La siguiente lista en matemáticas contiene los grupos finitos de orden pequeño hasta el isomorfismo de grupo .
Recuentos
Para n = 1, 2, ... el número de grupos no isomórficos de orden n es
Glosario
Cada grupo es nombrado por su biblioteca de Grupos Pequeños como G o i , donde o es el orden del grupo e i es el índice del grupo dentro de ese orden.
Nombres de grupos comunes:
- Z n : el grupo cíclico de orden n ( también se utiliza la notación C n ; es isomorfo al grupo aditivo de Z / n Z ).
- Dih n : el grupo diedro de orden 2 n (a menudo se usa la notación D n o D 2 n )
- K 4 : los cuatro grupos de Klein de orden 4, igual que Z 2 × Z 2 y Dih 2 .
- S n : el grupo simétrico de grado n , que contiene el n ! permutaciones de n elementos.
- A n : el grupo alterno de grado n , que contiene las permutaciones pares de n elementos, de orden 1 para n = 0, 1 , y orden n ! / 2 en caso contrario.
- Dic n o Q 4n : el grupo dicíclico de orden 4 n .
- Q 8 : el grupo de cuaterniones de orden 8, también Dic 2 .
Las notaciones Z n y Dih n tienen la ventaja de que los grupos de puntos en tres dimensiones C n y D n no tienen la misma notación. Hay más grupos de isometría que estos dos, del mismo tipo de grupo abstracto.
La notación G × H denota el producto directo de los dos grupos; G n denota el producto directo de un grupo consigo mismo n veces. G ⋊ H denota un producto semidirecto donde H actúa sobre G ; esto también puede depender de la elección de acción de H sobre G
Se anotan grupos abelianos y simples . (Para grupos de orden n <60 , los grupos simples son precisamente los grupos cíclicos Z n , para primos n .) El signo de igualdad ("=") denota isomorfismo.
El elemento de identidad en los gráficos de ciclo está representado por el círculo negro. El orden más bajo para el cual el gráfico de ciclo no representa de forma única a un grupo es el orden 16.
En las listas de subgrupos, el grupo trivial y el grupo en sí no se enumeran. Cuando hay varios subgrupos isomórficos, el número de dichos subgrupos se indica entre paréntesis.
Lista de pequeños grupos abelianos
Los grupos abelianos finitos son grupos cíclicos o productos directos de los mismos; ver grupos abelianos . Los números de grupos abelianos no isomórficos de órdenes n = 1, 2, ... son
Para los grupos abelianos etiquetados, consulte OEIS : A034382 .
Pedido | Identificación. [a] | G o yo | Grupo | Subgrupos propios no triviales | Gráfico de ciclo | Propiedades |
---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | G 1 1 | Z 1 = S 1 = A 2 | - | Trivial . Cíclico. Alterno. Simétrico. Elemental . | |
2 | 2 | G 2 1 | Z 2 = S 2 = Dih 1 | - | Sencillo. Simétrico. Cíclico. Elemental. (El grupo no trivial más pequeño). | |
3 | 3 | G 3 1 | Z 3 = A 3 | - | Sencillo. Alterno. Cíclico. Elemental. | |
