29, 31 y 41, pero no en las filas 3, 7, 13, 17, 23, 37, 43 o 47. Las primeras son ≡ ± 1 (mod 5) y las últimas son ≡ ± 2 (mod 5).
Dado que los únicos residuos (mod 5) son ± 1, vemos que 5 es un residuo cuadrático módulo cada primo que es un residuo módulo 5.
−5 está en las filas 3, 7, 23, 29, 41, 43 y 47, pero no en las filas 11, 13, 17, 19, 31 o 37. Las primeras son ≡ 1, 3, 7, 9 (mod 20 ) y los últimos son ≡ 11, 13, 17, 19 (mod 20).
Mayor q
Las observaciones sobre −3 y 5 continúan siendo válidas: −7 es un residuo módulo p si y solo si p es un residuo módulo 7, −11 es un residuo módulo p si y solo si p es un residuo módulo 11, 13 es un residuo residuo (mod p ) si y solo si p es un residuo módulo 13, etc. Las reglas de aspecto más complicado para los caracteres cuadráticos de 3 y −5, que dependen de las congruencias módulo 12 y 20 respectivamente, son simplemente las de - 3 y 5 trabajando con el primer suplemento.
- Ejemplo. Para que −5 sea un residuo (mod p ), tanto 5 como −1 tienen que ser residuos (mod p ) o ambos tienen que ser no residuos: es decir, p ≡ ± 1 (mod 5) y p ≡ 1 (mod 4) o p ≡ ± 2 (mod 5) y p ≡ 3 (mod 4). Usando el teorema del resto chino, estos son equivalentes ap ≡ 1, 9 (mod 20) op ≡ 3, 7 (mod 20).
La generalización de las reglas para −3 y 5 es el enunciado de reciprocidad cuadrática de Gauss.
Versión de Legendre
Otra forma de organizar los datos es ver qué primos son residuos y qué otros primos, como se ilustra en la siguiente tabla. La entrada en la fila p columna q es R si q es un residuo cuadrático (mod p ); si es un no residuo de la entrada es N .
Si la fila, la columna o ambas son ≡ 1 (mod 4), la entrada es azul o verde; si tanto la fila como la columna son ≡ 3 (mod 4), es amarillo o naranja.
Las entradas azul y verde son simétricas alrededor de la diagonal: La entrada para la fila p , columna q es R (resp N ) si y solo si la entrada en la fila q , columna p , es R (resp N ).
Los amarillos y naranjas, por otro lado, son antisimétricos: la entrada para la fila p , columna q es R (resp N ) si y solo si la entrada en la fila q , columna p , es N (resp R ).
La ley de reciprocidad establece que estos patrones son válidos para todo p y q .
R | q es un residuo (mod p ) | q ≡ 1 (mod 4) op ≡ 1 (mod 4) (o ambos) |
norte | q no es un residuo (mod p ) | |
R | q es un residuo (mod p ) | tanto q ≡ 3 (mod 4) como p ≡ 3 (mod 4) |
norte | q no es un residuo (mod p ) |
q | |||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 | 31 | 37 | 41 | 43 | 47 | 53 | 59 | 61 | 67 | 71 | 73 | 79 | 83 | 89 | 97 | ||
pag | 3 | norte | R | norte | R | norte | R | norte | norte | R | R | norte | R | norte | norte | norte | R | R | norte | R | R | norte | norte | R | |
5 | norte | norte | R | norte | norte | R | norte | R | R | norte | R | norte | norte | norte | R | R | norte | R | norte | R | norte | R | norte | ||
7 | norte | norte | R | norte | norte | norte | R | R | norte | R | norte | R | norte | R | norte | norte | R | R | norte | R | norte | norte | norte | ||
11 | R | R | norte | norte | norte | norte | R | norte | R | R | norte | norte | R | R | R | norte | R | R | norte | norte | norte | R | R | ||
13 | R | norte | norte | norte | R | norte | R | R | norte | norte | norte | R | norte | R | norte | R | norte | norte | norte | R | norte | norte | norte | ||
17 | norte | norte | norte | norte | R | R | norte | norte | norte | norte | norte | R | R | R | R | norte | R | norte | norte | norte | R | R | norte | ||
19 | norte | R | R | R | norte | R | R | norte | norte | norte | norte | R | R | norte | norte | R | norte | norte | R | norte | R | norte | norte | ||
23 | R | norte | norte | norte | R | norte | norte | R | R | norte | R | norte | R | norte | R | norte | norte | R | R | norte | norte | norte | norte | ||
