En mecánica estadística , el teorema de Lee-Yang establece que si las funciones de partición de ciertos modelos en la teoría de campos estadísticos con interacciones ferromagnéticas se consideran funciones de un campo externo, entonces todos los ceros son puramente imaginarios (o en el círculo unitario después de un cambio de variable ). La primera versión fue probada para el modelo Ising por TD Lee y CN Yang ( 1952 ) ( Lee & Yang 1952 ). Su resultado fue ampliado posteriormente a modelos más generales por varias personas. Asano en 1970 extendió el teorema de Lee-Yang al modelo de Heisenberg y proporcionó una demostración más simple usandoContracciones de Asano . Simon y Griffiths (1973) ampliaron el teorema de Lee-Yang a ciertas distribuciones de probabilidad continuas aproximándolas mediante una superposición de modelos de Ising. Newman (1974) dio un teorema general en el que se indica a grandes rasgos que el teorema de Lee-Yang es válido para una interacción ferromagnética siempre que sea válido para una interacción cero. Lieb y Sokal (1981) generalizaron el resultado de Newman de medidas en R a medidas en el espacio euclidiano de dimensiones superiores.
Se ha especulado sobre una relación entre el teorema de Lee-Yang y la hipótesis de Riemann sobre la función zeta de Riemann ; ver ( Knauf 1999 ).
Declaración
Preliminares
A lo largo de la formalización en Newman (1974) el hamiltoniano viene dado por
donde S j son variables de espín, z j campo externo. Se dice que el sistema es ferromagnético si todos los coeficientes del término de interacción J jk son reales no negativos.
La función de partición está dada por
donde cada dμ j es una medida par de los reales R que disminuye en el infinito tan rápido que todas las funciones gaussianas son integrables, es decir
Se dice que una medida que disminuye rápidamente en los reales tiene la propiedad de Lee-Yang si todos los ceros de su transformada de Fourier son reales como se muestra a continuación.
Teorema
El teorema de Lee-Yang establece que si el hamiltoniano es ferromagnético y todas las medidas dμ j tienen la propiedad de Lee-Yang, y todos los números z j tienen una parte real positiva, entonces la función de partición no es cero.
En particular, si todos los números z j son iguales a algún número z , entonces todos los ceros de la función de partición (considerada como una función de z ) son imaginarios.
En el caso del modelo de Ising original considerado por Lee y Yang, todas las medidas tienen soporte en el conjunto de 2 puntos -1, 1, por lo que la función de partición puede considerarse una función de la variable ρ = e π z . Con este cambio de variable, el teorema de Lee-Yang dice que todos los ceros ρ se encuentran en el círculo unitario.
Ejemplos de
Algunos ejemplos de medida con la propiedad Lee-Yang son:
- La medida del modelo Ising, que tiene un soporte que consta de dos puntos (generalmente 1 y -1) cada uno con peso 1/2. Este es el caso original considerado por Lee y Yang.
- La distribución de espín n / 2, cuyo apoyo tiene n +1 puntos igualmente espaciados, cada uno de peso 1 / ( n + 1). Ésta es una generalización del caso modelo de Ising.
- La densidad de medida distribuida uniformemente entre -1 y 1.
- La densidad
- La densidad para λ positivo y b real . Esto corresponde a la teoría de campos cuánticos euclidianos ( Eu 4 ) 2 .
- La densidad para λ positivo no siempre tiene la propiedad de Lee-Yang.
- Si dμ tiene la propiedad de Lee-Yang, también la tiene exp ( bS 2 ) dμ para cualquier b positivo .
- Si dμ tiene la propiedad de Lee-Yang, también la tiene Q ( S ) dμ para cualquier polinomio par Q cuyos ceros son imaginarios.
- La convolución de dos compases con la propiedad Lee-Yang también tiene la propiedad Lee-Yang.
Referencias
- Itzykson, Claude; Drouffe, Jean-Michel (1989), teoría del campo estadístico. Vol. 1 , Monografías de Cambridge sobre física matemática, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-34058-8, MR 1175176
- Knauf, Andreas (1999), "Teoría de números, sistemas dinámicos y mecánica estadística", Reviews in Mathematical Physics , 11 (8): 1027–1060, CiteSeerX 10.1.1.184.8685 , doi : 10.1142 / S0129055X99000325 , ISSN 0129-055X , Señor 1714352
- Lee, TD; Yang, CN (1952), "Teoría estadística de las ecuaciones de las transiciones de estado y fase. II. Lattice Gas and Ising Model", Physical Review , 87 (3): 410–419, doi : 10.1103 / PhysRev.87.410 , ISSN 0031- 9007
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- Newman, Charles M. (1974), "Ceros de la función de partición para sistemas Ising generalizados", Communications on Pure and Applied Mathematics , 27 (2): 143-159, doi : 10.1002 / cpa.3160270203 , ISSN 0010-3640 , Señor 0484184
- Simon, Barry ; Griffiths, Robert B. (1973), "La teoría del campo (φ 4 ) 2 como modelo clásico de Ising" , Communications in Mathematical Physics , 33 (2): 145-164, CiteSeerX 10.1.1.210.9639 , doi : 10.1007 / BF01645626 , ISSN 0.010 a 3616 , MR 0428998
- Yang, CN; Lee, TD (1952), "Teoría estadística de las ecuaciones de las transiciones de estado y fase. I. Teoría de la condensación", Physical Review , 87 (3): 404–409, doi : 10.1103 / PhysRev.87.404 , ISSN 0031-9007
Ver también
- Teoría de Lee-Yang