4 | 4 | G 4 1 | Z 4 = Dic 1 | Z 2 | Cíclico. | |
5 | G 4 2 | Z 2 2 = K 4 = Dih 2 | Z 2 (3) | Elemental. Producto . ( Cuatro grupos de Klein . El grupo no cíclico más pequeño). | ||
5 | 6 | G 5 1 | Z 5 | - | Sencillo. Cíclico. Elemental. | |
6 | 8 | G 6 2 | Z 6 = Z 3 × Z 2 [1] | Z 3 , Z 2 | Cíclico. Producto. | |
7 | 9 | G 7 1 | Z 7 | - | Sencillo. Cíclico. Elemental. | |
8 | 10 | G 8 1 | Z 8 | Z 4 , Z 2 | Cíclico. | |
11 | G 8 2 | Z 4 × Z 2 | Z 2 2 , Z 4 (2), Z 2 (3) | Producto. | ||
14 | G 8 5 | Z 2 3 | Z 2 2 (7), Z 2 (7) | Producto. Elemental. (Los elementos no identitarios corresponden a los puntos en el plano de Fano , los subgrupos Z 2 × Z 2 a las líneas). | ||
9 | 15 | G 9 1 | Z 9 | Z 3 | Cíclico. | |
dieciséis | G 9 2 | Z 3 2 | Z 3 (4) | Elemental. Producto. | ||
10 | 18 | G 10 2 | Z 10 = Z 5 × Z 2 | Z 5 , Z 2 | Cíclico. Producto. | |
11 | 19 | G 11 1 | Z 11 | - | Sencillo. Cíclico. Elemental. | |
12 | 21 | G 12 2 | Z 12 = Z 4 × Z 3 | Z 6 , Z 4 , Z 3 , Z 2 | Cíclico. Producto. | |
24 | G 12 5 | Z 6 × Z 2 = Z 3 × Z 2 2 | Z 6 (3), Z 3 , Z 2 (3), Z 2 2 | Producto. | ||
13 | 25 | G 13 1 | Z 13 | - | Sencillo. Cíclico. Elemental. | |
14 | 27 | G 14 2 | Z 14 = Z 7 × Z 2 | Z 7 , Z 2 | Cíclico. Producto. | |
15 | 28 | G 15 1 | Z 15 = Z 5 × Z 3 | Z 5 , Z 3 | Cíclico. Producto. | |
dieciséis | 29 | G 16 1 | Z 16 | Z 8 , Z 4 , Z 2 | Cíclico. | |
30 | G 16 2 | Z 4 2 | Z 2 (3), Z 4 (6), Z 2 2 , Z 4 × Z 2 (3) | Producto. | ||
33 | G 16 5 | Z 8 × Z 2 | Z 2 (3), Z 4 (2), Z 2 2 , Z 8 (2), Z 4 × Z 2 | Producto. | ||
38 | G 16 10 | Z 4 × Z 2 2 | Z 2 (7), Z 4 (4), Z 2 2 (7), Z 2 3 , Z 4 × Z 2 (6) | Producto. | ||
42 | G 16 14 | Z 2 4 = K 4 2 | Z 2 (15), Z 2 2 (35), Z 2 3 (15) | Producto. Elemental. | ||
17 | 43 | G 17 1 | Z 17 | - | Sencillo. Cíclico. Elemental. | |
18 | 45 | G 18 2 | Z 18 = Z 9 × Z 2 | Z 9 , Z 6 , Z 3 , Z 2 | Cíclico. Producto. | |
48 | G 18 5 | Z 6 × Z 3 = Z 3 2 × Z 2 | Z 6 , Z 3 , Z 2 | Producto. | ||
19 | 49 | G 19 1 | Z 19 | - | Sencillo. Cíclico. Elemental. | |
20 | 51 | G 20 2 | Z 20 = Z 5 × Z 4 | Z 10 , Z 5 , Z 4 , Z 2 | Cíclico. Producto. | |
54 | G 20 5 | Z 10 × Z 2 = Z 5 × Z 2 2 | Z 5 , Z 2 | Producto. | ||
21 | 56 | G 21 2 | Z 21 = Z 7 × Z 3 | Z 7 , Z 3 | Cíclico. Producto. | |
22 | 58 | G 22 2 | Z 22 = Z 11 × Z 2 | Z 11 , Z 2 | Cíclico. Producto. | |
23 | 59 | G 23 1 | Z 23 | - | Sencillo. Cíclico. Elemental. | |
24 | 61 | G 24 2 | Z 24 = Z 8 × Z 3 | Z 12 , Z 8 , Z 6 , Z 4 , Z 3 , Z 2 | Cíclico. Producto. | |
68 | G 24 9 | Z 12 × Z 2 = Z 6 × Z 4 = Z 4 × Z 3 × Z 2 | Z 12 , Z 6 , Z 4 , Z 3 , Z 2 | Producto. | ||
74 | G 24 15 | Z 6 × Z 2 2 = Z 3 × Z 2 3 | Z 6 , Z 3 , Z 2 | Producto. | ||
25 | 75 | G 25 1 | Z 25 | Z 5 | Cíclico. | |
76 | G 25 2 | Z 5 2 | Z 5 | Producto. Elemental. | ||
26 | 78 | G 26 2 | Z 26 = Z 13 × Z 2 | Z 13 , Z 2 | Cíclico. Producto. | |
27 | 79 | G 27 1 | Z 27 | Z 9 , Z 3 | Cíclico. | |
80 | G 27 2 | Z 9 × Z 3 | Z 9 , Z 3 | Producto. | ||
83 | G 27 5 | Z 3 3 | Z 3 | Producto. Elemental. | ||
28 | 85 | G 28 2 | Z 28 = Z 7 × Z 4 | Z 14 , Z 7 , Z 4 , Z 2 | Cíclico. Producto. | |
87 | G 28 4 | Z 14 × Z 2 = Z 7 × Z 2 2 | Z 14 , Z 7 , Z 4 , Z 2 | Producto. | ||
29 | 88 | G 29 1 | Z 29 | - | Sencillo. Cíclico. Elemental. | |
30 | 92 | G 30 4 | Z 30 = Z 15 × Z 2 = Z 10 × Z 3 = Z 6 × Z 5 = Z 5 × Z 3 × Z 2 | Z 15 , Z 10 , Z 6 , Z 5 , Z 3 , Z 2 | Cíclico. Producto. | |
31 | 93 | G 31 1 | Z 31 | - | Sencillo. Cíclico. Elemental. |
Lista de pequeños grupos no abelianos
El número de grupos no abelianos, por orden, se cuenta mediante (secuencia A060689 en la OEIS ). Sin embargo, muchas órdenes no tienen grupos no abelianos. Las órdenes para las que existe un grupo no abeliano son
- 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 46, 48, 50, ... (secuencia A060652 en la OEIS )
Pedido | Identificación. [a] | G o yo | Grupo | Subgrupos propios no triviales | Gráfico de ciclo | Propiedades |
---|---|---|---|---|---|---|
6 | 7 | G 6 1 | Dih 3 = S 3 = D 6 = Z 3 ⋊ Z 2 | Z 3 , Z 2 (3) | Grupo diedro , el grupo no abeliano más pequeño, grupo simétrico, grupo Frobenius. | |
8 | 12 | G 8 3 | Dih 4 = D 8 | Z 4 , Z 2 2 (2), Z 2 (5) | Grupo diedro. Grupo extra especial . Nilpotente. | |
13 | G 8 4 | Q 8 = Dic 2 = <2,2,2> [ aclaración necesaria ] | Z 4 (3), Z 2 | Grupo cuaternión , grupo hamiltoniano . Todos los subgrupos son normales sin que el grupo sea abeliano. El grupo más pequeño G que demuestra que para un subgrupo normal H el grupo cociente G / H no necesita ser isomorfo a un subgrupo de G . Grupo extra especial . Grupo diedro binario. Nilpotente. | ||
10 | 17 | G 10 1 | Dih 5 = D 10 | Z 5 , Z 2 (5) | Grupo diedro, grupo Frobenius. | |
12 | 20 | G 12 1 | Q 12 = Dic 3 = <3,2,2> = Z 3 ⋊ Z 4 | Z 2 , Z 3 , Z 4 (3), Z 6 | Grupo diedro binario. | |
22 | G 12 3 | UNA 4 = K 4 ⋊ Z 3 = (Z 2 × Z 2 ) ⋊ Z 3 | Z 2 2 , Z 3 (4), Z 2 (3) | Grupo alterno . No hay subgrupos de orden 6, aunque 6 divide su orden. Grupo Frobenius. | ||
23 | G 12 4 | Dih 6 = D 12 = Dih 3 × Z 2 | Z 6 , Dih 3 (2), Z 2 2 (3), Z 3 , Z 2 (7) | Grupo diedro, producto. | ||
14 | 26 | G 14 1 | Dih 7 = D 14 | Z 7 , Z 2 (7) | Grupo diedro , grupo Frobenius | |
16 [2] | 31 | G 16 3 | G 4,4 = K 4 ⋊ Z 4 | Mi 8 , Z 4 × Z 2 (2), Z 4 (4), K 4 (6), Z 2 (6) | Tiene el mismo número de elementos de todos los órdenes que el grupo Pauli. Nilpotente. | |
32 | G 16 4 | Z 4 ⋊ Z 4 | Los cuadrados de elementos no forman un subgrupo. Tiene el mismo número de elementos de cada orden que Q 8 × Z 2 . Nilpotente. | |||
34 | G 16 6 | Z 8 ⋊ Z 2 | A veces se denomina grupo modular de orden 16, aunque esto es engañoso ya que los grupos abelianos y Q 8 × Z 2 también son modulares. Nilpotente. | |||
