El modelo de Heisenberg, desarrollado por Werner Heisenberg , es un modelo mecánico estadístico utilizado en el estudio de puntos críticos y transiciones de fase de sistemas magnéticos, en el que los espines de los sistemas magnéticos se tratan mecánicamente cuánticamente . Está relacionado con el modelo prototípico de Ising , donde en cada sitio de una celosía, un girorepresenta un dipolo magnético microscópico en el que el momento magnético es hacia arriba o hacia abajo. Excepto el acoplamiento entre momentos dipolares magnéticos, también existe una versión multipolar del modelo de Heisenberg llamada interacción de intercambio multipolar .
Descripción general
Por razones de mecánica cuántica (ver interacción de intercambio o Magnetismo § Origen mecánico cuántico del magnetismo ), el acoplamiento dominante entre dos dipolos puede causar que los vecinos más cercanos tengan la energía más baja cuando están alineados . Bajo esta suposición (de modo que las interacciones magnéticas solo ocurren entre dipolos adyacentes) y en una red periódica unidimensional, el hamiltoniano se puede escribir en la forma
- ,
dónde es la constante de acoplamiento y los dipolos están representados por vectores clásicos (o "espines") σ j , sujeto a la condición de frontera periódica. El modelo de Heisenberg es un modelo más realista en el sentido de que trata los espines de forma mecánica cuántica, reemplazando el espín por un operador cuántico que actúa sobre el producto tensorial. , de dimensión . Para definirlo, recuerde las matrices de Pauli spin-1/2
- ,
- ,
- ,
y para y denotar , dónde es el matriz de identidad. Dada una opción de constantes de acoplamiento de valor real y , el hamiltoniano está dado por
donde el en el lado derecho indica el campo magnético externo , con condiciones de contorno periódicas . El objetivo es determinar el espectro del hamiltoniano, a partir del cual se puede calcular la función de partición y se puede estudiar la termodinámica del sistema.
Es común nombrar el modelo en función de los valores de , y : Si , el modelo se llama modelo Heisenberg XYZ; En el caso de, es el modelo Heisenberg XXZ ; Si, es el modelo XXX de Heisenberg. El modelo spin 1/2 Heisenberg en una dimensión se puede resolver exactamente usando Bethe ansatz . [1] En la formulación algebraica, estos están relacionados con álgebras afines cuánticas particulares y grupos cuánticos elípticos en los casos XXZ y XYZ respectivamente. [2] Otros enfoques lo hacen sin Bethe ansatz. [3]
Modelo XXX
La física del modelo XXX de Heisenberg depende en gran medida del signo de la constante de acoplamiento y la dimensión del espacio. Por positivoel estado fundamental es siempre ferromagnético . En negativoel estado fundamental es antiferromagnético en dos y tres dimensiones. [4] En una dimensión, la naturaleza de las correlaciones en el modelo antiferromagnético de Heisenberg depende del giro de los dipolos magnéticos. Si el giro es entero, solo está presente el orden de corto alcance . Un sistema de giros de medio entero exhibe un orden de rango casi largo .
Una versión simplificada del modelo de Heisenberg es el modelo Ising unidimensional, donde el campo magnético transversal está en la dirección x , y la interacción es solo en la dirección z :
- .
En pequeña g y gran g , la degeneración estado fundamental es diferente, lo que implica que debe haber una transición de fase cuántica en el medio. Se puede resolver exactamente para el punto crítico utilizando el análisis de dualidad. [5] La transición de dualidad de las matrices de Pauli es y , dónde y son también matrices de Pauli que obedecen al álgebra de matrices de Pauli. En condiciones de contorno periódicas, se puede mostrar que el hamiltoniano transformado tiene una forma muy similar:
pero por el adjunto al término de interacción de espín. Suponiendo que solo hay un punto crítico, podemos concluir que la transición de fase ocurre en.
