Número de enlace

"Número de enlace" vuelve a dirigir aquí. Para el acertijo de lógica, consulte Numberlink .

Las dos curvas de este enlace (2,8) - toro tienen el enlace número cuatro.

En matemáticas , el número de enlace es un invariante numérico que describe el enlace de dos curvas cerradas en un espacio tridimensional . Intuitivamente, el número de enlace representa el número de veces que cada curva se enrolla alrededor de la otra. El número de enlace es siempre un número entero , pero puede ser positivo o negativo según la orientación de las dos curvas. (Esto no es cierto para las curvas en la mayoría de las variedades de 3, donde los números de enlace también pueden ser fracciones o simplemente no existir).

El número de enlace fue introducido por Gauss en forma de integral de enlace . Es un importante objeto de estudio en teoría de nudos , topología algebraica y geometría diferencial , y tiene numerosas aplicaciones en matemáticas y ciencias , incluida la mecánica cuántica , el electromagnetismo y el estudio del superenrollamiento del ADN .

Definición

Cualquier dos curvas cerradas en el espacio, si se permite que pasen a través de sí mismas pero no entre sí, se pueden mover exactamente a una de las siguientes posiciones estándar. Esto determina el número de enlace:

${\displaystyle \cdots }$
	número de enlace -2	número de enlace -1	número de enlace 0
					${\displaystyle \cdots }$
		número de enlace 1	enlace número 2	número de enlace 3

Cada curva puede pasar por sí misma durante este movimiento, pero las dos curvas deben permanecer separadas en todo momento. Esto se formaliza como homotopía regular , que además requiere que cada curva sea una inmersión , no cualquier mapa. Sin embargo, esta condición agregada no cambia la definición de número de enlace (no importa si las curvas deben ser siempre inmersiones o no), que es un ejemplo de un principio h (principio de homotopía), lo que significa que la geometría reduce a la topología.

Prueba

Este hecho (que el número de enlace es el único invariante) se prueba más fácilmente colocando un círculo en la posición estándar y luego mostrando que el número de enlace es el único invariante del otro círculo. En detalle:

• Una sola curva es homotópica regular a un círculo estándar (cualquier nudo puede desanudarse si se permite que la curva pase a través de sí misma). El hecho de que sea homotópico es claro, ya que el espacio tridimensional es contráctil y, por lo tanto, todos los mapas en él son homotópicos, aunque el hecho de que esto se pueda hacer a través de inmersiones requiere algún argumento geométrico.
• El complemento de un círculo estándar es homeomorfo a un toro sólido con un punto eliminado (esto se puede ver al interpretar el espacio 3 como la esfera 3 con el punto en el infinito eliminado, y la esfera 3 como dos toros sólidos pegados a lo largo del límite), o el complemento se puede analizar directamente.
• El grupo fundamental de 3 espacios menos un círculo son los enteros, correspondientes al número de enlace. Esto se puede ver a través del teorema de Seifert-Van Kampen (ya sea agregando el punto en el infinito para obtener un toro sólido, o agregando el círculo para obtener 3 espacios, permite calcular el grupo fundamental del espacio deseado).
• Por lo tanto, las clases de homotopía de una curva en el espacio tridimensional menos un círculo se determinan mediante el número de enlace.
• También es cierto que las clases de homotopía regulares se determinan mediante el número de enlace, lo que requiere un argumento geométrico adicional.

Calcular el número de enlace

Con seis cruces positivos y dos cruces negativos, estas curvas tienen el enlace número dos.

