En análisis numérico , el método FTCS (espacio centrado en el tiempo hacia adelante) es un método de diferencias finitas que se utiliza para resolver numéricamente la ecuación de calor y ecuaciones diferenciales parciales parabólicas similares . [1] Es un método de primer orden en el tiempo, explícito en el tiempo, y es condicionalmente estable cuando se aplica a la ecuación de calor. Cuando se utiliza como método para ecuaciones de advección , o más generalmente ecuación diferencial parcial hiperbólica , es inestable a menos que se incluya la viscosidad artificial. La abreviatura FTCS fue utilizada por primera vez por Patrick Roache. [2] [3]
El método
El método FTCS se basa en la diferencia central en el espacio y el método de Euler hacia adelante en el tiempo, lo que proporciona una convergencia de primer orden en el tiempo y una convergencia de segundo orden en el espacio. Por ejemplo, en una dimensión, si la ecuación diferencial parcial es
entonces, dejando , el método de Euler hacia adelante viene dado por:
La función debe ser discretizado espacialmente con un esquema de diferencia central . Este es un método explícito que significa que, se puede calcular explícitamente (no es necesario resolver un sistema de ecuaciones algebraicas) si los valores de en el nivel de tiempo anterior son conocidos. El método FTCS es computacionalmente económico ya que el método es explícito.
Ilustración: ecuación de calor unidimensional
El método FTCS se aplica a menudo a problemas de difusión . Como ejemplo, para la ecuación de calor 1D ,
el esquema FTCS viene dado por:
o dejar :
Estabilidad
Como se deriva del análisis de estabilidad de von Neumann , el método FTCS para la ecuación de calor unidimensional es numéricamente estable si y solo si se cumple la siguiente condición:
Lo que quiere decir que la elección de y debe satisfacer la condición anterior para que el esquema FTCS sea estable. Un gran inconveniente del método FTCS es que para problemas con gran difusividad, los tamaños de paso satisfactorios pueden ser demasiado pequeños para ser prácticos.
Para las ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas , el problema de prueba lineal es la ecuación de advección de coeficiente constante , a diferencia de la ecuación de calor (o ecuación de difusión ), que es la elección correcta para una ecuación diferencial parabólica . Es bien sabido que para estos problemas hiperbólicos , cualquier elección deda como resultado un esquema inestable. [4]
Ver también
Referencias
- ^ John C. Tannehill; Dale A. Anderson ; Richard H. Pletcher (1997). Mecánica de fluidos computacional y transferencia de calor (2ª ed.). Taylor y Francis . ISBN 1-56032-046-X.
- ^ Patrick J. Roache (1972). Dinámica de fluidos computacional (1ª ed.). Hermosa . ISBN 0-913478-05-9.
- ^ Patrick J. Roache (1998). Dinámica de fluidos computacional (2ª ed.). Hermosa . ISBN 0-913478-09-1.
- ^ LeVeque, Randall (2002). Métodos de volumen finito para problemas hiperbólicos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-00924-3.