Grupo de cuaterniones

Estructura algebraica → Teoría de grupos Teoría de grupos
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Grupos finitos Clasificación de grupos simples finitos cíclico alterno Tipo de mentira esporádico Teorema de Cauchy Teorema de lagrange Teoremas de Sylow Teorema de Hall grupo p Grupo abeliano elemental Grupo Frobenius Multiplicador de Schur Grupo simétrico S n Klein de cuatro grupos V Grupo diedro D n Grupo de cuaterniones Q Grupo dicíclico Dic n
Grupos discretos Celosías Enteros ( Z ) Grupo libre Grupos modulares PSL (2, Z ) SL (2, Z ) Grupo aritmético Enrejado Grupo hiperbólico
Grupos topológicos y de mentira Solenoide Circulo GL lineal general ( n ) SL lineal especial ( n ) Ortogonal O ( n ) Euclidiana E ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitario U ( n ) SU unitario especial ( n ) Simpléctica Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conformal Difeomorfismo Lazo Grupo de mentiras de dimensión infinita O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupos algebraicos Grupo algebraico lineal Grupo reductivo Variedad abeliana Curva elíptica
v t mi

Diagrama de ciclo de Q ₈ . Cada color especifica una serie de potencias de cualquier elemento conectado al elemento de identidad e = 1. Por ejemplo, el ciclo en rojo refleja el hecho de que i ² = e , i ³ = i y i ⁴ = e. El ciclo rojo también refleja que i ² = e , i ³ = i yi ⁴ = e.

En la teoría de grupos , el grupo de cuaterniones Q ₈ (a veces simplemente denotado por Q) es un grupo no abeliano de orden ocho, isomorfo al subconjunto de ocho elementos de los cuaterniones bajo multiplicación. Está dado por la presentación grupal${\displaystyle \{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\}}$

${\displaystyle \mathrm {Q} _{8}=\langle {\bar {e}},i,j,k\mid {\bar {e}}^{2}=e,\;i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk={\bar {e}}\rangle ,}$

donde e es el elemento de identidad ye conmuta con los otros elementos del grupo.

Otra presentación de Q 8 es

${\displaystyle \mathrm {Q} _{8}=\langle a,b\mid a^{4}=e,a^{2}=b^{2},ba=a^{-1}b\rangle .}$

Comparado con el grupo diedro

El grupo de cuaterniones Q ₈ tiene el mismo orden que el grupo diedro D 4 , pero una estructura diferente, como lo muestran sus gráficos de Cayley y ciclo:

	Q 8	D 4
Gráfico de Cayley	Las flechas rojas conectan g → gi , las verdes conectan g → gj .
Gráfico de ciclo

En los diagramas para D ₄ , los elementos del grupo están marcados con su acción en una letra F en la representación de definición R ² . No se puede hacer lo mismo para Q ₈ , ya que no tiene una representación fiel en R ² o R ³ . D ₄ se puede realizar como un subconjunto de los cuaterniones divididos de la misma manera que Q ₈ se puede ver como un subconjunto de los cuaterniones.

Mesa Cayley

La tabla de Cayley ( tabla de multiplicar) para Q ₈ viene dada por: ^[1]

×	mi	mi	I	I	j	j	k	k
mi	mi	mi	I	I	j	j	k	k
mi	mi	mi	I	I	j	j	k	k
I	I	I	mi	mi	k	k	j	j
I	I	I	mi	mi	k	k	j	j
j	j	j	k	k	mi	mi	I	I
j	j	j	k	k	mi	mi	I	I
k	k	k	j	j	I	I	mi	mi
k	k	k	j	j	I	I	mi	mi

Propiedades

Tenga en cuenta que i , j y k tienen el orden cuatro en Q ₈ y dos de ellos generan el grupo completo. Otra presentación de Q ₈ ^[2] basada en solo dos elementos para omitir esta redundancia es:

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{4}=1,x^{2}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle .}$

Uno puede tomar, por ejemplo , y .${\displaystyle i=x,j=y}$${\displaystyle k=xy}$

El grupo de cuaterniones tiene la propiedad inusual de ser hamiltoniano : Q ₈ no es abeliano, pero todos los subgrupos son normales . ^[3] Cada grupo hamiltoniano contiene una copia de Q ₈ . ^[4]

El grupo cuaternión Q ₈ y el grupo diedro D ₄ son los dos ejemplos más pequeños de un grupo no abeliano nilpotente .