29 | norte | R | R | norte | R | norte | norte | R | norte | norte | norte | norte | norte | R | R | norte | R | R | norte | norte | R | norte | norte | ||
31 | norte | R | R | norte | norte | norte | R | norte | norte | norte | R | norte | R | norte | R | norte | R | R | norte | norte | norte | norte | R | ||
37 | R | norte | R | R | norte | norte | norte | norte | norte | norte | R | norte | R | R | norte | norte | R | R | R | norte | R | norte | norte | ||
41 | norte | R | norte | norte | norte | norte | norte | R | norte | R | R | R | norte | norte | R | R | norte | norte | R | norte | R | norte | norte | ||
43 | norte | norte | norte | R | R | R | norte | R | norte | R | norte | R | R | R | R | norte | R | norte | norte | R | R | norte | R | ||
47 | R | norte | R | norte | norte | R | norte | norte | norte | norte | R | norte | norte | R | R | R | norte | R | norte | R | R | R | R | ||
53 | norte | norte | R | R | R | R | norte | norte | R | norte | R | norte | R | R | R | norte | norte | norte | norte | norte | norte | R | R | ||
59 | R | R | R | norte | norte | R | R | norte | R | norte | norte | R | norte | norte | R | norte | norte | R | norte | R | norte | norte | norte | ||
61 | R | R | norte | norte | R | norte | R | norte | norte | norte | norte | R | norte | R | norte | norte | norte | norte | R | norte | R | norte | R | ||
67 | norte | norte | norte | norte | norte | R | R | R | R | norte | R | norte | norte | R | norte | R | norte | R | R | norte | R | R | norte | ||
71 | R | R | norte | norte | norte | norte | R | norte | R | norte | R | norte | R | norte | norte | norte | norte | norte | R | R | R | R | norte | ||
73 | R | norte | norte | norte | norte | norte | R | R | norte | norte | R | R | norte | norte | norte | norte | R | R | R | R | norte | R | R | ||
79 | norte | R | norte | R | R | norte | R | R | norte | R | norte | norte | norte | norte | norte | norte | norte | R | norte | R | R | R | R | ||
83 | R | norte | R | R | norte | R | norte | R | R | R | R | R | norte | norte | norte | R | R | norte | norte | norte | norte | norte | norte | ||
89 | norte | R | norte | R | norte | R | norte | norte | norte | norte | norte | norte | norte | R | R | norte | norte | R | R | R | R | norte | R | ||
97 | R | norte | norte | R | norte | norte | norte | norte | norte | R | norte | norte | R | R | R | norte | R | norte | norte | R | R | norte | R |
Declaración del teorema
Reciprocidad cuadrática (declaración de Gauss). Si entonces la congruencia es solucionable si y solo si es solucionable. Si entonces la congruencia es solucionable si y solo si es solucionable.
Reciprocidad cuadrática (declaración combinada). Definir. Entonces la congruencia es solucionable si y solo si es solucionable.
Reciprocidad cuadrática (declaración de Legendre). Si p o q son congruentes con 1 módulo 4, entonces: es solucionable si y solo si es solucionable. Si p y q son congruentes a 3 modulo 4, a continuación: es solucionable si y solo si no tiene solución.
El último es inmediatamente equivalente a la forma moderna indicada en la introducción anterior. Es un ejercicio simple para demostrar que las afirmaciones de Legendre y Gauss son equivalentes; no requiere más que el primer suplemento y los hechos sobre la multiplicación de residuos y no residuos.
Prueba
Aparentemente, la prueba más corta conocida hasta ahora fue publicada por B. Veklych en The American Mathematical Monthly. [4]
Pruebas de los suplementos
El valor del símbolo de Legendre de (usado en la demostración anterior) se sigue directamente del criterio de Euler :
según el criterio de Euler, pero ambos lados de esta congruencia son números de la forma , por lo que deben ser iguales.
