En análisis numérico , el análisis de estabilidad de von Neumann (también conocido como análisis de estabilidad de Fourier) es un procedimiento utilizado para verificar la estabilidad de esquemas de diferencias finitas aplicados a ecuaciones diferenciales parciales lineales . [1] El análisis se basa en la descomposición de Fourier del error numérico y fue desarrollado en el Laboratorio Nacional de Los Alamos después de haber sido descrito brevemente en un artículo de 1947 por los investigadores británicos Crank y Nicolson . [2] Este método es un ejemplo deIntegración explícita de tiempo donde la función que define la ecuación gobernante se evalúa en el momento actual. Más tarde, el método recibió un tratamiento más riguroso en un artículo [3] en coautoría de John von Neumann .
Estabilidad numérica
La estabilidad de los esquemas numéricos está estrechamente asociada con el error numérico . Un esquema de diferencias finitas es estable si los errores cometidos en un paso de tiempo del cálculo no hacen que los errores se aumenten a medida que continúan los cálculos. Un esquema neutralmente estable es aquel en el que los errores permanecen constantes a medida que los cálculos se trasladan. Si los errores disminuyen y eventualmente se atenúan, se dice que el esquema numérico es estable. Si, por el contrario, los errores aumentan con el tiempo, se dice que el esquema numérico es inestable. La estabilidad de los esquemas numéricos se puede investigar realizando un análisis de estabilidad de von Neumann. Para problemas dependientes del tiempo, la estabilidad garantiza que el método numérico produzca una solución acotada siempre que la solución de la ecuación diferencial exacta sea acotada. La estabilidad, en general, puede ser difícil de investigar, especialmente cuando la ecuación considerada no es lineal .
En ciertos casos, la estabilidad de von Neumann es necesaria y suficiente para la estabilidad en el sentido de Lax-Richtmyer (como se usa en el teorema de equivalencia de Lax ): El PDE y los modelos de esquema de diferencias finitas son lineales; la PDE es de coeficiente constante con condiciones de contorno periódicas y solo tiene dos variables independientes; y el esquema no utiliza más de dos niveles de tiempo. [4] La estabilidad de Von Neumann es necesaria en una variedad mucho más amplia de casos. A menudo se usa en lugar de un análisis de estabilidad más detallado para proporcionar una buena estimación de las restricciones (si las hay) en los tamaños de paso utilizados en el esquema debido a su relativa simplicidad.
Ilustración del método
El método de von Neumann se basa en la descomposición de los errores en series de Fourier . Para ilustrar el procedimiento, considere la ecuación de calor unidimensional
definido en el intervalo espacial , que se puede discretizar [5] como
dónde
y la solucion de la ecuación discreta se aproxima a la solución analítica del PDE en la red.
Definir el error de redondeo como
dónde es la solución de la ecuación discretizada (1) que se calcularía en ausencia de error de redondeo, y es la solución numérica obtenida en aritmética de precisión finita . Dado que la solución exacta debe satisfacer la ecuación discretizada exactamente, el error también debe satisfacer la ecuación discretizada. [6] Aquí asumimos quetambién satisface la ecuación (esto solo es cierto en la precisión de la máquina). Por lo tanto
es una relación de recurrencia para el error. Las ecuaciones (1) y (2) muestran que tanto el error como la solución numérica tienen el mismo comportamiento de crecimiento o deterioro con respecto al tiempo. Para ecuaciones diferenciales lineales con condición de contorno periódica, la variación espacial del error puede expandirse en una serie finita de Fourier con respecto a, en el intervalo , como
donde el numero de onda con y . La dependencia temporal del error se incluye suponiendo que la amplitud del errores una función del tiempo. A menudo se asume que el error crece o decae exponencialmente con el tiempo, pero esto no es necesario para el análisis de estabilidad.
Si la condición de frontera no es periódica, entonces podemos usar la integral finita de Fourier con respecto a :
Dado que la ecuación en diferencias para el error es lineal (el comportamiento de cada término de la serie es el mismo que el de la propia serie), basta con considerar el crecimiento del error de un término típico:
si se utiliza una serie de Fourier o
si se usa una integral de Fourier.
Como la serie de Fourier puede considerarse un caso especial de la integral de Fourier, continuaremos el desarrollo utilizando las expresiones para la integral de Fourier.
Las características de estabilidad se pueden estudiar utilizando solo este formulario para el error sin pérdida de generalidad. Para averiguar cómo varía el error en pasos de tiempo, sustituya la ecuación (5b) en la ecuación (2), después de notar que
ceder (después de la simplificación)
Introduciendo y usando las identidades
La ecuación (6) se puede escribir como
Definir el factor de amplificación
La condición necesaria y suficiente para que el error permanezca acotado es que Por tanto, a partir de las ecuaciones (7) y (8), la condición de estabilidad viene dada por
Tenga en cuenta que el término siempre es positivo. Por tanto, para satisfacer la Ecuación (9):
Para que la condición anterior se mantenga para todos (y por lo tanto todos ). El valor más alto que puede tomar el término sinusoidal es 1 y para esa elección particular, si se cumple la condición de umbral superior, también lo será para todos los puntos de la cuadrícula, por lo que tenemos
La ecuación (11) da el requisito de estabilidad para el esquema FTCS aplicado a la ecuación de calor unidimensional. Dice que por un hecho, el valor permitido de debe ser lo suficientemente pequeño para satisfacer la ecuación (10).
Un análisis similar muestra que un esquema FTCS para advección lineal es incondicionalmente inestable.
Referencias
- ^ Análisis de métodos numéricos por E. Isaacson, HB Keller
- ^ Manivela, J .; Nicolson, P. (1947), "Un método práctico para la evaluación numérica de soluciones de ecuaciones diferenciales parciales de tipo de conducción de calor", Proc. Camb. Phil. Soc. , 43 : 50–67, doi : 10.1007 / BF02127704
- ^ Charney, JG; Fjørtoft, R .; von Neumann, J. (1950), "Integración numérica de la ecuación de vorticidad barotrópica", Tellus , 2 : 237-254, doi : 10.3402 / tellusa.v2i4.8607
- ^ Smith, GD (1985), Solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales: métodos de diferencias finitas, 3ª ed. , págs. 67–68
- ^ en este caso, usando el esquema de discretización FTCS
- ^ Anderson, JD, Jr. (1994). Dinámica de fluidos computacional: conceptos básicos con aplicaciones . McGraw Hill .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )