En matemáticas, un Manin Triple ( g , p , q ) consiste en un álgebra de Lie g con una invariante no degenerado forma bilineal simétrica , junto con dos subálgebras isotrópica p y q tal que g es la suma directa de p y q como una espacio vectorial. Un concepto estrechamente relacionado es el doble de Drinfeld (clásico) , que es un álgebra de Lie de dimensión uniforme que admite una descomposición de Manin.
Los triples de Manin fueron introducidos por Drinfeld ( 1987 , p.802), quien los nombró en honor a Yuri Manin .
Delorme (2001) clasificó los triples de Manin donde g es un álgebra de Lie reductiva compleja .
Manin triplica y Lie bialgebras
Si ( g , p , q ) es un triple de Manin de dimensión finita, entonces p puede convertirse en una bialgebra de Lie dejando que el mapa del coconmutador p → p ⊗ p sea dual con el mapa q ⊗ q → q (usando el hecho de que el la forma bilineal simétrica en g identifica q con el dual de p ).
A la inversa, si p es un bialgebra Lie entonces uno puede construir un Manin triple de ella por dejar que q sea el doble de p y definir el conmutador de p y q para hacer la forma bilineal en g = p ⊕ q invariante.
Ejemplos de
- Suponga que a es un álgebra de Lie semisimple compleja con forma bilineal simétrica invariante (,). Entonces hay un triple de Manin ( g , p , q ) con g = a ⊕ a , con el producto escalar en g dado por (( w , x ), ( y , z )) = ( w , y ) - ( x , z ). La subálgebra p es el espacio de los elementos diagonales ( x , x ), y la subálgebra q es el espacio de los elementos ( x , y ) con x en una subálgebra de Borel fija que contiene una subálgebra de Cartan h , y en la subálgebra de Borel opuesta, y donde x y y tienen el mismo componente en h .
Referencias
- Delorme, Patrick (2001), "Classification des triples de Manin pour les algèbres de Lie réductives complexes", Journal of Algebra , 246 (1): 97-174, arXiv : math / 0003123 , doi : 10.1006 / jabr.2001.8887 , ISSN 0021-8693 , MR 1872615
- Drinfeld, VG (1987), "Quantum groups" , Actas del Congreso Internacional de Matemáticos (Berkeley, Calif., 1986) , 1 , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 798–820, ISBN 978-0-8218-0110-9, MR 0934283