En ciencia , ingeniería y otras disciplinas cuantitativas, el orden de aproximación se refiere a expresiones formales o informales de cuán precisa es una aproximación .
Uso en ciencia e ingeniería
En expresiones formales, el número ordinal usado antes del orden de las palabras se refiere al orden más alto de derivada en la expansión de la serie usada en la aproximación . Las expresiones: una de orden cero de aproximación , un primer orden de aproximación , un segundo orden de aproximación , y así sucesivamente se utilizan como frases fijos . La expresión una aproximación de orden cero también es común. Los números cardinales se usan ocasionalmente en expresiones como una aproximación de orden cero , una aproximación de orden uno , etc.
La omisión del orden de las palabras conduce a frases que tienen un significado menos formal. Frases como primera aproximación o primera aproximación pueden referirse a un valor aproximado de una cantidad . [1] [2] La frase a una aproximación cero indica una suposición salvaje . [3] La expresión orden de aproximación a veces se usa informalmente para referirse al número de cifras significativas , en orden creciente de precisión o al orden de magnitud . Sin embargo, esto puede resultar confuso ya que estas expresiones formales no se refieren directamente al orden de las derivadas.
La elección de la expansión de la serie depende del método científico utilizado para investigar un fenómeno . Se espera que el orden de aproximación de la expresión indique aproximaciones progresivamente más refinadas de una función en un intervalo especificado . La elección del orden de aproximación depende del propósito de la investigación . Es posible que desee simplificar una expresión analítica conocida para diseñar una nueva aplicación o, por el contrario, intentar ajustar una curva a puntos de datos . El orden superior de aproximación no siempre es más útil que el inferior. Por ejemplo, si una cantidad es constante dentro de todo el intervalo, aproximarla con una serie de Taylor de segundo orden no aumentará la precisión.
En el caso de una función suave , la aproximación de n -ésimo orden es un polinomio de grado n , que se obtiene truncando la serie de Taylor a este grado. El uso formal del orden de aproximación corresponde a la omisión de algunos términos de la serie utilizados en la expansión (generalmente los términos superiores). Esto afecta la precisión . El error suele variar dentro del intervalo. Por lo tanto, los números cero , primero , segundo , etc., utilizados formalmente en el significado anterior, no proporcionan directamente información sobre el porcentaje de error o cifras significativas .
Orden cero
Aproximación de orden cero es el término que utilizan los científicos para una primera respuesta aproximada. Se hacen muchos supuestos simplificadores y, cuando se necesita un número, a menudo se da una respuesta de orden de magnitud (o cifras significativas cero ). Por ejemplo, podría decir "la ciudad tiene algunos miles de residentes", cuando en realidad tiene 3.914 personas. Esto también se denomina a veces aproximación de orden de magnitud . El cero de "orden cero" representa el hecho de que incluso el único número dado, "unos pocos", está en sí mismo vagamente definido.
Una aproximación de orden cero de una función (es decir, determinar matemáticamente una fórmula para ajustar múltiples puntos de datos ) será constante , o una línea plana sin pendiente : un polinomio de grado 0. Por ejemplo,
podría ser, si se informara la precisión del punto de datos, un ajuste aproximado a los datos, obtenido simplemente promediando los valores xy los valores y. Sin embargo, los puntos de datos representan los resultados de las mediciones y difieren de los puntos de la geometría euclidiana . Por lo tanto, citar un valor promedio que contenga tres dígitos significativos en la salida con solo un dígito significativo en los datos de entrada podría reconocerse como un ejemplo de precisión falsa . Con la precisión implícita de los puntos de datos de ± 0.5, la aproximación de orden cero en el mejor de los casos podría producir el resultado para y de ~ 3.7 ± 2.0 en el intervalo de x de -0.5 a 2.5, considerando la desviación estándar .
Si los puntos de datos se informan como
la aproximación de orden cero da como resultado
La precisión del resultado justifica un intento de derivar una función multiplicativa para ese promedio, por ejemplo,
Sin embargo, se debe tener cuidado porque la función multiplicativa se definirá para todo el intervalo. Si solo hay tres puntos de datos disponibles, uno no tiene conocimiento sobre el resto del intervalo , que puede ser una gran parte del mismo. Esto significa que y podría tener otro componente que sea igual a 0 en los extremos y en el medio del intervalo. Se conocen varias funciones que tienen esta propiedad, por ejemplo y = sin π x . La serie de Taylor es útil y ayuda a predecir una solución analítica, pero la aproximación por sí sola no proporciona evidencia concluyente.
