En las matemáticas , el lema de Lindelöf es un simple pero útil lema en la topología de la recta real , llamado así por el finlandés matemático Ernst Leonard Lindelöf .
Declaración del lema
Deje que la línea real tenga su topología estándar. Entonces, cada subconjunto abierto de la línea real es una unión contable de intervalos abiertos .
Declaración generalizada
El lema de Lindelöf también se conoce como la afirmación de que cada tapa abierta en un segundo espacio contable tiene una subcubierta contable (Kelley 1955: 49). Esto significa que cada segundo espacio contable es también un espacio Lindelöf .
Prueba de la declaración generalizada
Considerar . Desde es de base contable, lo consideramos como hasta el infinito. Considere una tapa abierta,. Para prepararnos para la siguiente deducción, definimos dos conjuntos por conveniencia,, .
Una observación sencilla pero esencial es que, que es de la definición de base. (Aquí, usamos la definición de "base" en MAArmstrong, Topología básica, capítulo 2, §1, es decir, una colección de conjuntos abiertos tal que cada conjunto abierto es una unión de miembros de esta colección.) Por lo tanto, podemos obtener que ,
dónde , y por lo tanto es como mucho contable. A continuación, por construcción, para cada hay algunos tal que . Por tanto, podemos escribir
completando la prueba.
Referencias
- JL Kelley (1955), Topología general , van Nostrand.
- MA Armstrong (1983), Topología básica , Springer.