35 | G 16 7 | Dih 8 = D 16 | Z 8 , Dih 4 (2), Z 2 2 (4), Z 4 , Z 2 (9) | Grupo diedro . Nilpotente. | ||
36 | G 16 8 | QD 16 | El grupo cuasidiédrico de orden 16 . Nilpotente. | |||
37 | G 16 9 | Q 16 = Dic 4 = <4,2,2> | Grupo cuaternión generalizado , grupo diedro binario. Nilpotente. | |||
39 | G 16 11 | Dih 4 × Z 2 | Dih 4 (4), Z 4 × Z 2 , Z 2 3 (2), Z 2 2 (13), Z 4 (2), Z 2 (11) | Producto. Nilpotente. | ||
40 | G 16 12 | Q 8 × Z 2 | Hamiltoniano , producto. Nilpotente. | |||
41 | G 16 13 | (Z 4 × Z 2 ) ⋊ Z 2 | El grupo de Pauli generado por las matrices de Pauli . Nilpotente. | |||
18 | 44 | G 18 1 | Dih 9 = D 18 | Grupo diedro, grupo Frobenius. | ||
46 | G 18 3 | S 3 × Z 3 | Producto. | |||
47 | G 18 4 | (Z 3 × Z 3 ) ⋊ Z 2 | Grupo Frobenius. | |||
20 | 50 | G 20 1 | Q 20 = Dic 5 = <5,2,2> | Grupo diedro binario . | ||
52 | G 20 3 | Z 5 ⋊ Z 4 | Grupo Frobenius . | |||
53 | G 20 4 | Dih 10 = Dih 5 × Z 2 = D 20 | Grupo diedro, producto. | |||
21 | 55 | G 21 1 | Z 7 ⋊ Z 3 | Z 7 , Z 3 (7) | El grupo no abeliano más pequeño de orden impar. Grupo Frobenius. | |
22 | 57 | G 22 1 | Dih 11 = D 22 | Z 11 , Z 2 (11) | Grupo diedro, grupo Frobenius. | |
24 | 60 | G 24 1 | Z 3 ⋊ Z 8 | Ampliación central de S 3 . | ||
62 | G 24 3 | SL (2,3) = 2T = Q 8 ⋊ Z 3 | Grupo tetraédrico binario . | |||
63 | G 24 4 | Q 24 = Dic 6 = <6,2,2> = Z 3 ⋊ Q 8 | Diedro binario. | |||
64 | G 24 5 | Z 4 × S 3 | Producto. | |||
sesenta y cinco | G 24 6 | Dih 12 | Grupo diedro. | |||
66 | G 24 7 | Dic 3 × Z 2 = Z 2 × (Z 3 ⋊ Z 4 ) | Producto. | |||
67 | G 24 8 | (Z 6 × Z 2 ) ⋊ Z 2 = Z 3 ⋊ Dih 4 | Doble tapa de grupo diedro. | |||
69 | G 24 10 | Dih 4 × Z 3 | Producto. Nilpotente. | |||
70 | G 24 11 | Q 8 × Z 3 | Producto. Nilpotente. | |||
71 | G 24 12 | S 4 | 28 subgrupos no triviales adecuados; 9 subgrupos, combinando aquellos que son isomorfos; estos incluyen S 2 , S 3 , A 3 , A 4 , D 8 . [3] | Grupo simétrico . No tiene subgrupos normales de Sylow . | ||
72 | G 24 13 | A 4 × Z 2 | Producto. | |||
73 | G 24 14 | D 12 × Z 2 | Producto. | |||
26 | 77 | G 26 1 | Dih 13 | Grupo diedro, grupo Frobenius. | ||
27 | 81 | G 27 3 | Z 3 2 ⋊ Z 3 | Todos los elementos no triviales tienen orden 3. Grupo extra especial . Nilpotente. | ||
82 | G 27 4 | Z 9 ⋊ Z 3 | Grupo extra especial . Nilpotente. | |||
28 | 84 | G 28 1 | Z 7 ⋊ Z 4 | Grupo diedro binario. | ||
86 | G 28 3 | Dih 14 | Grupo diedro, producto. | |||
30 | 89 | G 30 1 | Z 5 × S 3 | Producto. | ||
90 | G 30 2 | Z 3 × Dih 5 | Producto. | |||
91 | G 30 3 | Dih 15 | Grupo diedro, grupo Frobenius. |
Clasificación de grupos de pequeño orden
Los grupos pequeños de orden de potencia prima p n se dan de la siguiente manera:
- Orden p : el único grupo es cíclico.