Aplicaciones
- Otro objeto importante es la entropía por entrelazamiento . Una forma de describirlo es subdividir el estado fundamental único en un bloque (varios giros secuenciales) y el entorno (el resto del estado fundamental). La entropía del bloque se puede considerar como entropía de entrelazamiento. A temperatura cero en la región crítica (límite termodinámico), escala logarítmicamente con el tamaño del bloque. A medida que aumenta la temperatura, la dependencia logarítmica cambia a una función lineal. [6] Para temperaturas elevadas, la dependencia lineal se deriva de la segunda ley de la termodinámica .
- El modelo de Heisenberg proporciona un ejemplo teórico importante y manejable para aplicar la renormalización de la matriz de densidad .
- El modelo de seis vértices se puede resolver usando el Bethe ansatz algebraico para la cadena de espín de Heisenberg (ver Baxter, "Modelos resueltos exactamente en mecánica estadística").
- El modelo de Hubbard medio lleno en el límite de interacciones repulsivas fuertes se puede mapear en un modelo de Heisenberg conque representa la fuerza de la interacción de superecambio .
Ver también
- Modelo clásico de Heisenberg
- DMRG del modelo Heisenberg
- Modelo de rotor cuántico
- modelo tJ
- Modelo J1 J2
- Modelo de Majumdar-Ghosh
- Modelo AKLT
- Interacción de intercambio multipolar
Referencias
- RJ Baxter, Modelos exactamente resueltos en mecánica estadística , Londres, Academic Press, 1982
- Heisenberg, W. (1 de septiembre de 1928). "Zur Theorie des Ferromagnetismus" [Sobre la teoría del ferromagnetismo]. Zeitschrift für Physik (en alemán). 49 (9): 619–636. Código Bibliográfico : 1928ZPhy ... 49..619H . doi : 10.1007 / BF01328601 . S2CID 122524239 .
- Bethe, H. (1 de marzo de 1931). "Zur Theorie der Metalle" [Sobre la teoría de los metales]. Zeitschrift für Physik (en alemán). 71 (3): 205–226. Código Bibliográfico : 1931ZPhy ... 71..205B . doi : 10.1007 / BF01341708 . S2CID 124225487 .
Notas
- ^ Bonechi, F; Celeghini, E; Giachetti, R; Sorace, E; Tarlini, M (7 de agosto de 1992). "Modelo Heisenberg XXZ y grupo cuántico de Galilei". Revista de Física A: Matemática y General . 25 (15): L939 – L943. arXiv : hep-th / 9204054 . Código Bibliográfico : 1992JPhA ... 25L.939B . doi : 10.1088 / 0305-4470 / 25/15/007 . S2CID 119046025 .
- ^ Faddeev, LD (26 de mayo de 1996). "Cómo funciona Algebraic Bethe Ansatz para modelo integrable". arXiv : hep-th / 9605187v1 .
- ^ Rojas, Onofre; Souza, SM de; Corrêa Silva, EV; Thomaz, MT (diciembre de 2001). "Termodinámica de los casos límite del modelo XXZ sin Bethe ansatz" . Revista Brasileña de Física . 31 (4): 577–582. Código Bibliográfico : 2001BrJPh..31..577R . doi : 10.1590 / s0103-97332001000400008 .
- ^ Tom Kennedy; Bruno Nachtergaele. "El modelo de Heisenberg - una bibliografía" . Consultado el 6 de junio de 2019 .
- ^ Fisher, Matthew PA (2004). "Dualidad en teorías de campos cuánticos de baja dimensión". Interacciones fuertes en dimensiones reducidas . Física y Química de Materiales con Baja Dimensiones. 25 . págs. 419–438. doi : 10.1007 / 978-1-4020-3463-3_13 . ISBN 978-1-4020-1798-8.
- ^ Korepin, VE (5 de marzo de 2004). "Universalidad de la escala de entropía en modelos unidimensionales sin huecos". Cartas de revisión física . 92 (9): 096402. arXiv : cond-mat / 0311056 . Código Bibliográfico : 2004PhRvL..92i6402K . doi : 10.1103 / PhysRevLett.92.096402 . PMID 15089496 . S2CID 20620724 .