Geometría de los números complejos: Círculo de geometría, de transformación de Moebius, la geometría no euclidiana es un libro de texto de grado en geometría , cuya temas incluyen círculos , el plano complejo , geometría inversiva , y la geometría no euclidiana . Fue escrito por Hans Schwerdtfeger y publicado originalmente en 1962 como el Volumen 13 de la serie Mathematical Expositions de la University of Toronto Press . En 1979 se publicó una edición corregida en la serie Dover Books on Advanced Mathematics de Dover Publications ( ISBN 0-486-63830-8 ). El Comité de Lista Básica de Bibliotecas delLa Asociación Matemática de América ha sugerido su inclusión en las bibliotecas de matemáticas de pregrado. [1]
Temas
El libro está dividido en tres capítulos, correspondientes a las tres partes de su subtítulo: geometría circular, transformaciones de Möbius y geometría no euclidiana. Cada uno de estos se divide en secciones (que en otros libros se llamarían capítulos) y subsecciones. Un tema subyacente del libro es la representación del plano euclidiano como el plano de los números complejos y el uso de números complejos como coordenadas para describir los objetos geométricos y sus transformaciones. [1]
El capítulo sobre círculos cubre la geometría analítica de círculos en el plano complejo. [2] Describe la representación de círculos por Matrices hermitianas , [3] [4] la inversión de círculos , proyección estereográfica , lápices de círculos (ciertas familias de círculos de un parámetro) y su análogo de dos parámetros, haces de círculos y la relación cruzada de cuatro números complejos. [3]
El capítulo sobre las transformaciones de Möbius es la parte central del libro, [4] y define estas transformaciones como las transformaciones lineales fraccionarias del plano complejo (una de las varias formas estándar de definirlas). [1] Incluye material sobre la clasificación de estas transformaciones, [2] sobre los paralelogramos característicos de estas transformaciones, [4] sobre los subgrupos del grupo de transformaciones, sobre transformaciones iteradas que regresan a la identidad (formando una secuencia periódica ) o producir una secuencia infinita de transformaciones, y una caracterización geométrica de estas transformaciones como las transformaciones que preservan el círculo del plano complejo. [3] Este capítulo también analiza brevemente las aplicaciones de las transformaciones de Möbius en la comprensión de las proyectividades y perspectivas de la geometría proyectiva . [1]
En el capítulo de la geometría no euclidiana, los temas incluyen el modelo de Poincaré disco del plano hiperbólico , la geometría elíptica , geometría esférica , y (en línea con Felix Klein 's programa de Erlangen ) los grupos de transformación de estas geometrías como subgrupos de transformaciones Mobious . [1]
Este trabajo reúne múltiples áreas de las matemáticas, con la intención de ampliar las conexiones entre el álgebra abstracta , la teoría de números complejos, la teoría de matrices y la geometría. [2] [5] El crítico Howard Eves escribe que, en su selección de material y su formulación de la geometría, el libro "refleja en gran medida el trabajo de C. Caratheodory y E. Cartan ". [6]
Audiencia y recepción
Geometry of Complex Numbers está escrito para estudiantes universitarios avanzados [6] y sus numerosos ejercicios (llamados "ejemplos") amplían el material en sus secciones en lugar de simplemente verificar lo que el lector ha aprendido. [4] [6] Al revisar la publicación original, AW Goodman y Howard Eves recomendaron su uso como lectura secundaria para clases de análisis complejo , [3] [6] y Goodman agrega que "todo experto en teoría de funciones clásicas debe estar familiarizado con esto material". [3] Sin embargo, el crítico Donald Monk se pregunta si el material del libro es demasiado especializado para caber en cualquier clase, y tiene algunas quejas menores sobre detalles que podrían haberse cubierto con más elegancia. [2]
En el momento de su revisión de 2015, Mark Hunacek escribió que "el libro tiene un aire decididamente anticuado", lo que lo hace más difícil de leer, y que la selección anticuada de temas hacía poco probable que se pudiera utilizar como texto principal de un curso. . [1] El revisor RP Burn comparte las preocupaciones de Hunacek sobre la legibilidad, y también se queja de que Schwerdtfeger "permite consistentemente que la interpretación geométrica siga la prueba algebraica, en lugar de permitir que la geometría juegue un papel motivador". [7] Sin embargo, Hunacek repite la recomendación de Goodman y Eves para su uso "como lectura complementaria en un curso sobre análisis complejo", [1] y Burn concluye que "la reedición es bienvenida". [7]
Lectura relacionada
Como antecedentes de la geometría que se cubre en este libro, el revisor RP Burn sugiere otros dos libros, Modern Geometry: The Straight Line and Circle de CV Durell , y Geometry: A Comprehensive Course de Daniel Pedoe . [7]
Otros libros que utilizan números complejos para la geometría analítica incluyen Números complejos y geometría de Liang-shin Hahn, o Números complejos de la A a ... Z de Titu Andreescu y Dorin Andrica. Sin embargo, Geometry of Complex Numbers se diferencia de estos libros en que evita las construcciones elementales en geometría euclidiana y en su lugar aplica este enfoque a conceptos de nivel superior como la inversión de círculos y la geometría no euclidiana. Otro libro relacionado, uno de un pequeño número que trata las transformaciones de Möbius con tanto detalle como lo hace Geometry of Complex Numbers , es Visual Complex Analysis de Tristan Needham . [1]
Referencias
- ^ a b c d e f g h Hunacek, Mark (mayo de 2015), "Revisión de la geometría de números complejos " , Revisiones de MAA , Asociación Matemática de América
- ^ a b c d Monk, D. (junio de 1963), "Review of Geometry of Complex Numbers ", Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society , 13 (3): 258-259, doi : 10.1017 / s0013091500010956
- ^ a b c d e Goodman, AW, "Revisión de la geometría de números complejos ", Revisiones matemáticas , MR 0133044
- ^ a b c d Crowe, DW (marzo de 1964), "Review of Geometry of Complex Numbers ", Canadian Mathematical Bulletin , 7 (1): 155-156, doi : 10.1017 / S000843950002693X
- ^ Primrose, EJF (mayo de 1963), "Review of Geometry of Complex Numbers ", The Mathematical Gazette , 47 (360): 170-170, doi : 10.1017 / s0025557200049524
- ^ a b c d Eves, Howard (diciembre de 1962), "Review of Geometry of Complex Numbers ", American Mathematical Monthly , 69 (10): 1021, doi : 10.2307 / 2313225 , JSTOR 2313225
- ^ a b c Burn, RP (marzo de 1981), "Review of Geometry of Complex Numbers ", The Mathematical Gazette , 65 (431): 68–69, doi : 10.2307 / 3617961 , JSTOR 3617961
enlaces externos
- Geometry of Complex Numbers (edición de 1979) en Internet Archive