En geometría analítica , una línea y una esfera pueden cruzarse de tres formas:
- Sin intersección en absoluto
- Intersección en exactamente un punto
- Intersección en dos puntos.
Las tres posibles intersecciones línea-esfera:
1. Sin intersección.
2. Punto de intersección.
3. Intersección de dos puntos.
Los métodos para distinguir estos casos y determinar las coordenadas de los puntos en los últimos casos son útiles en varias circunstancias. Por ejemplo, es un cálculo común que se realiza durante el trazado de rayos . [1]
En notación vectorial , las ecuaciones son las siguientes:
Ecuación para una esfera
- : puntos en la esfera
- : punto central
- : radio de la esfera
Ecuación para una línea que comienza en
- : puntos en la recta
- : origen de la línea
- : distancia desde el origen a lo largo de la línea
- : dirección de la línea (un vector unitario )
Buscar puntos que están en la línea y en la esfera significa combinar las ecuaciones y resolver para , que involucra el producto escalar de los vectores:
- Ecuaciones combinadas
- Ampliado y reorganizado:
- La forma de una fórmula cuadrática ahora es observable. (Esta ecuación cuadrática es un ejemplo de la ecuación de Joachimsthal. [2] )
- dónde
- Simplificado
- Tenga en cuenta que es un vector unitario, y por lo tanto . Por lo tanto, podemos simplificar esto aún más para
- Si , entonces está claro que no existen soluciones, es decir, la línea no se cruza con la esfera (caso 1).
- Si , entonces existe exactamente una solución, es decir, la línea solo toca la esfera en un punto (caso 2).
- Si , existen dos soluciones y, por lo tanto, la línea toca la esfera en dos puntos (caso 3).