En el campo matemático de la cohomología de Galois , la fórmula característica de Euler local es un resultado debido a John Tate que calcula la característica de Euler de la cohomología de grupo del grupo absoluto de Galois G K de un campo local no arquimediano K .
Sea K un campo local no arquimediano, sea K s una clausura separable de K , sea G K = Gal( K s / K ) el grupo absoluto de Galois de K , y sea H i ( K , M ) el cohomología de grupo de G K con coeficientes en M . Dado que la dimensión cohomológica de G K es dos, [1] H i ( K , M) = 0 para i ≥ 3. Por lo tanto, la característica de Euler solo involucra a los grupos con i = 0, 1, 2.
Sea R el anillo de enteros de K. El resultado de Tate establece que si m es relativamente primo a la característica de K , entonces [3]
Dos casos especiales que vale la pena destacar son los siguientes. Si el orden de M es relativamente primo con respecto a la característica del campo de residuos de K , entonces la característica de Euler es uno. Si K es una extensión finita de los números p -ádicos Q p , y si v p denota la valoración p -ádica , entonces