Primer orden
[3] Aproximación de primer orden es el término que utilizan los científicos para una respuesta ligeramente mejor. Se hacen algunas suposiciones simplificadoras, y cuando se necesita un número, a menudo se da una respuesta con solo una cifra significativa ("la ciudad tiene4 × 10 3 o cuatro mil residentes "). En el caso de una aproximación de primer orden, al menos un número dado es exacto. En el ejemplo de orden cero anterior, se dio la cantidad" unos pocos "pero en el ejemplo de primer orden , se da el número "4".
Una aproximación de primer orden de una función (es decir, determinar matemáticamente una fórmula para ajustar múltiples puntos de datos) será una aproximación lineal, una línea recta con una pendiente: un polinomio de grado 1. Por ejemplo,
es un ajuste aproximado a los datos. En este ejemplo, hay una aproximación de orden cero que es la misma que la del primer orden, pero el método para llegar allí es diferente; es decir, una puñalada salvaje en la oscuridad de una relación resultó ser tan buena como una "suposición fundamentada".
Segundo orden
Aproximación de segundo orden es el término que utilizan los científicos para una respuesta de calidad decente. Se hacen pocas suposiciones simplificadoras, y cuando se necesita un número, una respuesta con dos o más cifras significativas ("la ciudad tiene3.9 × 10 3 o treinta y novecientos residentes "). En finanzas matemáticas , las aproximaciones de segundo orden se conocen como correcciones de convexidad . Como en los ejemplos anteriores, el término" segundo orden "se refiere al número de numerales exactos dados para la cantidad imprecisa. En este caso, "3" y "9" se dan como los dos niveles sucesivos de precisión, en lugar de simplemente el "4" del primer orden, o "unos pocos" del orden cero que se encuentran en los ejemplos anteriores.
Una aproximación de segundo orden de una función (es decir, determinar matemáticamente una fórmula para ajustar múltiples puntos de datos) será un polinomio cuadrático , geométricamente, una parábola : un polinomio de grado 2. Por ejemplo,
es un ajuste aproximado a los datos. En este caso, con solo tres puntos de datos, una parábola es un ajuste exacto basado en los datos proporcionados. Sin embargo, los puntos de datos para la mayor parte del intervalo no están disponibles, lo que aconseja precaución (consulte " orden cero ").
Orden superior
Si bien existen aproximaciones de orden superior y son cruciales para una mejor comprensión y descripción de la realidad, normalmente no se hace referencia a ellas por números.
Continuando con lo anterior, se requeriría una aproximación de tercer orden para ajustar perfectamente cuatro puntos de datos, y así sucesivamente. Ver interpolación de polinomios .
Uso coloquial
Estos términos también los usan coloquialmente los científicos e ingenieros para describir fenómenos que pueden ser ignorados por no ser significativos (por ejemplo, "Por supuesto que la rotación de la Tierra afecta nuestro experimento, pero es un efecto de tan alto orden que no podríamos medirlo "o" A estas velocidades, la relatividad es un efecto de cuarto orden del que solo nos preocupamos en la calibración anual "). En este uso, la ordinalidad de la aproximación no es exacta, pero se usa para enfatizar su insignificancia; cuanto mayor sea el número utilizado, menos importante será el efecto. La terminología, en este contexto, representa un alto nivel de precisión requerido para dar cuenta de un efecto que se infiere que es muy pequeño en comparación con el tema en general. Cuanto mayor sea el orden, más precisión se requiere para medir el efecto y, por lo tanto, la pequeñez del efecto en comparación con la medición general.
Ver también
- Linealización
- Teoría de la perturbación
- Serie de taylor
- Método Chapman-Enskog
- Notación Big O
Referencias
- ^ primera aproximación en el tercer nuevo diccionario internacional de Webster, Könemann, ISBN 3-8290-5292-8
- ^ a una primera aproximación en Diccionario en línea y traducciones Webster-dictionary.org
- ^ a b a una aproximación cero en Diccionario en línea y traducciones Webster-dictionary.org