Ya sea es un residuo cuadrático se puede concluir si conocemos el número de soluciones de la ecuación con que puede resolverse mediante métodos estándar. Es decir, todas sus soluciones donde se puede agrupar en octillizos de la forma , y lo que queda son cuatro soluciones de la forma y posiblemente cuatro soluciones adicionales donde y , que existen precisamente si es un residuo cuadrático. Es decir, es un residuo cuadrático precisamente si el número de soluciones de esta ecuación es divisible por . Y esta ecuación se puede resolver de la misma manera aquí que con los números racionales: sustituir, donde exigimos que (dejando de lado las dos soluciones ), entonces la ecuación original se transforma en
Aquí puede tener cualquier valor que no haga que el denominador sea cero, para lo cual hay posibilidades (es decir Si es un residuo, si no) - y tampoco hace cero, que excluye una opción más, . Por lo tanto hay
posibilidades para , por lo que, junto con las dos soluciones excluidas, existen soluciones de la ecuación original. Por lo tanto, es un módulo de residuo si y solo si divide . Esta es una reformulación de la condición mencionada anteriormente.
Historia y declaraciones alternativas
El teorema se formuló de muchas maneras antes de su forma moderna: Euler y Legendre no tenían la notación de congruencia de Gauss, ni Gauss tenía el símbolo de Legendre.
En este artículo p y q se refieren siempre al distinto prepara positivos impares, y x e y a números enteros especificados.
Fermat
Fermat demostró [5] (o afirmó haber probado) [6] una serie de teoremas sobre la expresión de un número primo mediante una forma cuadrática:
No estableció la ley de la reciprocidad cuadrática, aunque los casos -1, ± 2 y ± 3 son deducciones fáciles de estos y otros de sus teoremas.
También afirmó tener una prueba de que si el número primo p termina en 7, (en base 10) y el número primo q termina en 3, y p ≡ q ≡ 3 (mod 4), entonces
Euler conjeturó, y Lagrange demostró, que [7]
Probar estas y otras afirmaciones de Fermat fue una de las cosas que llevó a los matemáticos al teorema de reciprocidad.
Euler
Traducido a notación moderna, Euler afirmó [8] que por distintas extraña números primos p y q :
- Si q ≡ 1 (mod 4) entonces q es un residuo cuadrático (mod p ) si y solo si existe algún entero b tal que p ≡ b 2 (mod q ).
- Si q ≡ 3 (mod 4) entonces q es un residuo cuadrático (mod p ) si y solo si existe un entero b que es impar y no divisible por q tal que p ≡ ± b 2 (mod 4 q ).
Esto es equivalente a la reciprocidad cuadrática.
No pudo probarlo, pero sí probó el segundo suplemento. [9]
Legendre y su símbolo
Fermat demostró que si p es un número primo y a es un entero,
Por lo tanto, si p no divide a , utilizando el hecho no obvio (ver, por ejemplo, Irlanda y Rosen a continuación) de que los residuos módulo p forman un campo y, por lo tanto, en particular, el grupo multiplicativo es cíclico, por lo que puede haber como máximo dos soluciones una ecuación cuadrática:
Legendre [10] permite una y A representan números primos positivos ≡ 1 (mod 4) y B y B primos positivos ≡ 3 (mod 4), y establece una tabla de ocho teoremas que juntos son equivalentes a la reciprocidad cuadrática:
Teorema | Cuándo | resulta que |
---|---|---|
I | ||
II | ||
III | ||
IV | ||
V | ||
VI | ||
VII | ||
VIII |
Dice que dado que las expresiones de la forma
aparecerá tan a menudo que los abreviará como:
Esto se conoce ahora como el símbolo de Legendre , y un equivalente [11] [12] definición se utiliza hoy en día: para todos los números enteros a y todos los primos impares p
La versión de Legendre de la reciprocidad cuadrática
Señala que estos se pueden combinar:
Varias pruebas, especialmente las basadas en el Lema de Gauss , [13] calculan explícitamente esta fórmula.
Las leyes complementarias que utilizan símbolos de Legendre
A partir de estos dos suplementos, podemos obtener una tercera ley de reciprocidad para el carácter cuadrático -2 de la siguiente manera:
Para que -2 sea un residuo cuadrático, 1 o -2 son ambos residuos cuadráticos, o ambos no residuos:.
