En teoría de números , la altura de Néron-Tate (o altura canónica ) es una forma cuadrática en el grupo de Mordell-Weil de puntos racionales de una variedad abeliana definida sobre un campo global . Lleva el nombre de André Néron y John Tate .
Definición y propiedades
Néron definió la altura de Néron-Tate como una suma de alturas locales. [1] Aunque la altura global de Néron-Tate es cuadrática, las alturas locales constituyentes no son del todo cuadráticas. Tate (inédito) lo definió globalmente al observar que la altura logarítmica asociado a una gavilla simétrica invertible en una variedad abeliana es "casi cuadrático" y lo usó para mostrar que el límite
existe, define una forma cuadrática en el grupo de puntos racionales de Mordell-Weil y satisface
donde el implícito constante es independiente de . [2] Si es antisimétrico, es decir , entonces el límite análogo
converge y satisface , pero en este caso es una función lineal en el grupo de Mordell-Weil. Para poleas invertibles generales, se escribe como un producto de una gavilla simétrica y una gavilla antisimétrica, y luego
es la función cuadrática única que satisface
La altura de Néron-Tate depende de la elección de una gavilla invertible en la variedad abeliana, aunque la forma bilineal asociada depende solo de la imagen de en el grupo Néron-Severi de. Si la variedad abelianase define sobre un campo numérico K y la gavilla invertible es simétrica y amplia, entonces la altura de Néron-Tate es definida positiva en el sentido de que desaparece solo en elementos de torsión del grupo de Mordell-Weil. Más generalmente, induce una forma cuadrática definida positiva en el espacio vectorial real .
En una curva elíptica , el grupo Néron-Severi es de rango uno y tiene un generador amplio único, por lo que este generador se usa a menudo para definir la altura Néron-Tate, que se denotasin referencia a un paquete de líneas en particular. (Sin embargo, la altura que aparece naturalmente en el enunciado de la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer es el doble de esta altura). En las variedades abelianas de dimensión superior, no es necesario que haya una elección particular del haz de líneas más pequeño y amplio para ser utilizado en la definición de la La altura de Néron-Tate, y la altura utilizada en el enunciado de la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer es la altura de Néron-Tate asociada al haz de líneas de Poincaré en, el producto de con su dual .
Los reguladores elípticos y abelianos
La forma bilineal asociada a la altura canónica en una curva elíptica E es
El regulador elíptico de E / K es
donde P 1 ,…, P r es una base para el módulo de torsión del grupo E ( K ) de Mordell-Weil (cf. determinante de Gram ). El regulador elíptico no depende de la elección de la base.
Más en general, dejar que A / K sea una variedad abelian, deje B ≅ de Pic 0 ( A ) sea la variedad abelian dual a A , y dejar que P sea la línea de haz de Poincaré en A × B . Entonces, el regulador abeliano de A / K se define eligiendo una base Q 1 ,…, Q r para el módulo de torsión del grupo A ( K ) de Mordell-Weil y una base η 1 ,…, η r para el grupo B de Mordell-Weil ( K ) módulo de torsión y ajuste
(Las definiciones de regulador elíptico y abeliano no son del todo consistentes, ya que si A es una curva elíptica, la última es 2 r veces la primera).
Los reguladores elípticos y abelianos aparecen en la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer .
Límites inferiores de la altura de Néron-Tate
Hay dos conjeturas fundamentales que dan límites inferiores para la altura de Néron-Tate. En el primero, el campo K es fijo y la curva elíptica E / K y el punto P ∈ E ( K ) varían, mientras que en el segundo, la conjetura elíptica de Lehmer , la curva E / K es fija mientras que el campo de definición de la el punto P varía.
En ambas conjeturas, las constantes son positivas y dependen solo de las cantidades indicadas. (Una forma más fuerte de la conjetura de Lang afirma que depende solo del grado .) Se sabe que la conjetura abc implica la conjetura de Lang, y que el análogo de la conjetura de Lang sobre los campos de función 0 de característica unidimensional es incondicionalmente cierto. [3] [5] El mejor resultado general de la conjetura de Lehmer es la estimación más débildebido a Masser . [6] Cuando la curva elíptica tiene una multiplicación compleja , esto se ha mejorado parapor Laurent. [7] Hay conjeturas análogas para las variedades abelianas, con la condición de no torsión reemplazada por la condición de que los múltiplos de forman un subconjunto denso de Zariski de , y el límite inferior en la conjetura de Lang reemplazado por , dónde es la altura de Faltings de.
Generalizaciones
Un sistema dinámico algebraico polarizado es un triple que consiste en una variedad algebraica (proyectiva suave) , un endomorfismo y un paquete de líneas con la propiedad que por algún entero . La altura canónica asociada viene dada por el límite de Tate [8]
dónde es la iteración n- veces de. Por ejemplo, cualquier morfismo de grado produce una altura canónica asociada a la relación de haz de líneas . Si se define sobre un campo numérico y es amplio, entonces la altura canónica no es negativa, y
( es preperiódico si su órbita de avance contiene sólo un número finito de puntos distintos.)
Referencias
- ^ Néron, André (1965). "Quasi-fonctions et hauteurs sur les variétés abéliennes". Ana. de Matemáticas. (en francés). 82 : 249–331. doi : 10.2307 / 1970644 . Señor 0179173 .
- ↑ Lang (1997) p.72
- ↑ a b Lang (1997) págs. 73–74
- ^ Lang (1997) págs.243
- ^ Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (1988). "La altura canónica y puntos integrales en curvas elípticas". Inventar. Matemáticas. 93 (2): 419–450. doi : 10.1007 / bf01394340 . Señor 0948108 . Zbl 0657.14018 .
- ^ Masser, David W. (1989). "Contando puntos de pequeña altura en curvas elípticas" . Toro. Soc. Matemáticas. Francia . 117 (2): 247–265. Señor 1015810 .
- ^ Laurent, Michel (1983). "Minoration de la hauteur de Néron-Tate" [Límites inferiores de la altura Nerón-Tate]. En Bertin, Marie-José (ed.). Séminaire de théorie des nombres, París 1981-1982 [ Seminario sobre teoría de números, París 1981-1982 ]. Progreso en Matemáticas (en francés). Birkhäuser. págs. 137-151. ISBN 0-8176-3155-0. Señor 0729165 .
- ^ Llame, Gregory S .; Silverman, Joseph H. (1993). "Alturas canónicas sobre variedades con morfismos" . Compositio Mathematica . 89 (2): 163-205. Señor 1255693 .
Referencias generales para la teoría de las alturas canónicas
- Bombieri, Enrico ; Gubler, Walter (2006). Alturas en geometría diofántica . Nuevas monografías matemáticas. 4 . Prensa de la Universidad de Cambridge . doi : 10.2277 / 0521846153 . ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl 1130.11034 .
- Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000). Geometría diofántica: una introducción . Textos de Posgrado en Matemáticas . 201 . ISBN 0-387-98981-1. Zbl 0948.11023 .
- Lang, Serge (1997). Estudio de geometría diofántica . Springer-Verlag . ISBN 3-540-61223-8. Zbl 0869.11051 .
- JH Silverman, La aritmética de curvas elípticas , ISBN 0-387-96203-4
enlaces externos
- "Altura canónica sobre una curva elíptica" . PlanetMath .