En teoría de probabilidad y estadística , la ley del estadístico inconsciente (LOTUS) es un teorema que se utiliza para calcular el valor esperado de una función g ( X ) de una variable aleatoria X cuando se conoce la distribución de probabilidad de X pero no se conoce la distribución de g ( X ). La forma de la ley puede depender de la forma en la que un Estados la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X . Si es una distribución discreta y se conoce su función de masa de probabilidad ƒ X (pero no ƒ g ( X ) ), entonces el valor esperado de g ( X ) es
donde la suma es sobre todos los valores posibles x de X . Si es una distribución continua y se conoce su función de densidad de probabilidad ƒ X (pero no ƒ g ( X ) ), entonces el valor esperado de g ( X ) es
Si se conoce la función de distribución de probabilidad acumulada F X (pero no F g ( X ) ), entonces el valor esperado de g ( X ) viene dado por una integral de Riemann-Stieltjes
(nuevamente asumiendo que X tiene un valor real). [1] [2] [3] [4]
Etimología
Esta proposición se conoce como la ley del estadístico inconsciente debido a una supuesta tendencia a usar la identidad sin darse cuenta de que debe tratarse como el resultado de un teorema rigurosamente probado, no simplemente como una definición. [4]
Distribuciones conjuntas
Una propiedad similar es válida para distribuciones conjuntas . Para las variables aleatorias discretas X e Y , una función de dos variables g , y la función de masa de probabilidad conjunta f ( x , y ): [5]
En el caso continuo, siendo f ( x , y ) la función de densidad de probabilidad conjunta,
Prueba
Esta ley no es un resultado trivial de definiciones como podría parecer a primera vista, sino que debe probarse. [5] [6] [7]
Caso continuo
Para una variable aleatoria continua X , sea Y = g ( X ), y suponga que g es derivable y que su inversa g −1 es monótona. Por la fórmula para funciones inversas y diferenciación ,
Como x = g −1 ( y ),
De modo que por un cambio de variables ,
Ahora, observe que debido a que la función de distribución acumulativa , sustituyendo el valor de g ( X ), tomando el inverso de ambos lados y reordenando los rendimientos. Entonces, por la regla de la cadena ,
Combinando estas expresiones, encontramos
Según la definición de valor esperado ,
Caso discreto
Dejar . Luego comience con la definición de valor esperado.
De la teoría de la medida
Una derivación técnicamente completa del resultado es disponibles usando argumentos en teoría de la medida , en la que el espacio de probabilidad de un transformado variable aleatoria g ( X ) está relacionada con la de la variable aleatoria original de X . Los pasos aquí implican definir una medida de avance para el espacio transformado, y el resultado es entonces un ejemplo de una fórmula de cambio de variables . [5]
Decimos tiene una densidad si es absolutamente continuo con respecto a la medida de Lebesgue . En ese caso
dónde es la densidad (ver derivada Radon-Nikodym ). Entonces, lo anterior se puede reescribir como el más familiar
Referencias
- ^ Eric Key (1998) Lecture 6: Random variables Archivado 2009-02-15 en Wayback Machine , Lecture notes, Universidad de Leeds
- ^ Bengt Ringner (2009) "Ley del estadístico inconsciente" , nota inédita, Centro de Ciencias Matemáticas, Universidad de Lund [ enlace muerto ]
- ^ Blitzstein, Joseph K .; Hwang, Jessica (2014). Introducción a la probabilidad (1ª ed.). Chapman y Hall. pag. 156.
- ^ a b DeGroot, Morris; Schervish, Mark (2014). Probabilidad y estadística (4ª ed.). Pearson Education Limited. pag. 213.
- ^ a b c Ross, Sheldon M. (2010). Introducción a los modelos de probabilidad (10ª ed.). Elsevier, Inc.
- ^ Laboratorios virtuales de probabilidad y estadística , secc. 3.1 "Valor esperado: Definición y propiedades", ítem "Resultados básicos: Teorema de cambio de variables".
- ^ Rumbos, Adolfo J. (2008). "Apuntes de la conferencia de probabilidad" (PDF) . Consultado el 6 de noviembre de 2018 .