En matemáticas , específicamente en cálculo y análisis complejo , la derivada logarítmica de una función f se define mediante la fórmula
dónde es la derivada de f . Intuitivamente, este es el cambio relativo infinitesimal en f ; es decir, el cambio absoluto infinitesimal en f, a saberescalado por el valor actual de f.
Cuando f es una función f ( x ) de una variable real x , y toma valores reales estrictamente positivos , esto es igual a la derivada de ln ( f ), o el logaritmo natural de f . Esto se deriva directamente de la regla de la cadena .
Propiedades básicas
Muchas propiedades del logaritmo real también se aplican a la derivada logarítmica, incluso cuando la función no toma valores en reales positivos. Por ejemplo, dado que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores, tenemos
Entonces, para funciones con valor real positivo, la derivada logarítmica de un producto es la suma de las derivadas logarítmicas de los factores. Pero también podemos usar la ley de Leibniz para la derivada de un producto para obtener
Por lo tanto, es cierto para cualquier función que la derivada logarítmica de un producto es la suma de las derivadas logarítmicas de los factores (cuando están definidos).
Un corolario de esto es que la derivada logarítmica del recíproco de una función es la negación de la derivada logarítmica de la función:
al igual que el logaritmo del recíproco de un número real positivo es la negación del logaritmo del número.
De manera más general, la derivada logarítmica de un cociente es la diferencia de las derivadas logarítmicas del dividendo y el divisor:
al igual que el logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos del dividendo y el divisor.
Generalizando en otra dirección, la derivada logarítmica de una potencia (con exponente real constante) es el producto del exponente y la derivada logarítmica de la base:
al igual que el logaritmo de una potencia es el producto del exponente por el logaritmo de la base.
En resumen, tanto las derivadas como los logaritmos tienen una regla del producto , una regla recíproca , una regla del cociente y una regla de la potencia (compare la lista de identidades logarítmicas ); cada par de reglas se relaciona mediante la derivada logarítmica.
Calcular derivadas ordinarias usando derivadas logarítmicas
Las derivadas logarítmicas pueden simplificar el cálculo de derivadas que requieren la regla del producto mientras producen el mismo resultado. El procedimiento es el siguiente: Suponga que ƒ ( x ) = u ( x ) v ( x ) y que deseamos calcular ƒ '( x ) . En lugar de calcularlo directamente como ƒ '= u' v + v 'u , calculamos su derivada logarítmica. Es decir, calculamos:
Multiplicar por ƒ calcula ƒ ' :
Esta técnica es más útil cuando f es producto de una gran cantidad de factores. Esta técnica permite calcular ƒ ' calculando la derivada logarítmica de cada factor, sumando y multiplicando por ƒ.
Factores integradores
La idea de la derivada logarítmica está estrechamente relacionada con el método del factor integrador para ecuaciones diferenciales de primer orden . En términos de operador , escriba
y sea M el operador de multiplicación por alguna función dada G ( x ). Luego
se puede escribir (por la regla del producto ) como
dónde ahora denota el operador de multiplicación por la derivada logarítmica
En la práctica, se nos da un operador como
y deseo resolver ecuaciones
para la función h , dado f . Esto luego se reduce a resolver
que tiene como solución
con cualquier integral indefinida de F .
Análisis complejo
La fórmula dada se puede aplicar más ampliamente; por ejemplo, si f ( z ) es una función meromórfica , tiene sentido en todos los valores complejos de z en los que f no tiene un cero ni un polo . Además, en un cero o un polo, la derivada logarítmica se comporta de una manera que se analiza fácilmente en términos del caso particular.
- z n
con n un número entero, n ≠ 0. La derivada logarítmica es entonces
- n / z ;
y se puede sacar la conclusión general de que para f meromórfico, las singularidades de la derivada logarítmica de f son todas polos simples , con residuo n de un cero de orden n , residuo - n de un polo de orden n . Ver principio de argumento . Esta información a menudo se explota en la integración de contornos .
En el campo de la Teoría de Nevanlinna , un lema importante establece que la función de proximidad de una derivada logarítmica es pequeña con respecto a la Característica de Nevanlinna de la función original, por ejemplo.
El grupo multiplicativo
Detrás del uso de la derivada logarítmica se encuentran dos hechos básicos sobre GL 1 , es decir, el grupo multiplicativo de números reales u otro campo . El operador diferencial
es invariante bajo 'traducción' (reemplazando X por aX para una constante). Y la forma diferencial
- dX / X
es igualmente invariante. Para las funciones F en GL 1 , la fórmula
- dF / F
es por tanto un retroceso de la forma invariante.
Ejemplos de
- El crecimiento exponencial y el decaimiento exponencial son procesos con derivada logarítmica constante.
- En finanzas matemáticas , la λ griega es la derivada logarítmica del precio de la derivada con respecto al precio subyacente.
- En el análisis numérico , el número de condición es el cambio relativo infinitesimal en la salida para un cambio relativo en la entrada y, por lo tanto, es una relación de derivadas logarítmicas.