Propiedad de límite superior mínimo

En matemáticas , la propiedad del límite superior mínimo (a veces llamada propiedad completa o suprema o propiedad lub ) ^[1] es una propiedad fundamental de los números reales . De manera más general, un conjunto X parcialmente ordenado tiene la propiedad de límite superior mínimo si cada subconjunto no vacío de X con un límite superior tiene un límite superior mínimo (supremo) en X . No todos los conjuntos (parcialmente) ordenados tienen la propiedad de límite superior mínimo. Por ejemplo, el conjunto de todos los números racionales${\ estilo de visualización \ mathbb {Q}}$con su orden natural no tiene la propiedad de límite superior mínimo.

La propiedad del límite superior mínimo es una forma del axioma de completitud para los números reales y, a veces, se denomina completitud de Dedekind . ^[2] Puede usarse para probar muchos de los resultados fundamentales del análisis real , como el teorema del valor intermedio , el teorema de Bolzano-Weierstrass , el teorema del valor extremo y el teorema de Heine-Borel . Por lo general, se toma como un axioma en las construcciones sintéticas de los números reales (ver el axioma del límite superior mínimo ), y también está íntimamente relacionado con la construcción de los números reales utilizando cortes de Dedekind .

En la teoría del orden , esta propiedad se puede generalizar a una noción de completitud para cualquier conjunto parcialmente ordenado . Un conjunto ordenado linealmente que es denso y tiene la propiedad de límite superior mínimo se llama un continuo lineal .

La propiedad de límite superior mínimo establece que cualquier conjunto no vacío de números reales que tenga un límite superior debe tener un límite superior mínimo en números reales .

De manera más general, se puede definir un límite superior y un límite superior mínimo para cualquier subconjunto de un conjunto X parcialmente ordenado , con "número real" reemplazado por "elemento de X ". En este caso, decimos que X tiene la propiedad de límite superior mínimo si todo subconjunto no vacío de X con un límite superior tiene un límite superior mínimo en X .

Por ejemplo, el conjunto Q de números racionales no tiene la propiedad de límite superior mínimo en el orden habitual. Por ejemplo, el conjunto

Cada subconjunto no vacío de los números reales que está acotado desde arriba tiene un límite superior mínimo.${\ estilo de visualización M}$${\ estilo de visualización \ mathbb {R}}$

Rojo: el conjunto . Azul: el conjunto de sus límites superiores en .${\displaystyle \left\{x\in \mathbf {Q} :x^{2}\leq 2\right\}}$${\ estilo de visualización \ matemáticas {Q}}$