Listas de mosaicos uniformes en la esfera, el plano y el plano hiperbólico
En geometría , se pueden realizar muchos mosaicos uniformes en esfera, plano euclidiano y plano hiperbólico mediante la construcción de Wythoff.dentro de un triángulo fundamental, (pqr), definido por ángulos internos como π/p, π/q y π/r. Los casos especiales son los triángulos rectángulos (pq 2). Las soluciones uniformes se construyen mediante un único punto generador con 7 posiciones dentro del triángulo fundamental, las 3 esquinas, a lo largo de las 3 aristas y el interior del triángulo. Todos los vértices existen en el generador, o una copia reflejada del mismo. Existen bordes entre un punto generador y su imagen a través de un espejo. Existen hasta 3 tipos de rostros centrados en las esquinas del triángulo fundamental. Los dominios de triángulos rectángulos pueden tener tan solo 1 tipo de cara, lo que crea formas regulares, mientras que los triángulos generales tienen al menos 2 tipos de triángulos, lo que conduce, en el mejor de los casos, a un mosaico casi regular.
Hay diferentes notaciones para expresar estas soluciones uniformes, el símbolo de Wythoff , el diagrama de Coxeter y la notación t de Coxeter.
Los mosaicos simples son generados por triángulos de Möbius con números enteros p, q, r, mientras que los triángulos de Schwarz permiten números racionales p, q, r y permiten caras de polígonos en estrella , y tienen elementos superpuestos.
Los siete puntos generadores con cada conjunto de (y algunas formas especiales):
Hay 4 clases de simetría de reflexión en la esfera , y tres en el plano euclidiano . También se enumeran algunos de los infinitos patrones de este tipo en el plano hiperbólico . (Al aumentar cualquiera de los números que definen un mosaico hiperbólico o euclidiano, se crea otro mosaico hiperbólico).
Los grupos de simetría anteriores solo incluyen las soluciones enteras en la esfera. La lista de triángulos de Schwarz incluye números racionales y determina el conjunto completo de soluciones de poliedros uniformes no convexos .