Así que tampoco:son pares o impares. La suma de estas dos expresiones es
- que es parejo. Por lo tanto,
El intento de Legendre de demostrar la reciprocidad se basa en un teorema suyo:
- Teorema de Legendre. Deje un , b y c ser enteros, donde cualquier par de los tres son primos entre sí. Además, suponga que al menos uno de ab , bc o ca es negativo (es decir, no todos tienen el mismo signo). Si
- son solucionables, entonces la siguiente ecuación tiene una solución no trivial en números enteros:
Ejemplo. El teorema I se maneja dejando a ≡ 1 yb ≡ 3 (mod 4) ser primos y asumiendo que y, contrariamente al teorema, que Luego tiene una solución, y tomar congruencias (mod 4) conduce a una contradicción.
Esta técnica no funciona para el Teorema VIII. Sea b ≡ B ≡ 3 (mod 4), y suponga
Entonces, si hay otro primo p ≡ 1 (mod 4) tal que
la solubilidad de conduce a una contradicción (mod 4). Pero Legendre fue incapaz de probar que tiene que haber una p primordial ; más tarde pudo demostrar que todo lo que se requiere es:
- Lema de Legendre. Si p es un primo que es congruente con 1 módulo 4, entonces existe un primo impar q tal que
pero tampoco pudo probarlo. El símbolo de Hilbert (abajo) analiza cómo las técnicas basadas en la existencia de soluciones para se puede hacer funcionar.
Gauss
Gauss primero prueba [14] las leyes complementarias. Establece [15] la base para la inducción probando el teorema para ± 3 y ± 5. Observando [16] que es más fácil establecer para −3 y +5 que para +3 o −5, establece [17] el teorema general en la forma:
- Si p es un primo de la forma 4 n + 1 entonces p , pero si p es de la forma 4 n + 3 entonces - p , es un residuo cuadrático (resp. No residuo) de cada primo, que, con un signo positivo, es un residuo (resp. no residuo) de p . En la siguiente oración, lo bautiza como el "teorema fundamental" (Gauss nunca usó la palabra "reciprocidad").
Presentación de la notación de una R b (resp. Una N b ) en el sentido de una es un residuo cuadrático (resp. No residuo) (mod b ), y dejando un , una ', etc. representan números primos positivos ≡ 1 (mod 4) y b , b ′, etc.primos positivos ≡ 3 (mod 4), lo divide en los mismos 8 casos que Legendre:
Caso | Si | Luego |
---|---|---|
1) | ± a R a ′ | ± una 'R una |
2) | ± a N a ′ | ± a ′ N a |
3) | + a R b - a N b | ± b R a |
4) | + a N b - a R b | ± b N a |
5) | ± b R a | + a R b - a N b |
6) | ± b N a | + a N b - a R b |
7) | + b R b ′ - b N b ′ | - b ′ N b + b ′ R b |
8) | - b N b ′ + b R b ′ | + segundo ′ R segundo - segundo ′ N segundo |
En el siguiente artículo, generaliza esto a lo que son básicamente las reglas para el símbolo de Jacobi (abajo) . Dejando A , A ′, etc.representar cualquier número positivo (primo o compuesto) ≡ 1 (mod 4) y B , B ′, etc.números positivos ≡ 3 (mod 4):
Caso | Si | Luego |
---|---|---|
9) | ± a R A | ± A R a |
10) | ± b R A | + A R b - A N b |
11) | + a R B | ± B R a |
12) | - a R B | ± B N a |
13) | + b R B | - B N b + N R b |
14) | - b R B | + B R b - B N b |
Todos estos casos toman la forma "si un primo es un residuo (mod un compuesto), entonces el compuesto es un residuo o no residuo (mod el primo), dependiendo de las congruencias (mod 4)". Demuestra que estos se derivan de los casos 1) - 8).
Gauss necesitaba, y pudo probar, [18] un lema similar al que necesitaba Legendre:
- Lema de Gauss. Si p es un primo congruente con 1 módulo 8, entonces existe un primo impar q tal que:
La prueba de reciprocidad cuadrática usa inducción completa .
- Versión de Gauss en símbolos de Legendre.
Estos se pueden combinar:
- Versión combinada de Gauss en símbolos de Legendre. Dejar
- En otras palabras:
- Luego:
Varias demostraciones del teorema, especialmente aquellas basadas en sumas de Gauss, derivan de esta fórmula. [19] o la división de primos en campos numéricos algebraicos , [20]
Otras declaraciones
Los enunciados de esta sección son equivalentes a la reciprocidad cuadrática: si, por ejemplo, se asume la versión de Euler, se puede deducir la versión de Legendre-Gauss y viceversa.