Existe un algoritmo para calcular el número de enlace de dos curvas a partir de un diagrama de enlace . Etiqueta cada cruce como positivo o negativo , de acuerdo con la siguiente regla: ^[1]

El número total de cruces positivos menos el número total de cruces negativos es igual al doble del número de enlaces. Es decir:

${\displaystyle {\text{linking number}}={\frac {n_{1}+n_{2}-n_{3}-n_{4}}{2}}}$

donde n ₁ , n ₂ , n ₃ , n ₄ representan el número de cruces de cada uno de los cuatro tipos. Las dos sumas y son siempre iguales, ^{[2] lo} que conduce a la siguiente fórmula alternativa${\displaystyle n_{1}+n_{3}\,\!}$${\displaystyle n_{2}+n_{4}\,\!}$

${\displaystyle {\text{linking number}}\,=\,n_{1}-n_{4}\,=\,n_{2}-n_{3}.}$

La fórmula involucra solo los cruces inferiores de la curva azul por la roja, mientras que involucra solo los cruces superiores.${\displaystyle n_{1}-n_{4}}$${\displaystyle n_{2}-n_{3}}$

Propiedades y ejemplos

Las dos curvas del enlace de Whitehead tienen el número de enlace cero.

• Cualesquiera dos curvas no vinculadas tienen un número de vinculación cero. Sin embargo, todavía se pueden vincular dos curvas con el número de enlace cero (por ejemplo, el enlace de Whitehead ).
• Invertir la orientación de cualquiera de las curvas niega el número de enlace, mientras que invertir la orientación de ambas curvas lo deja sin cambios.
• El número de enlace es quiral : tomar la imagen especular del enlace niega el número de enlace. La convención para el número de enlace positivo se basa en una regla de la mano derecha .
• El número de devanado de una curva orientada en el plano x - y es igual a su número de enlace con el eje z (pensando en el eje z como una curva cerrada en la 3-esfera ).
• Más en general, si cualquiera de las curvas es sencillo , entonces el primer grupo de homología de su complemento es isomorfo a Z . En este caso, el número de enlace está determinado por la clase de homología de la otra curva.
• En física , el número de enlace es un ejemplo de un número cuántico topológico . Está relacionado con el entrelazamiento cuántico ^{[ cita requerida ]} .

Definición integral de Gauss

Dadas dos curvas diferenciables que no se intersecan , defina el mapa de Gauss desde el toro hasta la esfera mediante${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}\colon S^{1}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \Gamma (s,t)={\frac {\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)}{|\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)|}}}$

Elija un punto en la esfera unitaria, v , de modo que la proyección ortogonal del enlace al plano perpendicular av dé un diagrama de enlace. Observe que un punto (s, t) que va av debajo del mapa de Gauss corresponde a un cruce en el diagrama de enlace donde se termina . Además, una vecindad de (s, t) se asigna bajo el mapa de Gauss a una vecindad de v que conserva o invierte la orientación dependiendo del signo del cruce. Por tanto, para calcular el número de enlace del diagrama correspondiente av , basta con contar el número de veces con signo de que el mapa de Gauss cubre v . Ya que${\displaystyle \gamma _{1}}$${\displaystyle \gamma _{2}}$v es un valor regular , este es precisamente el grado del mapa de Gauss (es decir, el número con signo de veces que la imagen de Γ cubre la esfera). La invariancia isotópica del número de enlace se obtiene automáticamente ya que el grado es invariante en mapas homotópicos. Cualquier otro valor regular daría el mismo número, por lo que el número de enlace no depende de ningún diagrama de enlace en particular.

Esta formulación del número de enlace de γ ₁ y γ ₂ permite una fórmula explícita como una integral de doble línea , la integral de enlace de Gauss :

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {link} (\gamma _{1},\gamma _{2})&=\,{\frac {1}{4\pi }}\oint _{\gamma _{1}}\oint _{\gamma _{2}}{\frac {\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\cdot (d\mathbf {r} _{1}\times d\mathbf {r} _{2})\\[4pt]&={\frac {1}{4\pi }}\int _{S^{1}\times S^{1}}{\frac {\det({\dot {\gamma }}_{1}(s),{\dot {\gamma }}_{2}(t),\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t))}{|\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)|^{3}}}\,ds\,dt\end{aligned}}}$

Esta integral calcula el área firmada total de la imagen del mapa de Gauss (el integrando es el jacobiano de Γ) y luego se divide por el área de la esfera (que es 4 π ).

