El método Lax-Friedrichs , que lleva el nombre de Peter Lax y Kurt O. Friedrichs , es un método numérico para la solución de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas basadas en diferencias finitas . El método puede describirse como el esquema FTCS (avance en el tiempo, centrado en el espacio) con un término de disipación numérica de 1/2. Se puede ver el método Lax-Friedrichs como una alternativa al esquema de Godunov , donde se evita resolver un problema de Riemann en cada interfaz celular, a expensas de agregar viscosidad artificial.
Ilustración de un problema lineal
Considere una ecuación diferencial parcial hiperbólica lineal unidimensional para de la forma:
en el dominio
con condición inicial
y las condiciones de contorno
Si se discretiza el dominio a una cuadrícula con puntos igualmente espaciados con un espaciado de en el -dirección y en el -dirección, definimos
dónde
son números enteros que representan el número de intervalos de cuadrícula. Entonces, el método de Lax-Friedrichs para resolver la ecuación diferencial parcial anterior viene dado por:
O reescribir esto para resolver lo desconocido
De donde se toman los valores iniciales y los nodos de límite
Extensiones a problemas no lineales
Una ley de conservación hiperbólica no lineal se define mediante una función de flujo :
En el caso de , terminamos con un problema lineal escalar. Tenga en cuenta que, en general, es un vector con ecuaciones en él. La generalización del método de Lax-Friedrichs a sistemas no lineales toma la forma [1]
Este método es conservador y preciso de primer orden, por lo que es bastante disipativo. Sin embargo, puede usarse como un bloque de construcción para construir esquemas numéricos de alto orden para resolver ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas, al igual que los pasos de tiempo de Euler se pueden usar como un bloque de construcción para crear integradores numéricos de alto orden para ecuaciones diferenciales ordinarias.
Observamos que este método se puede escribir en forma de conservación:
dónde
Sin los términos adicionales y en el flujo discreto, , uno termina con el esquema FTCS , que es bien conocido por ser incondicionalmente inestable para problemas hiperbólicos.
Estabilidad y precisión
Este método es explícito y de primer orden preciso en el tiempo y de primer orden preciso en el espacio ( previsto son funciones suficientemente suaves. En estas condiciones, el método es estable si y solo si se cumple la siguiente condición:
(Un análisis de estabilidad de von Neumann puede mostrar la necesidad de esta condición de estabilidad.) El método Lax-Friedrichs se clasifica como disipación de segundo orden y dispersión de tercer orden ( Chu 1978 , pág. 304). Para las funciones que tienen discontinuidades , el esquema muestra una fuerte disipación y dispersión ( Thomas 1995 , §7.8); ver figuras a la derecha.
Referencias
- ^ LeVeque, Randall J. Métodos numéricos para las leyes de conservación ", Birkhauser Verlag, 1992, p. 125.
- DuChateau, Paul; Zachmann, David (2002), Ecuaciones diferenciales parciales aplicadas , Nueva York: Publicaciones de Dover , ISBN 978-0-486-41976-3.
- Thomas, JW (1995), Ecuaciones diferenciales parciales numéricas: métodos de diferencias finitas , Textos en matemáticas aplicadas, 22 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97999-1.
- Chu, CK (1978), Numerical Methods in Fluid Mechanics , Advances in Applied Mechanics, 18 , Nueva York: Academic Press , ISBN 978-0-12-002018-8.
- Presione, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 10.1.2. Método laxo" , Recetas numéricas: El arte de la informática científica (3ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8