En matemáticas , el símbolo de un operador diferencial lineal es un polinomio que representa un operador diferencial , que se obtiene, a grandes rasgos, reemplazando cada derivada parcial por una nueva variable. El símbolo de un operador diferencial tiene amplias aplicaciones en el análisis de Fourier . En particular, a este respecto, conduce a la noción de un operador pseudo-diferencial . Los términos de orden más alto del símbolo, conocidos como símbolo principal, controlan casi por completo el comportamiento cualitativo de las soluciones de una ecuación diferencial parcial . Ecuaciones diferenciales parciales elípticas linealespueden caracterizarse como aquellos cuyo símbolo principal no es cero en ninguna parte. En el estudio de las ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas y parabólicas , los ceros del símbolo principal corresponden a las características de la ecuación diferencial parcial. En consecuencia, el símbolo es a menudo fundamental para la solución de tales ecuaciones, y es uno de los principales dispositivos computacionales utilizados para estudiar sus singularidades.
Definición
Operadores en el espacio euclidiano
Sea P un operador diferencial lineal de orden k en el espacio euclidiano R d . Entonces P es un polinomio en la derivada D , que en notación de índices múltiples se puede escribir
El símbolo total de P es el polinomio p :
El símbolo principal , también conocido como símbolo principal , es el componente de mayor grado de p :
y es de importancia más adelante porque es la única parte del símbolo que se transforma como tensor bajo cambios en el sistema de coordenadas.
El símbolo de P aparece naturalmente en conexión con la transformada de Fourier de la siguiente manera. Sea f una función de Schwartz . Luego, por la transformada de Fourier inversa,
Esto muestra a P como un multiplicador de Fourier . Una clase más general de funciones p ( x , ξ) que satisfacen como máximo las condiciones de crecimiento polinomial en ξ en las que esta integral se comporta bien comprende los operadores pseudo-diferenciales .
Paquetes de vectores
Deje que E y F sean paquetes del vector sobre un colector cerrado X , y supongamos
es un operador diferencial de orden . En coordenadas locales en X , tenemos
donde, para cada multi-índice α,es un mapa de paquetes , simétrico en los índices α.
Los coeficientes de k- ésimo orden de P se transforman como un tensor simétrico
Del producto tensorial de la k ésimo de potencia simétrico del fibrado cotangente de X con E a F . Este tensor simétrico es conocido como el principal símbolo (o simplemente el símbolo ) de P .
El sistema de coordenadas x i permite una trivialización local del paquete cotangente por los diferenciales de coordenadas d x i , que determinan las coordenadas de la fibra ξ i . En términos de una base de marcos e μ , f ν de E y F , respectivamente, el operador diferencial P se descompone en componentes
en cada sección u de E . Aquí P νμ es el operador diferencial escalar definido por
Con esta trivialización, el símbolo principal ahora se puede escribir
En el espacio cotangente sobre un punto fijo x de X , el símbolodefine un polinomio homogéneo de grado k en con valores en .
El operador diferencial es elíptica si su símbolo es invertible; eso es para cada distinto de cero el mapa del paquete es invertible. En una variedad compacta , se sigue de la teoría elíptica que P es un operador de Fredholm : tiene kernel y cokernel de dimensión finita.
Ver también
Referencias
- Freed, Daniel S. (1987), Geometría de operadores de Dirac , p. 8, CiteSeerX 10.1.1.186.8445
- Hörmander, L. (1983), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I , Grundl. Matemáticas. Wissenschaft., 256 , Springer, doi : 10.1007 / 978-3-642-96750-4 , ISBN 3-540-12104-8, MR 0717035.
- Wells, RO (1973), Análisis diferencial de variedades complejas , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90419-0.