En la teoría de grupos , un grupo dicíclico (notación Dic n o Q 4 n , [1] ⟨ n , 2,2⟩) es un tipo particular de grupo no abeliano de orden 4 n ( n > 1). Es una extensión del grupo cíclico de orden 2 por un grupo cíclico de orden 2 n , lo que le da el nombre de dicíclico . En la notación de secuencias exactas de grupos, esta extensión se puede expresar como:
De manera más general, dado cualquier grupo abeliano finito con un elemento de orden 2, se puede definir un grupo dicíclico.
Definición
Para cada entero n > 1, el grupo dicíclico Dic n se puede definir como el subgrupo de los cuaterniones unitarios generados por
De manera más abstracta, se puede definir el grupo dicíclico Dic n como el grupo con la siguiente presentación [2]
Algunas cosas a tener en cuenta que se derivan de esta definición:
- Si , luego
Por lo tanto, cada elemento de Dic n se puede escribir de forma única como a k x j , donde 0 ≤ k <2 n y j = 0 o 1. Las reglas de multiplicación están dadas por
De ello se deduce que Dic n tiene el orden 4 n . [2]
Cuando n = 2, el grupo dicíclico es isomorfo al grupo cuaternión Q . Más generalmente, cuando n es una potencia de 2, el grupo dicíclico es isomorfo al grupo cuaternión generalizado . [2]
Propiedades
Para cada n > 1, el grupo dicíclico Dic n es un grupo no abeliano de orden 4 n . (Para el caso degenerado n = 1, el grupo Dic 1 es el grupo cíclico C 4 , que no se considera dicíclico).
Deje que A = ⟨ un ⟩ el subgrupo de Dic n generada por una . Entonces A es un grupo cíclico de orden 2 n , entonces [Dic n : A ] = 2. Como subgrupo del índice 2 es automáticamente un subgrupo normal . El grupo cociente Dic n / A es un grupo cíclico de orden 2.
Dic n se puede resolver ; tenga en cuenta que A es normal, y ser abeliano, es en sí mismo solucionable.
Grupo diedro binario
El grupo dicíclico es un grupo poliédrico binario - es una de las clases de subgrupos del grupo Pin Pin - (2), que es un subgrupo del grupo Spin Spin (3) - y en este contexto se conoce como el diedro binario grupo .
La conexión con el grupo cíclico binario C 2 n , el grupo cíclico C n y el grupo diedro Dih n de orden 2 n se ilustra en el diagrama de la derecha, y es paralelo al diagrama correspondiente para el grupo Pin. Coxeter escribe el grupo diedro binario como ⟨2,2, n ⟩ y grupo cíclico binario con escuadras, ⟨ n ⟩.
Existe una semejanza superficial entre los grupos dicíclicos y los diédricos ; ambos son una especie de "espejo" de un grupo cíclico subyacente. Pero la presentación de un grupo diedro tendría x 2 = 1, en lugar de x 2 = a n ; y esto produce una estructura diferente. En particular, Dic n no es un producto semidirecto de A y ⟨ x ⟩, ya que A ∩ ⟨ x ⟩ no es trivial.
El grupo dicíclico tiene una involución única (es decir, un elemento de orden 2), a saber, x 2 = a n . Tenga en cuenta que este elemento se encuentra en el centro de Dic n . De hecho, el centro consta únicamente del elemento de identidad y x 2 . Si sumamos la relación x 2 = 1 a la presentación de Dic n, se obtiene una presentación del grupo diedro Dih n , por lo que el grupo del cociente Dic n / < x 2 > es isomorfo a Dih n .
Hay un homomorfismo natural de 2 a 1 del grupo de cuaterniones unitarios al grupo de rotación tridimensional descrito en los cuaterniones y rotaciones espaciales . Dado que el grupo dicíclico se puede incrustar dentro de los cuaterniones unitarios, uno puede preguntarse cuál es la imagen del mismo bajo este homomorfismo. La respuesta es solo el grupo de simetría diedro Dih n . Por esta razón, el grupo dicíclico también se conoce como grupo diedro binario . Tenga en cuenta que el grupo dicíclico no contiene ningún subgrupo isomorfo a Dih n .
La construcción de preimagen análoga, utilizando Pin + (2) en lugar de Pin - (2), produce otro grupo diedro, Dih 2 n , en lugar de un grupo dicíclico.
Generalizaciones
Sea A un grupo abeliano , que tiene un elemento específico y en A con orden 2. Un grupo G se llama grupo dicíclico generalizado , escrito como Dic ( A , y ) , si es generado por A y un elemento adicional x , y además tenemos que [ G : A ] = 2, x 2 = y , y para todo a en A , x −1 ax = a −1 .
Dado que para un grupo cíclico de orden par, siempre hay un elemento único de orden 2, podemos ver que los grupos dicíclicos son solo un tipo específico de grupo dicíclico generalizado.
Ver también
- grupo poliédrico binario
- grupo cíclico binario , ⟨ n ⟩, orden 2 n
- grupo tetraédrico binario , 2T = ⟨2,3,3⟩, orden 24
- grupo octaédrico binario , 2O = ⟨2,3,4⟩, orden 48
- grupo icosaédrico binario , 2I = ⟨2,3,5⟩, orden 120
Referencias
- Coxeter, HSM (1974), "7.1 Los grupos cíclicos y dicíclicos", Politopos complejos regulares , Cambridge University Press, págs. 74-75.
- Coxeter, HSM; Moser, WOJ (1980). Generadores y Relaciones para Grupos Discretos . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.
enlaces externos
- Grupos dicíclicos en GroupNames