El subgrupo de centro y conmutador de Q ₈ es el subgrupo . El grupo de automorfismo interno de Q ₈ viene dado por el grupo módulo de su centro, es decir, el grupo de factores Q ₈ / {e, e }, que es isomorfo al cuatro grupo V de Klein . El grupo de automorfismo completo de Q ₈ es isomorfo a S ₄ , el grupo simétrico de cuatro letras (ver Representaciones matriciales a continuación) y el grupo de automorfismo externo de Q${\displaystyle \{e,{\bar {e}}\}}$Por tanto, ₈ es S ₄ / V, que es isomorfo a S ₃ .

El grupo de cuaterniones Q ₈ tiene cinco clases de conjugación, {e}, { e }, {i, i }, {j, j }, {k, k }, por lo que cinco representaciones irreductibles sobre los números complejos, con dimensiones 1, 1,1,1,2:

Representación trivial

Representaciones de signos con i, j, k-kernel : Q ₈ tiene tres subgrupos normales máximos: los subgrupos cíclicos generados por i, j y k respectivamente. Para cada subgrupo normal máxima N , obtenemos una unidimensional factorización de representación a través de la 2-elemento grupo cociente G / N . La representación envía elementos de N a 1 y elementos fuera de N a -1.

Representación bidimensional : se describe a continuación en representaciones matriciales .

La tabla de caracteres de Q ₈ resulta ser la misma que la de D ₄ :

Representación (ρ) / clase conjugada	{e}	{ e }	{yo, yo }	{j, j }	{k, k }
Representación trivial	1	1	1	1	1
Representación de signos con i-kernel	1	1	1	-1	-1
Representación de signos con j-kernel	1	1	-1	1	-1
Representación de signos con k-kernel	1	1	-1	-1	1
Representación bidimensional	2	-2	0	0	0

Dado que los caracteres irreductibles en las filas de arriba tienen valores reales, esto da la descomposición del álgebra de grupo real de en ideales mínimos de dos caras :, donde los idempotentes corresponden a los irreducibles:, de modo que${\displaystyle \chi _{\rho }}$${\displaystyle G=Q_{8}}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} [Q_{8}]\ =\ \bigoplus _{\rho }(e_{\rho })}$ ${\displaystyle e_{\rho }\in \mathbb {R} [Q_{8}]}$${\displaystyle \textstyle e_{\rho }={\frac {\dim(\rho )}{|G|}}\sum _{g\in G}\chi _{\rho }(g^{-1})g}$

${\displaystyle e_{\text{triv}}={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}+i+{\bar {i}}+j+{\bar {j}}+k+{\bar {k}})}$

${\displaystyle e_{i{\text{-ker}}}={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}+i+{\bar {i}}-j-{\bar {j}}-k-{\bar {k}})}$

${\displaystyle e_{j{\text{-ker}}}={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}-i-{\bar {i}}+j+{\bar {j}}-k-{\bar {k}})}$

${\displaystyle e_{k{\text{-ker}}}={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}-i-{\bar {i}}-j-{\bar {j}}+k+{\bar {k}})}$

${\displaystyle e_{2}={\tfrac {2}{8}}(2e-2{\bar {e}})={\tfrac {1}{2}}(e-{\bar {e}})}$.

Cada uno de estos ideales irreductibles es isomorfo a un álgebra simple central real , los primeros cuatro al campo real . El último ideal es isomorfo al campo sesgado de los cuaterniones por la correspondencia:${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle (e_{2})}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$

${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}(e-{\bar {e}})\longleftrightarrow 1,\ \ {\frac {1}{2}}(i-{\bar {i}})\longleftrightarrow i,\ \ {\frac {1}{2}}(j-{\bar {j}})\longleftrightarrow j,\ \ {\frac {1}{2}}(k-{\bar {k}})\longleftrightarrow k.}$

Además, el homomorfismo de proyección dado por tiene un ideal del núcleo generado por el idempotente:${\displaystyle \mathbb {R} [Q_{8}]\to (e_{2})\cong \mathbb {H} }$${\displaystyle r\mapsto re_{2}}$

