En matemáticas , un grupo de Poisson-Lie es una variedad de Poisson que también es un grupo de Lie , siendo la multiplicación de grupos compatible con la estructura del álgebra de Poisson en la variedad. El álgebra de Lie de un grupo de Poisson-Lie es una bialgebra de Lie . Muchos grupos cuánticos son cuantizaciones del álgebra de funciones de Poisson en un grupo de Poisson-Lie.
Definición
Un grupo de Poisson-Lie es un grupo de Lie G equipado con un corchete de Poisson para el cual la multiplicación del grupo con es un mapa de Poisson , donde a la variedad G × G se le ha dado la estructura de una variedad de Poisson producto.
Explícitamente, la siguiente identidad debe ser válida para un grupo de Poisson-Lie:
donde f 1 y f 2 son funciones suaves de valor real en el grupo de Lie, mientras que g y g ' son elementos del grupo de Lie. Aquí, L g denota multiplicación por la izquierda y R g denota multiplicación por la derecha.
Si denota el bivector de Poisson correspondiente en G , la condición anterior se puede establecer de manera equivalente como
Tenga en cuenta que para el grupo de Poisson-Lie siempre , o equivalente . Esto significa que la estructura no trivial de Poisson-Lie nunca es simpléctica, ni siquiera de rango constante.
Ejemplo
Dejar ser cualquier grupo de Lie semisimple. Elija un toro máximoy una selección de raíces positivas. Dejar ser los correspondientes subgrupos de Borel opuestos, de modo que y hay una proyección natural . Luego defina un grupo de mentiras
que es un subgrupo del producto , y tiene la misma dimensión que .
La estructura de grupo estándar de Poisson-Lie en G se determina identificando el álgebra de Lie de con el dual del álgebra de Lie de , como en el ejemplo estándar de Lie bialgebra . Esto define una estructura de grupo de Poisson-Lie en ambos y en el grupo dual de Poisson Lie . Este es el ejemplo "estándar": el grupo cuántico Drinfeld-Jimbo es una cuantificación del álgebra de Poisson de funciones en el grupo . Tenga en cuenta quees solucionable, mientras que es semisimple.
Homomorfismos
Un homomorfismo del grupo de Poisson-Lie se define como un homomorfismo de grupo de Lie y un mapa de Poisson. Aunque esta es la definición "obvia", ni las traducciones a la izquierda ni a la derecha son mapas de Poisson. Además, el mapa de inversión tomando tampoco es un mapa de Poisson, aunque es un mapa anti-Poisson:
para dos funciones suaves en G .
Ver también
Referencias
- Doebner, H.-D .; Hennig, J.-D., eds. (1989). Grupos cuánticos . Actas del 8º Taller Internacional de Física Matemática, Instituto Arnold Sommerfeld, Claausthal, RFA. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-53503-9.
- Chari, Vyjayanthi ; Pressley, Andrew (1994). Una guía de grupos cuánticos . Cambridge: Cambridge University Press Ltd. ISBN 0-521-55884-0.