En la teoría de la medida , una disciplina dentro de las matemáticas, una medida de empujar hacia adelante (también empujar hacia adelante , empujar hacia adelante o medida de imagen ) se obtiene transfiriendo ("empujando hacia adelante") una medida de un espacio medible a otro usando una función medible .
Definición
Dados espacios medibles y , un mapeo medible y una medida , el empujón de se define como la medida dada por
- por
Esta definición se aplica mutatis mutandis a una medida firmada o compleja . La medida de empuje hacia adelante también se denota como, , , o .
Propiedad principal: fórmula de cambio de variables
Teorema: [1] Una función medible g en X 2 es integrable con respecto a la medida de avance f ∗ ( μ ) si y solo si la composiciónes integrable con respecto a la medida μ . En ese caso, las integrales coinciden, es decir,
Tenga en cuenta que en la fórmula anterior .
Ejemplos y aplicaciones
- Un "natural medida de Lebesgue " en el círculo de la unidad S 1 (aquí considerado como un subconjunto del plano complejo C ) puede definirse usando una construcción push-hacia adelante y Lebesgue medida λ en la recta real R . Sea λ también la restricción de la medida de Lebesgue al intervalo [0, 2 π ) y sea f : [0, 2 π ) → S 1 la biyección natural definida por f ( t ) = exp ( i t ). La "medida de Lebesgue" natural en S 1 es entonces la medida de avance f ∗ ( λ ). La medida f ∗ ( λ ) también podría llamarse " medida de longitud de arco " o "medida de ángulo", ya que la medida f ∗ ( λ ) de un arco en S 1 es precisamente su longitud de arco (o, de manera equivalente, el ángulo que subtiende en el centro del círculo.)
- El ejemplo anterior se extiende muy bien para dar una "medida de Lebesgue" natural en el toro n- dimensional T n . El ejemplo anterior es un caso especial, ya que S 1 = T 1 . Esta medida de Lebesgue en T n es, hasta la normalización, la medida de Haar para el grupo de Lie compacto y conectado T n .
- Las medidas gaussianas en espacios vectoriales de dimensión infinita se definen utilizando el empuje hacia adelante y la medida gaussiana estándar en la línea real: una medida de Borel γ en un espacio de Banach separable X se llama gaussiana si el empuje hacia adelante de γ por cualquier valor distinto de cero lineal funcional en el espacio dual continuo a X es una medida de Gauss en R .
- Considere una función medible f : X → X y la composición de f consigo misma n veces:
- Esta función iterada forma un sistema dinámico . A menudo es de interés en el estudio de tales sistemas encontrar una medida μ en X que el mapa f no cambie, una denominada medida invariante , es decir, una para la cual f ∗ ( μ ) = μ .
- También se pueden considerar medidas cuasi-invariantes para un sistema tan dinámico: una medida en se llama cuasi-invariante bajo si el empujón de por es simplemente equivalente a la medida original μ , no necesariamente igual a ella. Un par de medidas en el mismo espacio son equivalentes si y solo si , entonces es casi invariante bajo Si
- Muchas distribuciones de probabilidad natural, como la distribución chi , se pueden obtener mediante esta construcción.
- Las variables aleatorias son medidas de avance. Mapean un espacio de probabilidad en un espacio de codominio y dotan a ese espacio con una medida de probabilidad definida por el empuje hacia adelante. Además, debido a que las variables aleatorias son funciones (y, por lo tanto, funciones totales), la imagen inversa del codominio completo es el dominio completo, y la medida del dominio completo es 1, por lo que la medida del codominio completo es 1. Esto significa que aleatorio las variables se pueden componer ad infimum, y siempre permanecerán como variables aleatorias y dotan a los espacios de codominio de medidas de probabilidad.
Una generalización
En general, cualquier función medible se puede impulsar hacia adelante, el empuje hacia adelante se convierte en un operador lineal , conocido como el operador de transferencia o el operador de Frobenius-Perron . En espacios finitos, este operador normalmente satisface los requisitos del teorema de Frobenius-Perron , y el valor propio máximo del operador corresponde a la medida invariante.
El adjunto al empuje hacia adelante es el retroceso ; como operador en espacios de funciones en espacios medibles, es el operador de composición u operador de Koopman .
Ver también
Notas
Referencias
- Bogachev, Vladimir I. (2007), Teoría de la medida , Berlín: Springer Verlag , ISBN 9783540345138
- Teschl, Gerald (2015), Temas de análisis real y funcional