- Formulación de Euler de reciprocidad cuadrática. [21] Si luego
Esto se puede probar usando el lema de Gauss .
- Reciprocidad cuadrática (Gauss; Cuarta prueba). [22] Sean a , b , c , ... primos impares positivos desiguales, cuyo producto es n , y sea m el número de ellos que son ≡ 3 (mod 4); comprobar si n / a es un residuo de a , si n / b es un residuo de b , .... El número de no residuos encontrados será par cuando m ≡ 0, 1 (mod 4), y será impar si m ≡ 2, 3 (mod 4).
La cuarta demostración de Gauss consiste en probar este teorema (comparando dos fórmulas para el valor de las sumas de Gauss) y luego restringirlo a dos números primos. Luego da un ejemplo: Sea a = 3, b = 5, c = 7 y d = 11. Tres de estos, 3, 7 y 11 ≡ 3 (mod 4), entonces m ≡ 3 (mod 4). 5 x 7 x 11 R 3; 3 x 7 x 11 R 5; 3 x 5 x 11 R 7; y 3 × 5 × 7 N 11, por lo que hay un número impar de no residuos.
- Formulación de Eisenstein de reciprocidad cuadrática. [23] Suponga
- Luego
- Formulación de Mordell de reciprocidad cuadrática. [24] Que un , b y c ser números enteros. Para cada primo, p , dividiendo abc si la congruencia
- tiene una solución no trivial, entonces también la tiene:
- Formulación de la función Zeta
- Como se menciona en el artículo sobre las funciones zeta de Dedekind , la reciprocidad cuadrática es equivalente a que la función zeta de un campo cuadrático sea el producto de la función zeta de Riemann y una determinada función L de Dirichlet.
Símbolo de jacobi
El símbolo de Jacobi es una generalización del símbolo de Legendre; la principal diferencia es que el número de abajo tiene que ser positivo e impar, pero no tiene que ser primo. Si es primo, los dos símbolos concuerdan. Obedece las mismas reglas de manipulación que el símbolo de Legendre. En particular
y si ambos números son positivos e impares (esto a veces se llama "ley de reciprocidad de Jacobi"):
Sin embargo, si el símbolo de Jacobi es 1 pero el denominador no es primo, no se sigue necesariamente que el numerador sea un residuo cuadrático del denominador. Los casos de Gauss 9) - 14) anteriores se pueden expresar en términos de símbolos de Jacobi:
y como p es primo, el lado izquierdo es un símbolo de Legendre, y sabemos si M es un residuo módulo p o no.
Las fórmulas enumeradas en la sección anterior son válidas para los símbolos de Jacobi siempre que los símbolos estén definidos. La fórmula de Euler puede escribirse
Ejemplo.
2 es un residuo módulo de los primos 7, 23 y 31:
Pero 2 no es un residuo cuadrático módulo 5, por lo que no puede ser un módulo 15. Esto está relacionado con el problema que tenía Legendre: si a continuación, una es un módulo anti-residuos cada primo en la progresión aritmética m + 4 una , m + 8 una , ..., si no son los números primos en esta serie, pero que no se había demostrado hasta décadas después de Legendre. [25]
La fórmula de Eisenstein requiere condiciones relativas de primalidad (que son verdaderas si los números son primos)
- Dejar ser números enteros impares positivos tales que:
- Luego
Símbolo de Hilbert
La ley de reciprocidad cuadrática se puede formular en términos del símbolo de Hilbert donde un y b son dos números distintos de cero racionales y V se extiende sobre todos los valores absolutos no triviales de los racionales (el uno de Arquímedes y los p valores absolutos -adic para números primos p ). El símbolo de Hilbertes 1 o -1. Se define como 1 si y solo si la ecuacióntiene una solución en la finalización de los racionales en v distinta de. La ley de reciprocidad de Hilbert establece que, Para fija un y b y variando v , es 1 para todos, pero un número finito v y el producto desobre todo v es 1. (Esto se asemeja formalmente al teorema del residuo del análisis complejo).
