En análisis numérico y dinámica de fluidos computacional , el esquema de Godunov es un esquema numérico conservador , sugerido por SK Godunov en 1959, para resolver ecuaciones diferenciales parciales . Se puede pensar en este método como un método conservador de volumen finito que resuelve problemas de Riemann exactos o aproximados en cada límite entre celdas. En su forma básica, el método de Godunov tiene una precisión de primer orden tanto en el espacio como en el tiempo, pero puede utilizarse como esquema básico para desarrollar métodos de orden superior.
Esquema básico
Siguiendo el marco del método clásico de volumen finito , buscamos rastrear un conjunto finito de incógnitas discretas,
donde el y Formar un conjunto discreto de puntos para el problema hiperbólico:
donde los índices y indican las derivaciones en el tiempo y el espacio, respectivamente. Si integramos el problema hiperbólico sobre un volumen de controlobtenemos una formulación del Método de líneas (MOL) para los promedios espaciales de las celdas:
que es una descripción clásica del método de volumen finito ascendente de primer orden. (cf Leveque - Métodos de volumen finito para problemas hiperbólicos)
Integración de tiempo exacto de la fórmula anterior a partir del tiempo a tiempo produce la fórmula de actualización exacta:
El método de Godunov reemplaza la integral de tiempo de cada
con un método Forward Euler que produce una fórmula de actualización completamente discreta para cada una de las incógnitas. Es decir, aproximamos las integrales con
dónde es una aproximación a la solución exacta del problema de Riemann. Por coherencia, se supone que
y eso está aumentando en el primer argumento y disminuyendo en el segundo argumento. Para problemas escalares donde, se puede utilizar el esquema Upwind simple , que define.
El esquema completo de Godunov requiere la definición de un solucionador de Riemann aproximado o exacto , pero en su forma más básica, viene dado por:
Problema lineal
En el caso de un problema lineal, donde , y sin perder la generalidad, asumiremos que , el método upwinded Godunov produce:
que produce el esquema clásico de volumen finito upwinded de primer orden cuya estabilidad requiere .
Algoritmo de tres pasos
Siguiendo a Hirsch , el esquema implica tres pasos distintos para obtener la solución en de la solución conocida en , como sigue:
Paso 1 Defina la aproximación constante a trozos de la solución en. Dado que la aproximación constante por partes es un promedio de la solución sobre la celda de tamaño, el error espacial es de orden y, por tanto, el esquema resultante tendrá una precisión de primer orden en el espacio. Tenga en cuenta que esta aproximación corresponde a una representación del método de volumen finito en la que los valores discretos representan promedios de las variables de estado en las celdas. Se pueden obtener relaciones exactas para los valores de celda promediados a partir de las leyes de conservación integral.
Paso 2 Obtenga la solución para el problema local de Riemann en las interfaces de la celda. Este es el único paso físico de todo el procedimiento. Las discontinuidades en las interfaces se resuelven en una superposición de ondas que satisfacen localmente las ecuaciones de conservación. El método Godunov original se basa en la solución exacta de los problemas de Riemann. Sin embargo, se pueden aplicar soluciones aproximadas como alternativa.
Paso 3 Promedio de las variables de estado después de un intervalo de tiempo. Las variables de estado obtenidas después del Paso 2 se promedian en cada celda definiendo una nueva aproximación constante por partes resultante de la propagación de la onda durante el intervalo de tiempo.. Para ser coherente, el intervalo de tiempodebe limitarse de manera que las ondas que emanan de una interfaz no interactúen con las ondas creadas en las interfaces adyacentes. De lo contrario, la situación dentro de una celda se vería influenciada por la interacción de los problemas de Riemann. Esto conduce a la condición de CFL dónde es la velocidad máxima de onda obtenida de los valores propios de la celda de la matriz jacobiana local .
El primer y tercer paso son únicamente de naturaleza numérica y pueden considerarse como una etapa de proyección , independiente del segundo paso físico, la etapa de evolución . Por lo tanto, se pueden modificar sin influir en la entrada física, por ejemplo, reemplazando la aproximación constante por partes por una variación lineal por partes dentro de cada celda, lo que lleva a la definición de esquemas de precisión espacial de segundo orden, como el esquema MUSCL .
Ver también
Referencias
- Godunov, SK (1959). "Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики" [Un esquema de diferencias para la solución numérica de ecuaciones discontinuas]. Estera. Sbornik . 47 : 271-306. Señor 0119433 . Zbl 0171.46204 .Publicación conjunta de EE. UU. Traducida. Res. Servicio, JPRS 7226, 1969.
- Hirsch, C. (1990). Cálculo numérico de flujos internos y externos . vol 2. Wiley. ISBN 0-471-92452-0.
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tiene texto extra ( ayuda ) - Leveque, Randy J. (2002). Métodos de volumen finito para problemas hiperbólicos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-81087-6.
Otras lecturas
- Laney, Culbert B. (1998). Gasdinámica computacional . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-57069-7.
- Toro, EF (1999). Solvers de Riemann y métodos numéricos para la dinámica de fluidos . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-65966-8.
- Tannehill, John C .; et al. (1997). Mecánica de fluidos computacional y transferencia de calor (2ª ed.). Washington: Taylor y Francis. ISBN 1-56032-046-X.
- Wesseling, Pieter (2001). Principios de la dinámica de fluidos computacional . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-67853-0.