La conjetura de Lehmer , también conocida como el problema de la medida de Mahler de Lehmer, es un problema de teoría de números planteado por Derrick Henry Lehmer . [1] La conjetura afirma que hay una constante absolutatal que cada polinomio con coeficientes enteros satisface una de las siguientes propiedades:
- La medida de Mahler de es mayor o igual a .
- es un múltiplo entero de un producto de polinomios ciclotómicos o el monomio , en ese caso . (De manera equivalente, cada raíz compleja de es una raíz de unidad o cero.)
Hay varias definiciones de la medida de Mahler, una de las cuales es factorizar encima como
y luego establecer
La medida de Mahler más pequeña conocida (mayor que 1) es para el "polinomio de Lehmer"
para el cual la medida de Mahler es el número de Salem [2]
Se cree ampliamente que este ejemplo representa el verdadero valor mínimo: es decir, en la conjetura de Lehmer. [3] [4]
Motivación
Considere la medida de Mahler para una variable y la fórmula de Jensen muestra que si luego
En este párrafo denote , que también se llama medida de Mahler .
Si tiene coeficientes enteros, esto muestra que es un número algebraico así quees el logaritmo de un entero algebraico. También muestra que y eso si luego es un producto de polinomios ciclotómicos, es decir, polinomios monicos cuyas raíces son todas raíces de unidad, o un polinomio monomio de es decir, un poder para algunos .
Lehmer notó [1] [5] que es un valor importante en el estudio de las secuencias de enteros para monic . Si no desaparece en el círculo entonces y esta afirmación podría ser cierta incluso si desaparece en el círculo. Esto le llevó a preguntar
- si hay una constante tal que previsto no es ciclotómico?
o
- dado , hay con coeficientes enteros para los cuales ?
Se han proporcionado algunas respuestas positivas de la siguiente manera, pero la conjetura de Lehmer aún no está completamente probada y sigue siendo una cuestión de mucho interés.
Resultados parciales
Dejar ser un polinomio mónico irreducible de grado .
Smyth [6] demostró que la conjetura de Lehmer es cierta para todos los polinomios que no son recíprocos , es decir, todos los polinomios que satisfacen.
Blanksby y Montgomery [7] y Stewart [8] demostraron independientemente que hay una constante absoluta tal que ya sea o [9]
Dobrowolski [10] mejoró esto para
Dobrowolski obtuvo el valor C ≥ 1/1200 y asintóticamente C> 1-ε para todos los D suficientemente grandes . Voutier en 1996 obtuvo C ≥ 1/4 para D ≥ 2. [11]
Análogos elípticos
Dejar ser una curva elíptica definida sobre un campo numérico, y deja ser la función de altura canónica . La altura canónica es análoga a las curvas elípticas de la función.. Tiene la propiedad de que si y solo si es un punto de torsión en. La conjetura elíptica de Lehmer afirma que hay una constante tal que
- para todos los puntos sin torsión ,
dónde . Si la curva elíptica E tiene una multiplicación compleja , entonces el análogo del resultado de Dobrowolski es válido:
debido a Laurent. [12] Para curvas elípticas arbitrarias, el resultado más conocido es
debido a Masser . [13] Para curvas elípticas con invariante j no integral , esto se ha mejorado para
Resultados restringidos
Se conocen resultados más sólidos para clases restringidas de polinomios o números algebraicos.
Si P ( x ) no es recíproco, entonces
y esto es claramente lo mejor posible. [15] Si además todos los coeficientes de P son impares, entonces [16]
Para cualquier número algebraico α , sea ser la medida de Mahler del polinomio mínimo de α . Si el campo Q ( α ) es una extensión de Galois de Q , entonces la conjetura de Lehmer es válida para. [dieciséis]
Referencias
- ↑ a b Lehmer, DH (1933). "Factorización de determinadas funciones ciclotómicas". Ana. Matemáticas . 2. 34 (3): 461–479. doi : 10.2307 / 1968172 . hdl : 10338.dmlcz / 128119 . ISSN 0003-486X . JSTOR 1968172 . Zbl 0007.19904 .
- ^ Borwein, Peter (2002). Excursiones computacionales en análisis y teoría de números . Libros CMS en Matemáticas. Springer-Verlag . pag. 16 . ISBN 0-387-95444-9. Zbl 1020.12001 .
- ^ Smyth (2008) p. 324
- ^ Everest, Graham; van der Poorten, Alf ; Shparlinski, Igor; Ward, Thomas (2003). Secuencias de recurrencia . Encuestas y Monografías Matemáticas. 104 . Providence, RI : Sociedad Matemática Estadounidense . pag. 30. ISBN 0-8218-3387-1. Zbl 1033.11006 .
- ^ David Boyd (1981). "Especulaciones sobre el alcance de la medida de Mahler" Canad. Matemáticas. Toro. Vol. 24 (4)
- ^ Smyth, CJ (1971). "Sobre el producto de los conjugados fuera del círculo unitario de un entero algebraico". Boletín de la London Mathematical Society . 3 (2): 169-175. doi : 10.1112 / blms / 3.2.169 . Zbl 1139.11002 .
- ^ Blanksby, PE; Montgomery, HL (1971). "Enteros algebraicos cerca del círculo unitario" . Acta Arith . 18 : 355–369. doi : 10.4064 / aa-18-1-355-369 . Zbl 0221.12003 .
- ^ Stewart, CL (1978). "Enteros algebraicos cuyos conjugados se encuentran cerca del círculo unitario" . Toro. Soc. Matemáticas. Francia . 106 : 169-176. doi : 10.24033 / bsmf.1868 .
- ^ Smyth (2008) p.325
- ^ Dobrowolski, E. (1979). "Sobre una cuestión de Lehmer y el número de factores irreductibles de un polinomio" . Acta Arith . 34 (4): 391–401. doi : 10.4064 / aa-34-4-391-401 .
- ^ P. Voutier, Un límite inferior efectivo para la altura de los números algebraicos , Acta Arith. 74 (1996), 81–95.
- ^ Smyth (2008) p.327
- ^ Masser, DW (1989). "Contando puntos de pequeña altura en curvas elípticas" . Toro. Soc. Matemáticas. Fr . 117 (2): 247–265. doi : 10.24033 / bsmf.2120 . Zbl 0723.14026 .
- ^ Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (1990). "Sobre la conjetura de Lehmer para curvas elípticas". En Goldstein, Catherine (ed.). Sémin. Théor. Nombres, París / Fr. 1988-89 . Prog. Matemáticas. 91 . págs. 103-116. ISBN 0-8176-3493-2. Zbl 0741.14013 .
- ↑ Smyth (2008) p. 328
- ↑ a b Smyth (2008) p.329
- Smyth, Chris (2008). "La medida de Mahler de números algebraicos: una encuesta". En McKee, James; Smyth, Chris (eds.). Teoría de números y polinomios . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. 352 . Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 322–349. ISBN 978-0-521-71467-9.
enlaces externos
- http://www.cecm.sfu.ca/~mjm/Lehmer/ es una buena referencia sobre el problema.
- Weisstein, Eric W. "Problema de medida de Mahler de Lehmer" . MathWorld .