La prueba de la reciprocidad de Hilbert se reduce a comprobar algunos casos especiales, y los casos no triviales resultan ser equivalentes a la ley principal y las dos leyes complementarias de reciprocidad cuadrática para el símbolo de Legendre. No hay ningún tipo de reciprocidad en la ley de reciprocidad de Hilbert; su nombre simplemente indica la fuente histórica del resultado en reciprocidad cuadrática. A diferencia de la reciprocidad cuadrática, que requiere condiciones de signo (es decir, positividad de los primos involucrados) y un tratamiento especial del primo 2, la ley de reciprocidad de Hilbert trata todos los valores absolutos de los racionales en pie de igualdad. Por lo tanto, es una forma más natural de expresar reciprocidad cuadrática con miras a la generalización: la ley de reciprocidad de Hilbert se extiende con muy pocos cambios a todos los campos globales y esta extensión puede considerarse con razón una generalización de la reciprocidad cuadrática a todos los campos globales.
Conexión con campos ciclotómicos
Las primeras pruebas de reciprocidad cuadrática son relativamente poco esclarecedoras. La situación cambió cuando Gauss usó sumas de Gauss para mostrar que los campos cuadráticos son subcampos de campos ciclotómicos , y la reciprocidad cuadrática deducida implícitamente a partir de un teorema de reciprocidad para campos ciclotómicos. Su demostración fue formulada en forma moderna por teóricos de números algebraicos posteriores. Esta demostración sirvió como modelo para la teoría del campo de clases , que puede verse como una vasta generalización de la reciprocidad cuadrática.
Robert Langlands formuló el programa Langlands , que ofrece una vasta generalización conjetural de la teoría del campo de clases. Escribió: [26]
- Confieso que, como estudiante que desconocía la historia de la asignatura y desconocía la conexión con la ciclotomía, la ley o sus supuestas pruebas elementales no me parecieron atractivas. Supongo que, aunque no me habría expresado (ni podría haberme expresado) de esta manera, lo vi como poco más que una curiosidad matemática, más adecuado para los aficionados que para la atención del matemático serio en el que entonces esperaba convertirme. Sólo en el libro de Hermann Weyl sobre la teoría algebraica de los números [27] lo aprecié como algo más.
Otros anillos
También hay leyes de reciprocidad cuadrática en anillos distintos de los enteros.
Enteros gaussianos
En su segunda monografía sobre reciprocidad cuártica [28] Gauss declaró la reciprocidad cuadrática para el anillode enteros gaussianos , diciendo que es un corolario de la ley bicuadrática enpero no proporcionó una prueba de ninguno de los teoremas. Dirichlet [29] mostró que la ley en puede deducirse de la ley para sin usar reciprocidad cuártica.
Por un extraño primo gaussiano y un entero gaussiano relativamente primo para definir el carácter cuadrático para por:
Dejar ser primos gaussianos distintos donde a y c son impares y b y d son pares. Entonces [30]
Enteros de Eisenstein
Considere la siguiente tercera raíz de la unidad:
El anillo de los enteros de Eisenstein es [31] Para una prima de Eisenstein y un entero de Eisenstein con definir el carácter cuadrático para por la fórmula
Deje que λ = un + bω y μ = c + dω ser distintos números primos Eisenstein donde un y c no son divisibles por 3 y b y d son divisibles por 3. Eisenstein demostrado [32]
Campos cuadráticos imaginarios
Las leyes anteriores son casos especiales de leyes más generales que se aplican al anillo de números enteros en cualquier campo numérico cuadrático imaginario . Sea k un campo numérico cuadrático imaginario con un anillo de números enterosPor un ideal primordial con extraña norma y definir el carácter cuadrático para como
por un ideal arbitrario factorizado en los ideales principales definir
y para definir
Dejar es decir es una base integral para Para con extraña norma definir números enteros (ordinarios) a , b , c , d mediante las ecuaciones,
y una función
Si m = Nμ y n = Nν son impares, Herglotz demostró [33]
También si
Entonces [34]
Polinomios sobre un campo finito
Deje que F sea un campo finito con q = p n elementos, en donde p es un número primo impar y n es positivo, y dejar que F [ x ] ser el anillo de polinomios en una variable con coeficientes en F . Siy f es irreducible , mónico , y tiene grado positivo, definir el carácter cuadrática para F [ x ] en la forma habitual:
Si es un producto de monic irreducibles dejar
Dedekind demostró que si son monos y tienen grados positivos, [35]
Poderes superiores
El intento de generalizar la reciprocidad cuadrática para poderes superiores al segundo fue uno de los principales objetivos que llevaron a los matemáticos del siglo XIX, incluidos Carl Friedrich Gauss , Peter Gustav Lejeune Dirichlet , Carl Gustav Jakob Jacobi , Gotthold Eisenstein , Richard Dedekind , Ernst Kummer y David. Hilbert al estudio de los campos numéricos algebraicos generales y sus anillos de números enteros; [36] específicamente Kummer inventó ideales para enunciar y probar leyes de mayor reciprocidad.
