En matemáticas , un espacio de Lindelöf [1] [2] es un espacio topológico en el que cada tapa abierta tiene una subtapa contable . La propiedad de Lindelöf es un debilitamiento de la noción de compacidad más comúnmente utilizada , que requiere la existencia de una subcubierta finita .
Un espacio hereditariamente Lindelöf [3] es un espacio topológico tal que cada subespacio es Lindelöf. A este espacio se le llama a veces con fuerza Lindelöf , pero de manera confusa, esa terminología a veces se usa con un significado completamente diferente. [4] El término hereditariamente Lindelöf es más común e inequívoco.
Los espacios Lindelöf llevan el nombre del matemático finlandés Ernst Leonard Lindelöf .
Propiedades de los espacios Lindelöf
- Cada espacio compacto , y más generalmente cada espacio σ-compacto , es Lindelöf. En particular, cada espacio contable es Lindelöf.
- Un espacio Lindelöf es compacto si y solo si es notablemente compacto .
- Cada segundo espacio contable es Lindelöf, [5] pero no al revés. Por ejemplo, hay muchos espacios compactos que no son contables en segundo lugar.
- Un espacio métrico es Lindelöf si y solo si es separable , y si y solo si es contable en segundo lugar . [6]
- Cada espacio regular de Lindelöf es normal . [7]
- Cada espacio regular de Lindelöf es paracompacto . [8]
- Una unión contable de subespacios Lindelöf de un espacio topológico es Lindelöf.
- Cada subespacio cerrado de un espacio Lindelöf es Lindelöf. [9] En consecuencia, cada conjunto F σ en un espacio Lindelöf es Lindelöf.
- Los subespacios arbitrarios de un espacio Lindelöf no necesitan ser Lindelöf. [10]
- La imagen continua de un espacio Lindelöf es Lindelöf. [11]
- El producto de un espacio Lindelöf y un espacio compacto es Lindelöf. [12]
- El producto de un espacio Lindelöf y un espacio σ-compacto es Lindelöf. Este es un corolario de la propiedad anterior.
- No es necesario que el producto de dos espacios Lindelöf sea Lindelöf. Por ejemplo, la línea Sorgenfrey es Lindelöf, pero el avión de Sorgenfrey no es Lindelöf. [13]
- En un espacio de Lindelöf, cada familia localmente finita de subconjuntos no vacíos es, como mucho, contable.
Propiedades de los espacios Lindelöf hereditariamente
- Un espacio es hereditariamente Lindelöf si y solo si cada subespacio abierto del mismo es Lindelöf. [14]
- Hereditariamente los espacios de Lindelöf se cierran tomando uniones contables, subespacios e imágenes continuas.
- Un espacio Lindelöf regular es hereditariamente Lindelöf si y solo si es perfectamente normal . [15] [16]
- Cada segundo espacio contable es hereditariamente Lindelöf.
- Cada espacio contable es hereditariamente Lindelöf.
- Cada espacio de Suslin es hereditariamente Lindelöf.
- Cada medida de Radon en un espacio Lindelöf hereditariamente está moderada.
Ejemplo: el avión de Sorgenfrey no es Lindelöf
El producto de los espacios Lindelöf no es necesariamente Lindelöf. El ejemplo habitual de esto es el avión Sorgenfrey. , que es el producto de la línea real bajo la topología de intervalo semiabierto consigo mismo. Los conjuntos abiertos en el plano de Sorgenfrey son uniones de rectángulos semiabiertos que incluyen los bordes sur y oeste y omiten los bordes norte y este, incluidas las esquinas noroeste, noreste y sureste. La antidiagonal de es el conjunto de puntos tal que .
Considere la cubierta abierta de que consiste en:
- El conjunto de todos los rectángulos , dónde está sobre la antidiagonal.
- El conjunto de todos los rectángulos , dónde está sobre la antidiagonal.