En la teoría cuántica de campos

En la teoría cuántica de campos , la definición integral de Gauss surge al calcular el valor esperado del bucle de Wilson observable en la teoría gauge de Chern-Simons . Explícitamente, la acción abeliana de Chern-Simons para un potencial de calibre de una forma en una variedad de tres está dada por${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle S_{CS}={\frac {k}{4\pi }}\int _{M}A\wedge dA}$

Estamos interesados ​​en hacer la integral de ruta de Feynman para Chern – Simons en : ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle Z[\gamma _{1},\gamma _{2}]=\int {\mathcal {D}}A_{\mu }\exp \left({\frac {ik}{4\pi }}\int d^{3}x\varepsilon ^{\lambda \mu \nu }A_{\lambda }\partial _{\mu }A_{\nu }+i\int _{\gamma _{1}}dx^{\mu }\,A_{\mu }+i\int _{\gamma _{2}}dx^{\mu }\,A_{\mu }\right)}$

Aquí está el símbolo antisimétrico. Dado que la teoría es simplemente gaussiana, no se necesita regularización o renormalización ultravioleta . Por lo tanto, la invariancia topológica del lado derecho asegura que el resultado de la integral de ruta será una invariante topológica. Lo único que queda por hacer es proporcionar un factor de normalización general, y se presentará una elección natural. Dado que la teoría es gaussiana y abeliana, la integral de trayectoria se puede hacer simplemente resolviendo la teoría de manera clásica y sustituyendo por . ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle A}$

Las ecuaciones clásicas de movimiento son

${\displaystyle \varepsilon ^{\lambda \mu \nu }\partial _{\mu }A_{\nu }={\frac {2\pi }{k}}J^{\lambda }}$

Aquí, hemos acoplado el campo de Chern-Simons a una fuente con un término en lagrangiano. Obviamente, sustituyendo el apropiado , podemos recuperar los bucles de Wilson. Como estamos en 3 dimensiones, podemos reescribir las ecuaciones de movimiento en una notación más familiar:${\displaystyle -J_{\mu }A^{\mu }}$${\displaystyle J}$

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}={\frac {2\pi }{k}}{\vec {J}}}$

Tomando el rizo de ambos lados y eligiendo el calibre de Lorenz , las ecuaciones se convierten en ${\displaystyle \partial ^{\mu }A_{\mu }=0}$

${\displaystyle \nabla ^{2}{\vec {A}}=-{\frac {2\pi }{k}}{\vec {\nabla }}\times {\vec {J}}}$

De la electrostática, la solución es

${\displaystyle A_{\lambda }({\vec {x}})={\frac {1}{2k}}\int d^{3}{\vec {y}}\,{\frac {\varepsilon _{\lambda \mu \nu }\partial ^{\mu }J^{\nu }({\vec {y}})}{|{\vec {x}}-{\vec {y}}|}}}$

La integral de trayectoria para arbitrario ahora se realiza fácilmente sustituyéndola en la acción de Chern-Simons para obtener una acción eficaz para el campo. Para obtener la integral de trayectoria para los bucles de Wilson, sustituimos una fuente que describe dos partículas que se mueven en bucles cerrados, es decir , con ${\displaystyle J}$${\displaystyle J}$${\displaystyle J=J_{1}+J_{2}}$

${\displaystyle J_{i}^{\mu }(x)=\int _{\gamma _{i}}dx_{i}^{\mu }\delta ^{3}(x-x_{i}(t))}$

Dado que la acción efectiva es cuadrática , está claro que habrá términos que describan la auto-interacción de las partículas, y estos no son interesantes ya que estarían allí incluso en presencia de un solo bucle. Por lo tanto, normalizamos la integral de trayectoria mediante un factor que cancela precisamente estos términos. Pasando por el álgebra, obtenemos ${\displaystyle J}$

