En matemáticas , el teorema de Liouville , originalmente formulado por Joseph Liouville entre 1833 y 1841, [1] [2] [3] coloca una restricción importante sobre las antiderivadas que pueden expresarse como funciones elementales.
Las antiderivadas de ciertas funciones elementales no pueden expresarse en sí mismas como funciones elementales. Un ejemplo estándar de tal función escuya antiderivada es (con un multiplicador de una constante) la función de error , familiar de las estadísticas . Otros ejemplos incluyen las funciones y .
El teorema de Liouville establece que las antiderivadas elementales, si existen, deben estar en el mismo campo diferencial que la función, más posiblemente un número finito de logaritmos.
Definiciones
Para cualquier campo diferencial F , hay un subcampo
- Con ( F ) = { f en F | Df = 0},
llamado las constantes de F . Dados dos campos diferenciales F y G , G se llama una extensión logarítmica de F si G es una extensión trascendental simple de F (es decir, G = F ( t ) para alguna t trascendental ) tal que
- Dt = Ds / s para algunos s en F .
Tiene la forma de una derivada logarítmica . Intuitivamente, uno puede pensar en t como el logaritmo de algunos elementos s de F , en cuyo caso, esta condición es análoga a la regla de la cadena ordinaria . Sin embargo, F no está necesariamente equipado con un logaritmo único; uno podría colindan muchos "logaritmo-como" extensiones a F . De manera similar, una extensión exponencial es una extensión trascendental simple que satisface
- Dt = t Ds .
Con la salvedad anterior en mente, este elemento puede ser pensado como una exponencial de un elemento es de F . Finalmente, G se llama una extensión diferencial elemental de F si hay una cadena finita de subcampos de F a G donde cada extensión en la cadena es algebraica, logarítmica o exponencial.
Teorema básico
Supongamos que F y G son campos diferenciales, con aire ( F ) = Con ( G ), y que G es una extensión diferencial elemental de F . Sea a en F , y en G, y suponga que Dy = a (en palabras, suponga que G contiene una antiderivada de a ). Entonces existen c 1 , ..., c n en Con ( F ), u 1 , ..., u n , v en F tal que
En otras palabras, las únicas funciones que tienen "antiderivadas elementales" (es decir, antiderivadas que viven, en el peor de los casos, en una extensión diferencial elemental de F ) son las que tienen esta forma. Así, en un nivel intuitivo, el teorema establece que las únicas antiderivadas elementales son las funciones "simples" más un número finito de logaritmos de funciones "simples".
Se puede encontrar una demostración del teorema de Liouville en la sección 12.4 de Geddes, et al.
Ejemplos de
Como ejemplo, el campo C ( x ) de funciones racionales en una sola variable tiene una derivación dada por la derivada estándar con respecto a esa variable. Las constantes de este campo son sólo el número complejo C .
La función , que existe en C ( x ), no tiene una antiderivada en C ( x ). Sin embargo, sus antiderivadas ln x + C existen en la extensión logarítmica C ( x , ln x ).
Asimismo, la función no tiene una antiderivada en C ( x ). Sus antiderivadas tan −1 ( x ) + C no parecen satisfacer los requisitos del teorema, ya que no son (aparentemente) sumas de funciones racionales y logaritmos de funciones racionales. Sin embargo, un cálculo con la fórmula de Euler muestra que, de hecho, las antiderivadas se pueden escribir de la manera requerida (como logaritmos de funciones racionales).
Relación con la teoría diferencial de Galois
El teorema de Liouville a veces se presenta como un teorema en la teoría diferencial de Galois , pero esto no es estrictamente cierto. El teorema se puede demostrar sin ningún uso de la teoría de Galois. Además, el grupo de Galois de una antiderivada simple es trivial (si no se requiere extensión de campo para expresarlo), o es simplemente el grupo aditivo de las constantes (correspondiente a la constante de integración). Por lo tanto, el grupo de Galois diferencial de una antiderivada no codifica suficiente información para determinar si se puede expresar mediante funciones elementales, la condición principal del teorema de Liouville.
Ver también
Notas
Referencias
- Bertrand, D. (1996), "Revisión de" Conferencias sobre la teoría diferencial de Galois " " (PDF) , Boletín de la American Mathematical Society , 33 (2), doi : 10.1090 / s0273-0979-96-00652-0 , ISSN 0002-9904
- Geddes, Keith O .; Czapor, Stephen R .; Labahn, George (1992). Algoritmos para álgebra computacional . Editores académicos de Kluwer. ISBN 0-7923-9259-0.
- Liouville, Joseph (1833a). "Premier mémoire sur la détermination des intégrales dont la valeur est algébrique" . Journal de l'École Polytechnique . tomo XIV: 124-148.
- Liouville, Joseph (1833b). "Second mémoire sur la détermination des intégrales dont la valeur est algébrique" . Journal de l'École Polytechnique . tomo XIV: 149-193.
- Liouville, Joseph (1833c). "Note sur la détermination des intégrales dont la valeur est algébrique" . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 10 : 347–359.
- Magid, Andy R. (1994), Conferencias sobre la teoría diferencial de Galois , University Lecture Series, 7 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-7004-4, MR 1301076
- Magid, Andy R. (1999), "Teoría diferencial de Galois" (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 46 (9): 1041-1049, ISSN 0002-9920 , MR 1710665
- van der Put, Marius; Singer, Michael F. (2003), teoría de Galois de ecuaciones diferenciales lineales , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], 328 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-44228-8, MR 1960772
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Principio de Liouville" . MathWorld .