El noveno en la lista de 23 problemas no resueltos que David Hilbert propuso al Congreso de Matemáticos en 1900 pedía la "Prueba de la ley de reciprocidad más general [p] o un campo numérico arbitrario". [37] Basándose en el trabajo de Philipp Furtwängler , Teiji Takagi , Helmut Hasse y otros, Emil Artin descubrió la reciprocidad de Artin en 1923, un teorema general para el que todas las leyes de reciprocidad conocidas son casos especiales, y lo demostró en 1927. [38]
Ver también
- Función zeta de Dedekind
- Ley de reciprocidad racional
- Lema de Zolotarev
Notas
- ^ Gauss, DA § 4, artículos 107-150
- ↑ Por ejemplo, en la entrada de su diario matemático del 8 de abril de 1796 (fecha en la que demostró por primera vez la reciprocidad cuadrática). Vea la página de facsímil del Desarrollo de las matemáticas de Felix Klein en el siglo XIX
- ^ Ver la cronología y bibliografía de pruebas de F. Lemmermeyer en las referencias externas
- ↑ Veklych, Bogdan (2019). "Una prueba minimalista de la ley de reciprocidad cuadrática". The American Mathematical Monthly . 126 (10): 928. arXiv : 2106.08121 . doi : 10.1080 / 00029890.2019.1655331 .
- ^ Lemmermeyer, págs. 2-3
- ^ Gauss, DA, art. 182
- ^ Lemmermeyer, pág. 3
- ^ Lemmermeyer, pág. 5, Irlanda y Rosen, págs.54, 61
- ^ Irlanda y Rosen, págs. 69–70. Su demostración se basa en lo que ahora se llama sumas de Gauss.
- ^ Esta sección está basada en Lemmermeyer, págs. 6–8
- ^ La equivalencia es el criterio de Euler
- ^ El análogo de la definición original de Legendre se usa para símbolos de residuos de mayor potencia
- ↑ Por ejemplo, la prueba de Kronecker (Lemmermeyer, ej. P. 31, 1.34) es usar el lema de Gauss para establecer que
- ↑ Gauss, DA, arts. 108-116
- ↑ Gauss, DA, arts. 117-123
- ↑ Gauss, DA, arts. 130
- ↑ Gauss, DA, Art 131
- ^ Gauss, DA, arts. 125-129
- ^ Porque la suma básica de Gauss es igual a
- ^ Porque el campo cuadrático es un subcampo del campo ciclotómico
- ^ Irlanda y Rosen, págs. 60–61.
- ^ Gauss, "Summierung gewisser Reihen von besonderer Art", reimpreso en Untersuchumgen uber hohere Arithmetik , pp.463–495
- ^ Lemmermeyer, Th. 2.28, págs. 63–65
- ^ Lemmermeyer, ej. 1.9, pág. 28
- ^ Por Peter Gustav Lejeune Dirichlet en 1837
- ^ "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 22 de enero de 2012 . Consultado el 27 de junio de 2013 .CS1 maint: copia archivada como título ( enlace )
- ^ Weyl, Hermann (1998). Teoría Algebraica de Números . ISBN 0691059179.
- ^ Gauss, BQ § 60
- ↑ La prueba de Dirichlet está en Lemmermeyer, Prop. 5.1 p.154, e Ireland & Rosen, ej. 26 p. 64
- ^ Lemmermeyer, Prop. 5.1, p. 154
- ^ Consulte los artículos sobre reciprocidad de números enteros y cúbicos de Eisenstein para obtener definiciones y notaciones.
