En la cohomología de Galois , la dualidad local de Tate (o simplemente dualidad local ) es una dualidad de módulos de Galois para el grupo absoluto de Galois de un campo local no arquimediano . Lleva el nombre de John Tate , quien lo probó por primera vez. Muestra que el dual de tal módulo Galois es el giro Tate del dual lineal habitual. Este nuevo dual se llama el dual Tate ( local ) .
La dualidad local combinada con la fórmula característica de Euler local de Tate proporciona un conjunto versátil de herramientas para calcular la cohomología de Galois de los campos locales.
Sea K un campo local no arquimediano, sea K s una clausura separable de K y sea G K = Gal( K s / K ) el grupo absoluto de Galois de K .
Denote por μ el módulo de Galois de todas las raíces de la unidad en K s . Dado un G K -módulo A finito de orden primo a la característica de K , el dual de Tate de A se define como
(es decir, es el giro Tate del usual A ∗ dual ). Sea H i ( K , A ) la cohomología de grupo de G K con coeficientes en A . El teorema establece que el emparejamiento
dada por el producto taza establece una dualidad entre H i ( K , A ) y H 2− i ( K , A ′ ) para i = 0, 1, 2. [1] Dado que G K tiene una dimensión cohomológica igual a dos, los grupos de cohomología superiores desaparecen. [2]