${\displaystyle e_{2}^{\perp }\ =\ \textstyle e_{1}+e_{i{\text{-ker}}}+e_{j{\text{-ker}}}+e_{k{\text{-ker}}}\ =\ {\frac {1}{2}}(e+{\bar {e}}),}$

por lo que los cuaterniones también se pueden obtener como anillo cociente .${\displaystyle \mathbb {R} [Q_{8}]/(e+{\bar {e}})\cong \mathbb {H} }$

El álgebra de grupo complejo es , por tanto , donde está el álgebra de biquaternions .${\displaystyle \mathbb {C} [Q_{8}]\cong \mathbb {C} ^{\oplus 4}\oplus M_{2}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle M_{2}(\mathbb {C} )\cong \mathbb {H} \otimes _{\mathbb {R} }\!\mathbb {C} \cong \mathbb {H} \oplus \mathbb {H} }$

Representaciones matriciales

Tabla de multiplicar del grupo de cuaterniones como subgrupo de SL (2, C ). Las entradas están representadas por sectores correspondientes a sus argumentos: 1 (verde), i (azul), -1 (rojo), - i (amarillo).

El complejo irreducible bidimensional representación se ha descrito anteriormente da el grupo cuaternión Q ₈ como un subgrupo de la grupo lineal general . El grupo de cuaterniones es un subgrupo multiplicativo del álgebra de cuaterniones , que tiene una representación regular por multiplicación a la izquierda sobre sí mismo considerado como un espacio vectorial complejo con base , por lo que corresponde al mapeo C- lineal . La representación resultante viene dada por:${\displaystyle \operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {H} =\mathbb {R} 1+\mathbb {R} i+\mathbb {R} j+\mathbb {R} k=\mathbb {C} 1+\mathbb {C} j}$ ${\displaystyle \rho :\mathbb {H} \to \mathrm {M} _{2}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \{1,j\}}$${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$${\displaystyle \rho _{z}:a{+}jb\mapsto z\cdot (a{+}jb)}$${\displaystyle \rho :\mathrm {Q} _{8}\to \mathrm {GL} _{2}(\mathbb {C} ),\ g\mapsto \rho _{g},}$

${\displaystyle {\begin{matrix}e\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}&i\mapsto {\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}&j\mapsto {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}&k\mapsto {\begin{pmatrix}0&-i\\-i&0\end{pmatrix}}\\{\overline {e}}\mapsto {\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}&{\overline {i}}\mapsto {\begin{pmatrix}-i&0\\0&i\end{pmatrix}}&{\overline {j}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}&{\overline {k}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}.\end{matrix}}}$

Dado que todas las matrices anteriores tienen determinantes unitarios, esta es una representación de Q ₈ en el grupo lineal especial SL ₂ ( C ). ^[5]

Una variante da una representación mediante matrices unitarias (tabla a la derecha). Deje corresponder al mapeo lineal , por lo que viene dado por:${\displaystyle g\in Q_{8}}$${\displaystyle \rho _{g}:a{+}bj\mapsto (a{+}bj)\cdot jg^{-1}j^{-1}}$${\displaystyle \rho :\mathrm {Q} _{8}\to \mathrm {SU} _{2}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}e\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}&i\mapsto {\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}&j\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}&k\mapsto {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}\\{\overline {e}}\mapsto {\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}&{\overline {i}}\mapsto {\begin{pmatrix}-i&0\\0&i\end{pmatrix}}&{\overline {j}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}&{\overline {k}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&-i\\-i&0\end{pmatrix}}.\end{matrix}}}$

Tabla de multiplicar del grupo de cuaterniones como subgrupo de SL (2,3) . Los elementos del campo se indican con 0, +, -.

También hay una acción importante de Q ₈ en el espacio vectorial bidimensional sobre el campo finito F ₃ = {0,1, −1} (tabla a la derecha). Una representación modular viene dada por${\displaystyle \rho :\mathrm {Q} _{8}\to \mathrm {SL} (2,3)}$

${\displaystyle {\begin{matrix}e\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}&i\mapsto {\begin{pmatrix}1&1\\1&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&j\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&1\\1&1\end{pmatrix}}&k\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!\!-1\\1&0\end{pmatrix}}\\{\overline {e}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&0\\0&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&{\overline {i}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&\!\!\!\!-1\\\!\!\!-1&1\end{pmatrix}}&{\overline {j}}\mapsto {\begin{pmatrix}1&\!\!\!\!-1\\\!\!\!-1&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&{\overline {k}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\\!\!\!-1&0\end{pmatrix}}.\end{matrix}}}$

