En cálculo , la regla general de Leibniz , [1] nombrada en honor a Gottfried Wilhelm Leibniz , generaliza la regla del producto (que también se conoce como "regla de Leibniz"). Dice que si y están -veces funciones diferenciables , luego el producto es también -veces diferenciable y su la derivada está dada por
dónde es el coeficiente binomial ydenota la j- ésima derivada de f (y en particular).
La regla se puede demostrar utilizando la regla del producto y la inducción matemática .
Segunda derivada
Si, por ejemplo, n = 2 , la regla da una expresión para la segunda derivada de un producto de dos funciones:
Más de dos factores
La fórmula se puede generalizar al producto de m funciones diferenciables f 1 , ..., f m .
donde la suma se extiende sobre todas las m -tuplas ( k 1 , ..., k m ) de enteros no negativos con y
son los coeficientes multinomiales . Esto es similar a la fórmula multinomial del álgebra.
Prueba
La prueba de la regla general de Leibniz procede por inducción. Dejar y ser -veces funciones diferenciables. El caso base cuando afirma que:
que es la regla de producto habitual y se sabe que es cierta. A continuación, suponga que la declaración es válida para un eso es eso
Luego,
Y entonces la declaración es válida para y la prueba está completa.
Cálculo multivariable
Con la notación de índices múltiples para derivadas parciales de funciones de varias variables, la regla de Leibniz establece de manera más general:
Esta fórmula se puede utilizar para derivar una fórmula que calcule el símbolo de la composición de operadores diferenciales. De hecho, sean P y Q operadores diferenciales (con coeficientes que sean suficientemente diferenciables muchas veces) yDado que R también es un operador diferencial, el símbolo de R viene dado por:
Un cálculo directo ahora da:
Esta fórmula generalmente se conoce como fórmula de Leibniz. Se utiliza para definir la composición en el espacio de los símbolos, induciendo así la estructura del anillo.
Ver también
Referencias
- ^ Olver, Peter J. (2000). Aplicaciones de los grupos de Lie a las ecuaciones diferenciales . Saltador. págs. 318–319.