Lo que hay que notar aquí es que cada punto de la antidiagonal está contenido exactamente en un conjunto de cubierta, por lo que se necesitan todos estos conjuntos.
Otra forma de ver eso no es Lindelöf es notar que la antidiagonal define un subespacio discreto cerrado e incontable de. Este subespacio no es Lindelöf, por lo que todo el espacio tampoco puede ser Lindelöf (ya que los subespacios cerrados de los espacios Lindelöf también son Lindelöf).
Generalización
La siguiente definición generaliza las definiciones de compacto y Lindelöf: un espacio topológico es -compacto (o-Lindelöf ), dondees cualquier cardenal , si cada tapa abierta tiene una subtapa de cardinalidad estrictamente menor que. Compacto es entonces-compacto y Lindelöf es entonces -compacto.
El grado Lindelöf o número Lindelöf , es el cardenal más pequeño de tal manera que cada tapa abierta del espacio tiene una subcubierta de tamaño como máximo . En esta notación, es Lindelöf si . El número Lindelöf tal como se define anteriormente no distingue entre espacios compactos y espacios no compactos Lindelöf. Algunos autores dieron el nombre de número de Lindelöf a una noción diferente: el cardenal más pequeño de tal manera que cada tapa abierta del espacio tiene una subcubierta de tamaño estrictamente menor que . [17] En este último (y menos utilizado) sentido, el número de Lindelöf es el cardinal más pequeño tal que un espacio topológico es -compacto. Esta noción a veces también se denomina grado de compacidad del espacio.. [18]
Ver también
- Axiomas de contabilidad
- Lema de Lindelöf
Notas
- ^ Steen y Seebach, p. 19
- ^ Willard, Def. 16,5, pág. 110
- ^ Willard, 16E, p. 114
- ^ https://www.semanticscholar.org/paper/A-NOTE-ON-STRONGLY-LINDELO%CC%88F-SPACES-Ganster/04b50b66a69e898fb5fec820765244f07d9beddc
- ^ Willard, teorema 16.9, p. 111
- ^ Willard, teorema 16.11, p. 112
- ^ Willard, teorema 16.8, p. 111
- ^ Michael, Ernest (1953). "Una nota sobre los espacios paracompactos" (PDF) . Actas de la American Mathematical Society . 4 (5): 831–838. doi : 10.1090 / S0002-9939-1953-0056905-8 . ISSN 0002-9939 .
- ^ Willard, teorema 16.6, p. 110
- ^ https://dantopology.wordpress.com/2012/04/15/examples-of-lindelof-spaces-that-are-not-hereditarily-lindelof/
- ^ Willard, teorema 16.6, p. 110
- ^ https://dantopology.wordpress.com/2011/05/01/the-tube-lemma/
- ^ https://dantopology.wordpress.com/2009/09/27/a-note-on-the-sorgenfrey-line
- ↑ Engelking, 3.8.A (b), p. 194
- ↑ Engelking, 3.8.A (c), p. 194
- ^ https://math.stackexchange.com/a/322506/52912
- ^ Mary Ellen Rudin, Conferencias sobre topología teórica de conjuntos, Junta de conferencias de las ciencias matemáticas, American Mathematical Society, 1975, p. 4, disponible en Google Libros [1]
- ^ Hušek, Miroslav (1969), "La clase de k -espacios compactos es simple", Mathematische Zeitschrift , 110 : 123-126, doi : 10.1007 / BF01124977 , MR 0244947.
Referencias
- Engelking, Ryszard, Topología general , Heldermann Verlag Berlín, 1989. ISBN 3-88538-006-4
- I. Juhász (1980). Funciones cardinales en topología: diez años después . Matemáticas. Centre Tracts, Amsterdam. ISBN 90-6196-196-3.
- Munkres, James . Topología, 2ª ed .
- Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de 1978 ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3. Señor 0507446 .
- Willard, Stephen. Topología general , publicaciones de Dover (2004) ISBN 0-486-43479-6