Esta representación se puede obtener del campo de extensión F ₉ = F ₃ [ k ] = F ₃ 1 + F ₃ k , donde k ² = −1 y el grupo multiplicativo ( F ₉ ) ^× tiene generadores ± ( k +1), ± ( k -1) de orden 8. El espacio vectorial F ₃ bidimensional F ₉ admite los mapeos lineales para z en F ₉ , así como el automorfismo de Frobenius${\displaystyle \mu _{z}(a+bk)=z\cdot (a+bk)}$ ${\displaystyle \phi (a+bk)=(a+bk)^{3}}$satisfactorio y . A continuación, las matrices de representación anteriores son , , , y .${\displaystyle \phi ^{2}=\mu _{1}}$${\displaystyle \phi \mu _{z}=\mu _{\phi (z)}\phi }$${\displaystyle \rho ({\bar {e}})=\mu _{-1}}$${\displaystyle \rho (i)=\mu _{k+1}\phi }$${\displaystyle \rho (j)=\mu _{k-1}\phi }$${\displaystyle \rho (k)=\mu _{k}}$

La representación anterior se da cuenta de Q ₈ como un subgrupo normal de GL (2, 3) . Por lo tanto, para cada matriz , tenemos un automorfismo de grupo definido por , con . De hecho, estos dan el grupo de automorfismo completo como: ${\displaystyle m\in \mathrm {GL} (2,3)}$${\displaystyle \psi _{m}:Q_{8}\to Q_{8}}$${\displaystyle \psi _{m}(g)=mgm^{-1}}$${\displaystyle \psi _{I}=\psi _{-I}=\mathrm {id} _{Q_{8}}}$

${\displaystyle \mathrm {Aut} (Q_{8})\cong \mathrm {PGL} (2,3)=\mathrm {GL} (2,3)/\{\pm I\}\cong S_{4}}$,

Esto es isomorfo al grupo simétrico S ₄ ya que las asignaciones lineales permutan los cuatro subespacios unidimensionales de , es decir, los cuatro puntos del espacio proyectivo .${\displaystyle m:\mathbb {F} _{3}^{2}\to \mathbb {F} _{3}^{2}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{3}^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {F} _{3}}^{1}=\mathrm {PG} (1,3)}$

Además, esta representación permuta los ocho vectores distintos de cero de ( F ₃ ) ² , dando una incrustación de Q ₈ en el grupo simétrico S _8, además de las incrustaciones dadas por las representaciones regulares.

Grupo Galois

Como mostró Richard Dean en 1981, el grupo de cuaterniones se puede presentar como el grupo de Galois Gal (T / Q ) donde Q es el campo de números racionales y T es el campo de división sobre Q del polinomio.

${\displaystyle x^{8}-72x^{6}+180x^{4}-144x^{2}+36}$.

El desarrollo utiliza el teorema fundamental de la teoría de Galois al especificar cuatro campos intermedios entre Q y T y sus grupos de Galois, así como dos teoremas sobre la extensión cíclica de grado cuatro sobre un campo. ^[6]

Grupo de cuaterniones generalizados

Un grupo de cuaterniones generalizados Q _{4 n} de orden 4 n está definido por la presentación ^[2]

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{2n}=y^{4}=1,x^{n}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle }$

para un número entero n ≥ 2 , con el grupo cuaternión habitual dado por n = 2. ^[7] Coxeter llama Q _{4 n} el grupo dicíclico , un caso especial del grupo poliédrico binario y relacionado con el grupo poliédrico y el grupo diedro . El grupo de cuaterniones generalizados se puede realizar como el subgrupo de generado por${\displaystyle \langle 2,2,n\rangle }$ ${\displaystyle \langle \ell ,m,n\rangle }$ ${\displaystyle (p,q,r)}$ ${\displaystyle (2,2,n)}$${\displaystyle \operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}\omega _{n}&0\\0&{\overline {\omega }}_{n}\end{array}}\right){\mbox{ and }}\left({\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}}\right)}$

donde . ^[2] También se puede realizar como el subgrupo de cuaterniones unitarios generados por ^[8] y .${\displaystyle \omega _{n}=e^{i\pi /n}}$ ${\displaystyle x=e^{i\pi /n}}$${\displaystyle y=j}$