${\displaystyle Z[\gamma _{1},\gamma _{2}]=\exp {{\Big (}{\frac {2\pi i}{k}}\Phi [\gamma _{1},\gamma _{2}]{\Big )}},}$

dónde

${\displaystyle \Phi [\gamma _{1},\gamma _{2}]={\frac {1}{4\pi }}\int _{\gamma _{1}}dx^{\lambda }\int _{\gamma _{2}}dy^{\mu }\,{\frac {(x-y)^{\nu }}{|x-y|^{3}}}\varepsilon _{\lambda \mu \nu },}$

que es simplemente la integral de enlace de Gauss. Este es el ejemplo más simple de una teoría de campos cuánticos topológicos , donde la integral de trayectoria calcula invariantes topológicos. Esto también sirvió como una pista de que la variante nobeliana de la teoría de Chern-Simons calcula otros invariantes de nudos, y Edward Witten demostró explícitamente que la teoría nobeliana da el invariante conocido como polinomio de Jones. ^[3]

La teoría del calibre de Chern-Simons vive en 3 dimensiones del espacio-tiempo. De manera más general, existen teorías de campos cuánticos topológicos de dimensiones superiores. Existen estadísticas más complicadas de múltiples bucles / trenzado de cuerdas de las teorías de calibre de 4 dimensiones capturadas por los invariantes de enlace de las teorías de campos cuánticos topológicos exóticos en 4 dimensiones del espacio-tiempo. ^[4]

Generalizaciones

Los invariantes de Milnor generalizan el número de enlace a enlaces con tres o más componentes, lo que permite probar que los anillos de Borromeo están enlazados, aunque dos componentes tienen un número de enlace 0.

• Así como curvas cerradas pueden ser ligados en tres dimensiones, cualquiera de los dos colectores cerrados de dimensiones m y n pueden estar unidos en un espacio euclídeo de dimensión . Cualquier enlace de este tipo tiene un mapa de Gauss asociado, cuyo grado es una generalización del número de enlace.${\displaystyle m+n+1}$
• Cualquier nudo enmarcado tiene un número de autoenlace obtenido calculando el número de vínculo del nudo C con una nueva curva obtenida moviendo ligeramente los puntos de C a lo largo de los vectores de encuadre. El número de autoenlace obtenido al moverse verticalmente (a lo largo del marco de la pizarra) se conoce como número de autoenlace de Kauffman .
• El número de enlace se define para dos círculos enlazados; dados tres o más círculos, se pueden definir los invariantes de Milnor , que son un número de enlace generalizador invariante numérico.
• En topología algebraica , el producto de taza es una generalización algebraica de gran alcance del número de enlace, siendo los productos de Massey los análogos algebraicos de los invariantes de Milnor .
• Una incrustación sin enlaces de un gráfico no dirigido es una incrustación en un espacio tridimensional de modo que cada dos ciclos tiene un número de enlace cero. Los gráficos que tienen una incrustación sin enlace tienen una caracterización menor prohibida como los gráficos sin menor de la familia Petersen .

Ver también

• Geometría diferencial de curvas
• Invariante de Hopf
• Problema de número de besos
• Retorcerse

Notas

1. Este es el mismo etiquetado que se usa para calcular el retorcimiento de un nudo , aunque en este caso solo etiquetamos los cruces que involucran ambas curvas del enlace.
2. Esto se deduce del teorema de la curva de Jordan si cualquiera de las curvas es simple. Por ejemplo, si la curva azul es simple, entonces n ₁  +  n ₃ y n ₂  +  n ₄ representan el número de veces que la curva roja cruza dentro y fuera de la región delimitada por la curva azul.
3. Witten, E. (1989). "Teoría cuántica de campos y el polinomio de Jones" . Comm. Matemáticas. Phys . 121 (3): 351–399. Código Bibliográfico : 1989CMaPh.121..351W . doi : 10.1007 / bf01217730 . Señor  0990772 . Zbl  0667.57005 .
4. Putrov, Pavel; Wang, juvenil; Yau, Shing-Tung (septiembre de 2017). "Estadísticas de trenzado e invariantes de enlace de materia cuántica topológica bosónica / fermiónica en dimensiones 2 + 1 y 3 + 1". Annals of Physics . 384C : 254-287. arXiv : 1612.09298 . Código bibliográfico : 2017AnPhy.384..254P . doi : 10.1016 / j.aop.2017.06.019 .

Referencias

• AV Chernavskii (2001) [1994], "Coeficiente de vinculación" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• - (2001) [1994], "Número retorcido" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press