En matemáticas, una bialgebra de Lie es el caso teórico de Lie de una bialgebra : es un conjunto con un álgebra de Lie y una estructura de coalgebra de Lie que son compatibles.
Es una bialgebra donde la multiplicación es asimétrica y satisface una identidad dual de Jacobi , de modo que el espacio vectorial dual es un álgebra de Lie , mientras que la comultiplicación es un 1- cociclo , de modo que la multiplicación y la comultiplicación son compatibles. La condición de cociclo implica que, en la práctica, se estudian sólo las clases de bialgebras que son cohomólogas a una Lie bialgebra en un co-límite.
También se denominan álgebras de Poisson-Hopf y son el álgebra de Lie de un grupo de Poisson-Lie .
Lie bialgebras ocurren naturalmente en el estudio de las ecuaciones de Yang-Baxter .
Definición
Un espacio vectorial es una bialgebra de Lie si es un álgebra de Lie, y existe la estructura del álgebra de Lie también en el espacio vectorial dual que es compatible. Más precisamente, la estructura del álgebra de Lie en viene dado por un corchete de Lie y la estructura del álgebra de Lie en viene dado por un corchete de Lie . Entonces el mapa dual a se llama el coconmutador, y la condición de compatibilidad es la siguiente relación de ciclo:
dónde es el adjunto. Tenga en cuenta que esta definición es simétrica y es también una bialgebra de Lie, la bialgebra de Lie dual.
Ejemplo
Dejar ser cualquier álgebra de Lie semisimple. Por tanto, para especificar una estructura de bialgebra de Lie necesitamos especificar una estructura de álgebra de Lie compatible en el espacio vectorial dual. Elija una subálgebra de Cartany una selección de raíces positivas. Dejar ser las correspondientes subálgebras de Borel opuestas, de modo que y hay una proyección natural . Luego defina un álgebra de mentira
que es una subálgebra del producto , y tiene la misma dimensión que . Ahora identifica con dual de a través del emparejamiento
dónde y es la forma de matar. Esto define una estructura de bialgebra de Lie en, y es el ejemplo "estándar": subyace al grupo cuántico Drinfeld-Jimbo. Tenga en cuenta que es solucionable, mientras que es semisimple.
Relación con los grupos de Poisson-Lie
El álgebra de mentira de un grupo de Poisson-Lie G tiene una estructura natural de Lie bialgebra. En resumen, la estructura del grupo de Lie da el corchete de Lie encomo de costumbre, y la linealización de la estructura de Poisson en G da el corchete de Lie en(recordando que una estructura de Poisson lineal en un espacio vectorial es lo mismo que un corchete de Lie en el espacio vectorial dual). Más detalladamente, sea G un grupo de Poisson-Lie, consiendo dos funciones suaves en el colector del grupo. Dejarser el diferencial en el elemento de identidad. Claramente,. La estructura de Poisson en el grupo entonces induce un paréntesis en, como
dónde es el soporte de Poisson . Dadosea el bivector de Poisson en la variedad, definasiendo el derecho de traducir del bivector al elemento de identidad en G . Entonces uno tiene eso
El coconmutador es entonces el mapa de tangente:
así que eso
es el dual del coconmutador.
Ver también
Referencias
- H.-D. Doebner, J.-D. Hennig, eds, Quantum groups, Actas del 8º Taller Internacional de Física Matemática, Instituto Arnold Sommerfeld, Claausthal, FRG, 1989 , Springer-Verlag Berlin, ISBN 3-540-53503-9 .
- Vyjayanthi Chari y Andrew Pressley, Guía de grupos cuánticos , (1994), Cambridge University Press, Cambridge ISBN 0-521-55884-0 .
- Beisert, N .; Derrame, F. (2009). "La clásica r-matriz de AdS / CFT y su estructura de bialgebra de Lie". Comunicaciones en Física Matemática . 285 (2): 537–565. arXiv : 0708.1762 . Código Bibliográfico : 2009CMaPh.285..537B . doi : 10.1007 / s00220-008-0578-2 .