Los grupos de cuaterniones generalizados tienen la propiedad de que cada subgrupo abeliano es cíclico. ^[9] Se puede demostrar que un finito p -Grupo con esta propiedad (cada subgrupo abeliano es cíclico) es o cíclico o un grupo cuaternión generalizada como se define anteriormente. ^[10] Otra caracterización es que un grupo p finito en el que hay un subgrupo único de orden p es cíclico o un grupo de 2 grupos isomorfo a un grupo cuaternión generalizado. ^[11] En particular, para un campo finito F con característica impar, el subgrupo 2-Sylow de SL ₂ ( F) no es abeliano y tiene solo un subgrupo de orden 2, por lo que este subgrupo 2-Sylow debe ser un grupo cuaternión generalizado ( Gorenstein 1980 , p. 42). Sea p ^r el tamaño de F , donde p es primo, el tamaño del subgrupo 2-Sylow de SL ₂ ( F ) es 2 ⁿ , donde n = ord ₂ ( p ² - 1) + ord ₂ ( r ) .

El teorema de Brauer-Suzuki muestra que los grupos cuyos 2 subgrupos de Sylow son cuaterniones generalizados no pueden ser simples.

Otra terminología reserva el nombre "grupo de cuaterniones generalizados" para un grupo dicíclico de orden una potencia de 2, ^[12] que admite la presentación

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{2^{m}}=y^{4}=1,x^{2^{m-1}}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle .}$

Ver también

• 16 celdas
• Grupo tetraédrico binario
• Álgebra de Clifford
• Grupo dicíclico
• Cuaternión integral de Hurwitz
• Lista de pequeños grupos

Notas

1. Ver también una tabla de Wolfram Alpha
2. Johnson , 1980 , págs. 44–45.
3. Véase Hall (1999), p. 190
4. Véase Kurosh (1979), p. 67
5. Artin 1991
6. Dean, Richard (1981). "Un polinomio racional cuyo grupo son los cuaterniones". The American Mathematical Monthly . 88 (1): 42–45. JSTOR  2320711 .
7. Algunos autores (p. Ej., Rotman 1995 , págs. 87, 351) se refieren a este grupo como el grupo dicíclico, reservando el nombre de grupo cuaternión generalizado para el caso donde n es una potencia de 2.
8. Brown , 1982 , p. 98
9. Brown , 1982 , p. 101, ejercicio 1
10. Cartan y Eilenberg 1999 , Teorema 11.6, p. 262
11. Brown 1982 , Teorema 4.3, p. 99
12. Roman, Steven (2011). Fundamentos de la teoría de grupos: un enfoque avanzado . Saltador. págs. 347–348. ISBN 9780817683016.

Referencias

• Artin, Michael (1991), Álgebra , Prentice Hall, ISBN 978-0-13-004763-2
• Brown, Kenneth S. (1982), Cohomología de grupos (3a ed.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90688-1
• Cartan, Henri ; Eilenberg, Samuel (1999), Álgebra homológica , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04991-5
• Coxeter, HSM y Moser, WOJ (1980). Generadores y Relaciones para Grupos Discretos . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.
• Dean, Richard A. (1981) "Un polinomio racional cuyo grupo son los cuaterniones", American Mathematical Monthly 88: 42–5.
• Gorenstein, D. (1980), Grupos finitos , Nueva York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0301-6, MR  0569209
• Johnson, David L. (1980), Temas en la teoría de presentaciones grupales , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-23108-4, MR  0695161
• Rotman, Joseph J. (1995), Introducción a la teoría de grupos (4a ed.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94285-8
• PR Girard (1984) "El grupo de cuaterniones y la física moderna", European Journal of Physics 5: 25–32.
• Hall, Marshall (1999), La teoría de los grupos (2a ed.), AMS Bookstore, ISBN 0-8218-1967-4
• Kurosh, Alexander G. (1979), Teoría de grupos , Librería AMS, ISBN 0-8284-0107-1

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Grupo Quaternion" . MathWorld .
• Grupos de cuaterniones en GroupNames
• Grupo de cuaterniones en GroupProps
• Conrad, Keith. "Cuaterniones generalizados"