En geometría, los puntos limitantes de dos círculos disjuntos A y B en el plano euclidiano son puntos p que pueden ser definidos por cualquiera de las siguientes propiedades equivalentes:
- El lápiz de círculos definidos por A y B contiene un círculo degenerado (radio cero) centrado en p . [1]
- Cada círculo o línea que es perpendicular tanto a A como a B pasa por p . [2]
- Una inversión centrada en p transforma A y B en círculos concéntricos . [3]
El punto medio de los dos puntos limitantes es el punto donde el eje radical de A y B cruza la línea que pasa por sus centros. Este punto de intersección tiene la misma distancia de poder a todos los círculos en el lápiz que contiene A y B . Los propios puntos limitantes se pueden encontrar a esta distancia a cada lado del punto de intersección, en la línea que pasa por los dos centros del círculo. A partir de este hecho, es sencillo construir los puntos límite algebraicamente o con compás y regla . [4] Weisstein proporciona una fórmula explícita que expresa los puntos limitantes como la solución de una ecuación cuadrática en las coordenadas de los centros de los círculos y sus radios. [5]
Invertir uno de los dos puntos limitantes a través de A o B produce el otro punto limite. Una inversión centrada en un punto límite asigna el otro punto límite al centro común de los círculos concéntricos. [6]
Referencias
- ^ Coolidge, Julian Lowell (1916), Tratado sobre el círculo y la esfera , Oxford Clarendon Press, p. 97.
- ^ Esto se desprende de la definición del lápiz, junto con el hecho de que cada lápiz tiene un lápiz ortogonal único; ver Schwerdtfeger, Hans (1979), Geometría de números complejos , Dover, Corolario, pág. 31.
- ^ Schwerdtfeger (1979) , Ejemplo 2, p. 32.
- ^ Johnstone, John K. (1993), "Un nuevo algoritmo de intersección para ciclistas y superficies barridas usando descomposición circular" (PDF) , Diseño geométrico asistido por computadora , 10 (1): 1–24, doi : 10.1016 / 0167-8396 (93 ) 90049-9 , MR 1202965.
- ^ Weisstein, Eric W. "Punto límite" . MathWorld .
- ^ Godfrey, C .; Siddons, AW (1908), Geometría moderna , University Press, Ej. 473, pág. 109, OL 6525169M.