En matemáticas , si L es una extensión de campo de K , entonces un elemento a de L se llama elemento algebraico sobre K , o simplemente algebraico sobre K , si existe algún polinomio g ( x ) distinto de cero con coeficientes en K tales que g ( a ) = 0 . Los elementos de L que no son algebraicos sobre K se llaman trascendentales sobre K.
Estas nociones generalizan los números algebraicos y los números trascendentales (donde la extensión del campo es C / Q , siendo C el campo de los números complejos y Q el campo de los números racionales ).
Ejemplos de
- La raíz cuadrada de 2 es algebraica sobre Q , ya que es la raíz del polinomio g ( x ) = x 2 - 2 cuyos coeficientes son racionales.
- Pi es trascendental sobre Q pero algebraico sobre el campo de los números reales R : es la raíz de g ( x ) = x - π , cuyos coeficientes (1 y - π ) son ambos reales, pero no de ningún polinomio con solo coeficientes racionales . (La definición del término número trascendental usa C / Q , no C / R. )
Propiedades
Las siguientes condiciones son equivalentes para un elemento a de L :
- a es algebraica sobre K ,
- la extensión campo K ( un ) / K tiene grado finito, es decir, la dimensión de K ( un ) como un K - espacio vectorial es finito (aquí K ( un ) indica la más pequeña subcampo de L que contiene K y una ),
- K [ un ] = K ( una ) , donde K [ a ] es el conjunto de todos los elementos de L que se pueden escribir en la forma g ( un ) con un polinomio g cuyos coeficientes estar en K .
Esta caracterización se puede utilizar para demostrar que la suma, diferencia, producto y cociente de elementos algebraicas sobre K son de nuevo algebraico sobre K . El conjunto de todos los elementos de L que son algebraico sobre K es un campo que se encuentra en el medio L y K .
Si a es algebraico sobre K , entonces hay muchos polinomios g ( x ) distintos de cero con coeficientes en K tales que g ( a ) = 0 . Sin embargo, hay uno con el grado más pequeño y con el coeficiente principal 1. Este es el polinomio mínimo de a y codifica muchas propiedades importantes de a .
Los campos que no permiten ningún elemento algebraico sobre ellos (excepto sus propios elementos) se denominan algebraicamente cerrados . El campo de los números complejos es un ejemplo.
Ver también
Referencias
- Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , 211 (Tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556 , Zbl 0.984,00001