- Orden p 2 : hay solo dos grupos, ambos abelianos.
- Orden p 3 : Hay tres grupos abelianos y dos grupos no abelianos. Uno de los grupos no abelianos es el producto semidirecto de un subgrupo cíclico normal de orden p 2 por un grupo cíclico de orden p . El otro es el grupo de cuaterniones para p = 2 y un grupo de exponente p para p > 2 .
- Orden p 4 : La clasificación es complicada y se vuelve mucho más difícil a medida que aumenta el exponente de p .
La mayoría de los grupos de orden pequeño tienen un subgrupo P de Sylow p con un p -complemento N normal para algunos primos p que dividen el orden, por lo que pueden clasificarse en términos de los posibles primos p , p -grupos P , grupos N y acciones de P en N . En cierto sentido, esto reduce la clasificación de estos grupos a la clasificación de p -grupos. Algunos de los grupos pequeños que no tienen un complemento p normal incluyen:
- Orden 24: El grupo simétrico S 4
- Orden 48: El grupo octaédrico binario y el producto S 4 × Z 2
- Orden 60: El grupo alterno A 5 .
El orden más pequeño para el que se no sabe cuántos grupos no isomorfos hay es 2,048 = 2 11 . [4]
Biblioteca para grupos pequeños
El sistema de álgebra informática teórica grupal GAP contiene la "biblioteca de grupos pequeños" que proporciona acceso a descripciones de grupos de orden reducido. Los grupos se enumeran hasta el isomorfismo . En la actualidad, la biblioteca contiene los siguientes grupos: [5]
- los del pedido como máximo 2000 (excepto el pedido 1024);
- los de orden cubefree como máximo 50000 (395 703 grupos);
- los de orden cuadrado libre;
- los de orden p n para n como máximo 6 y p primo;
- los de orden p 7 para p = 3, 5, 7, 11 (907 489 grupos);
- las de orden pq n donde q n divide 2 8 , 3 6 , 5 5 o 7 4 y p es un primer arbitraria que difiere de q ;
- aquellos cuyos órdenes se factorizan como máximo en 3 números primos (no necesariamente distintos).
Contiene descripciones explícitas de los grupos disponibles en formato legible por computadora.
El orden más pequeño para el que la biblioteca SmallGroups no tiene información es 1024.
Ver también
- Clasificación de grupos simples finitos
- Serie de composición
- Lista de grupos simples finitos
- Número de grupos de un orden determinado
- Pequeños cuadrados latinos y cuasigrupos
Notas
- ^ a b Identificador cuando los grupos están numerados por orden, o , luego por índice, i , de la biblioteca de grupos pequeños, comenzando en 1.
- ^ Vea un ejemplo trabajado que muestra el isomorfismo Z 6 = Z 3 × Z 2 .
- ^ Salvaje, Marcel. " Los grupos del orden dieciséis se hicieron fáciles , American Mathematical Monthly , enero de 2005
- ^ https://groupprops.subwiki.org/wiki/Subgroup_structure_of_symmetric_group:S4
- ^ https://www.quendi.de/data/papers/EHH2018-small-groups.pdf
- ^ Hans Ulrich Besche La biblioteca de grupos pequeños Archivado el 5 de marzo de 2012en la Wayback Machine.
Referencias
- Coxeter, HSM y Moser, WOJ (1980). Generadores y Relaciones para Grupos Discretos . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9., Tabla 1, Orden de grupos no belianos <32.
- Hall, Jr., Marshall ; Mayor, James K. (1964). "Los Grupos de Orden 2 n ( n ≤ 6)". Macmillan. Señor 0168631 . Un catálogo de los 340 grupos de orden dividiendo 64 con tablas de definición de relaciones, constantes y celosía de subgrupos de cada grupo. Cite journal requiere
|journal=
( ayuda )CS1 maint: posdata ( enlace )
enlaces externos
- Grupos particulares en el Wiki de propiedades del grupo
- Grupos de orden dado
- Besche, HU; Eick, B .; O'Brien, E. "biblioteca para grupos pequeños" . Archivado desde el original el 5 de marzo de 2012.
- Base de datos de GroupNames