En matemáticas, la teoría de la elevación fue introducida por primera vez por John von Neumann en un artículo pionero de 1931, en el que respondió a una pregunta planteada por Alfréd Haar . [1] La teoría fue desarrollada por Dorothy Maharam (1958) [2] y por Alexandra Ionescu Tulcea y Cassius Ionescu Tulcea (1961). [3] La teoría del levantamiento fue motivada en gran medida por sus sorprendentes aplicaciones. Su desarrollo hasta 1969 fue descrito en una monografía de Ionescu Tulceas. [4] La teoría del levantamiento continuó desarrollándose desde entonces, produciendo nuevos resultados y aplicaciones.
Definiciones
Un levantamiento en un espacio de medida es un inverso lineal y multiplicativo
del mapa del cociente
dónde es el espacio seminormado L p de funciones mensurables yes su cociente normalizado habitual. En otras palabras, un elevador elige de cada clase de equivalencia [ f ] de funciones medibles acotadas módulo insignificante funciones un representante, que de ahora en adelante se escribe T ([ f ]) o T [ f ] o simplemente Tf - de tal manera que
Las elevaciones se utilizan para producir desintegraciones de medidas , por ejemplo , distribuciones de probabilidad condicionales dadas variables aleatorias continuas, y fibraciones de medida de Lebesgue en los conjuntos de niveles de una función.
Existencia de ascensores
Teorema. Suponga que ( X , Σ, μ ) está completo. [5] Entonces ( X , Σ, μ ) admite una elevación si y sólo si existe una colección de conjuntos integrables mutuamente disjuntos en Σ cuya unión es X . En particular, si ( X , Σ, μ ) es la finalización de una medida σ -finita [6] o de una medida de Borel regular interna en un espacio localmente compacto, entonces ( X , Σ, μ ) admite un levantamiento.
La demostración consiste en extender un levantamiento a sub- σ -álgebras cada vez mayores , aplicando el teorema de convergencia de martingala de Doob si se encuentra una cadena contable en el proceso.
Elevaciones fuertes
Suponga que ( X , Σ, μ ) está completo y X está equipado con una topología de Hausdorff completamente regular τ ⊂ Σ tal que la unión de cualquier colección de conjuntos abiertos despreciables es nuevamente despreciable; este es el caso si ( X , Σ, μ ) es σ -finito o proviene de una medida de radón . Entonces, el soporte de μ , Supp ( μ ), se puede definir como el complemento del subconjunto abierto despreciable más grande, y la colección C b ( X , τ ) de funciones continuas acotadas pertenece a.
Un levantamiento fuerte para ( X , Σ, μ ) es un levantamiento
tal que Tφ = φ en Supp ( μ ) para todo φ en C b ( X , τ). Esto es lo mismo que requerir que [7] TU ≥ ( U ∩ Supp ( μ )) para todos los conjuntos abiertos U en τ .
Teorema. Si (Σ, μ ) es σ -finito y completo y τ tiene una base contable, entonces ( X , Σ, μ ) admite una elevación fuerte.
Prueba. Sea T 0 una elevación para ( X , Σ, μ ) y { U 1 , U 2 , ...} una base contable para τ . Para cualquier punto p en el conjunto insignificante
sea T p cualquier carácter [8] en L ∞ ( X , Σ, μ ) que extienda el carácter φ ↦ φ ( p ) de C b ( X , τ). Entonces para p en X y [ f ] en L ∞ ( X , Σ, μ ) defina:
T es el levantamiento fuerte deseado.
Aplicación: desintegración de una medida
Suponga que ( X , Σ, μ ), ( Y , Φ, ν) son σ- espacios de medida finitos ( μ , ν positivo) y π : X → Y es un mapa medible. Una desintegración de μ a lo largo de π con respecto a ν es una variaciónde medidas positivas σ -aditivas en ( X , Σ) tales que
- λ y es transportada por la fibrade π sobre y :
- para cada función f integrable μ ,
- en el sentido de que, para ν -casi todo y en Y , f es λ y -integrable, la función
- es ν-integrable y se mantiene la igualdad mostrada (*).