- ^ Lemmermeyer, Thm. 7.10, pág. 217
- ↑ Lemmermeyer, Thm 8.15, p.256 y siguientes
- ^ Lemmermeyer Thm. 8.18, pág. 260
- ^ Bach y Shallit, Thm. 6.7.1
- ^ Lemmermeyer, pág. 15, y Edwards, págs. 79-80, ambos presentan casos sólidos de que el estudio de una mayor reciprocidad fue mucho más importante como motivación que lo que fue el último teorema de Fermat.
- ^ Lemmermeyer, pág. viii
- ^ Lemmermeyer, pág. ix ff
Referencias
La Disquisitiones Arithmeticae ha sido traducida (del latín) al inglés y al alemán. La edición alemana incluye todos los artículos de Gauss sobre teoría de números: todas las pruebas de reciprocidad cuadrática, la determinación del signo de la suma de Gauss, las investigaciones sobre la reciprocidad bicuadrática y notas inéditas. Las notas a pie de página que hacen referencia a las Disquisitiones Arithmeticae tienen la forma "Gauss, DA, Art. N ".
- Gauss, Carl Friedrich; Clarke, Arthur A. (traductor al inglés) (1986), Disquisitiones Arithemeticae (Segunda edición corregida) , Nueva York: Springer , ISBN 0-387-96254-9
- Gauss, Carl Friedrich; Maser, Hermann (traductor al alemán) (1965), Untersuchungen über höhere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae y otros artículos sobre teoría de números) (Segunda edición) , Nueva York: Chelsea, ISBN 0-8284-0191-8
Las dos monografías que publicó Gauss sobre la reciprocidad bicuadrática tienen secciones numeradas consecutivamente: la primera contiene §§ 1–23 y la segunda §§ 24–76. Las notas a pie de página que hacen referencia a estos son de la forma "Gauss, BQ, § n ".
- Gauss, Carl Friedrich (1828), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima , Göttingen: comentario. Soc. regiae sci, Gotinga 6
- Gauss, Carl Friedrich (1832), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda , Göttingen: comentario. Soc. regiae sci, Gotinga 7
Estos se encuentran en el Werke de Gauss , Vol. II, págs. 65-92 y 93-148. Las traducciones al alemán se encuentran en las páginas 511–533 y 534–586 de Untersuchungen über höhere Arithmetik.
Todos los libros de texto sobre teoría elemental de números (y algunos sobre teoría algebraica de números ) tienen una prueba de reciprocidad cuadrática. Dos son especialmente dignos de mención:
Leyes de reciprocidad de Franz Lemmermeyer : De Euler a Eisenstein tiene muchas pruebas (algunas en ejercicios) de leyes de reciprocidad tanto cuadráticas como de poderes superiores y una discusión de su historia. Su inmensa bibliografía incluye citas bibliográficas de 196 diferentes pruebas publicadas de la ley de reciprocidad cuadrática .
Kenneth Irlanda y Michael Rosen 's Un clásico Introducción a la Teoría Número moderna también tiene muchas pruebas de reciprocidad cuadrática (y muchos ejercicios), y cubre los casos cúbicos y biquadratic también. El ejercicio 13.26 (p. 202) lo dice todo
Cuente el número de demostraciones de la ley de reciprocidad cuadrática dadas hasta ahora en este libro e idee otra.
- Bach, Eric; Shallit, Jeffrey (1966), Teoría algorítmica de números (Vol I: Algoritmos eficientes) , Cambridge: The MIT Press , ISBN 0-262-02405-5
- Edwards, Harold (1977), Último teorema de Fermat , Nueva York: Springer , ISBN 0-387-90230-9
- Lemmermeyer, Franz (2000), Leyes de reciprocidad , Monografías de Springer en matemáticas, Berlín: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-3-662-12893-0 , ISBN 3-540-66957-4, Señor 1761696
- Irlanda, Kenneth; Rosen, Michael (1990), A Classical Introduction to Modern Number Theory (segunda edición) , Nueva York: Springer , ISBN 0-387-97329-X
enlaces externos
- "Ley de reciprocidad cuadrática" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Teorema de reciprocidad cuadrática de MathWorld
- Una obra que compara dos pruebas de la ley de reciprocidad cuadrática.
- Una prueba de este teorema en PlanetMath
- Una prueba diferente en MathPages
- F.Cronología y bibliografía de las pruebas de la Ley de reciprocidad cuadrática de Lemmermeyer (332 pruebas)