Las desintegraciones existen en diversas circunstancias, las pruebas varían, pero casi todas utilizan fuertes levantamientos. Aquí hay un resultado bastante general. Su breve prueba le da el sabor general.
Teorema. Supongamos que X es un espacio polaco [9] e Y un espacio separable de Hausdorff, ambos equipados con sus σ -álgebras de Borel . Sea μ una medida σ -finita de Borel en X y π: X → Y un mapa Σ, Φ-medible. Entonces existe una medida de Borel σ-finita ν en Y y una desintegración (*). Si μ es finito, ν puede tomarse como el empuje hacia adelante [10] π ∗ μ , y entonces λ y son probabilidades.
Prueba. Debido a la naturaleza pulida de X, existe una secuencia de subconjuntos compactos de X que son mutuamente disjuntos, cuya unión tiene un complemento insignificante y en el que π es continuo. Esta observación reduce el problema al caso de que tanto X como Y son compactos y π es continuo, y ν = π ∗ μ . Complete Φ debajo de ν y fije una T de elevación fuerte para ( Y , Φ, ν ). Dado un acotado μ función medible f , y muchodenotar su expectativa condicional bajo π, es decir, la derivada Radon-Nikodym de [11] π ∗ ( fμ ) con respecto a π ∗ μ . Luego establezca, para cada y en Y ,Demostrar que esto define una desintegración es una cuestión de contabilidad y un teorema de Fubini adecuado. Para ver cómo entra la fuerza del lifting, tenga en cuenta que
y tomar el mínimo sobre todo φ positivo en C b ( Y ) con φ ( y ) = 1; se hace evidente que el soporte de λ y se encuentra en la fibra sobre y .
Referencias
- ↑ von Neumann, John (1931). "Algebraische Repräsentanten der Funktionen" bis auf eine Menge vom Maße Null " " . Journal für die reine und angewandte Mathematik (Diario de Crelle) (en alemán). 1931 (165): 109-115. doi : 10.1515 / crll.1931.165.109 . Señor 1581278 .
- ^ Maharam, Dorothy (1958). "Sobre un teorema de von Neumann" . Actas de la American Mathematical Society . 9 (6): 987–994. doi : 10.2307 / 2033342 . JSTOR 2033342 . Señor 0105479 .
- ^ Ionescu Tulcea, Alexandra ; Ionescu Tulcea, Cassius (1961). "En la propiedad de elevación. I." Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . 3 (3): 537–546. doi : 10.1016 / 0022-247X (61) 90075-0 . Señor 0150256 .
- ^ Ionescu Tulcea, Alexandra ; Ionescu Tulcea, Cassius (1969). Temas en la teoría del lifting . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 48 . Nueva York: Springer-Verlag . Señor 0276438 . OCLC 851370324 .
- ^ Un subconjunto N ⊂ X es localmente insignificante si interseca todos los conjuntos integrables en Σ en un subconjunto de un conjunto insignificante de Σ. ( X , Σ, μ ) está completo si todo conjunto localmente insignificante es insignificante y pertenece a Σ.
- ^ es decir, existe una colección contable de conjuntos integrables - conjuntos de medida finita en Σ - que cubre el conjunto X subyacente.
- ^ U , Supp ( μ ) se identifican con sus funciones indicadoras.
- ^ Un carácter en un álgebra unital es un funcional lineal multiplicativo con valores en el campo de coeficiente que asigna la unidad a 1.
- ^ Un espacio separable es polaco si su topología proviene de una métrica completa. En la situación actual, sería suficiente exigir que X sea Suslin , es decir, que sea la imagen continua de Hausdorff de un espacio pulido.
- ^ El empuje hacia adelante π ∗ μ de μ debajo de π , también llamado imagen de μ debajo de π y denotado π ( μ ), es la medida ν en Φ definida porpara A en Φ.
- ^ fμ es la medida que tiene densidad f con respecto a μ