En matemáticas, un grupo localmente lucrativo es un grupo topológico de Hausdorff en el que cada vecindario del elemento de identidad contiene un subgrupo abierto compacto. De manera equivalente, un grupo lucrativo localmente es un grupo topológico que es Hausdorff , localmente compacto y totalmente desconectado . Además, un grupo lucrativo local es compacto si y solo si es lucrativo ; esto explica la terminología. Los ejemplos básicos de grupos locales profinitos son los grupos discretos y el grupo p -ádico de Lie . Los no ejemplos son grupos de Lie reales que no tienen una propiedad de subgrupo pequeño .
En un grupo localmente lucrativo, un subgrupo cerrado es localmente lucrativo, y cada subgrupo compacto está contenido en un subgrupo compacto abierto.
Ejemplos de
Ejemplos importantes de grupos profinitos locales provienen de la teoría algebraica de números . Sea F un campo local no arquimediano . Entonces tanto F comoson localmente lucrativos. De manera más general, el anillo de matrizy el grupo lineal general son localmente lucrativos. Otro ejemplo de un grupo local profinita es el grupo absoluto de Weil de un campo local no arquimediano: esto contrasta con el hecho de que el grupo absoluto de Galois es profinita (en particular compacto).
Representaciones de un grupo lucrativo local
Sea G un grupo lucrativo local. Entonces un homomorfismo grupal es continuo si y solo si tiene el kernel abierto.
Dejar ser una representación compleja de G . [1] se dice que es suave si V es una unión dedonde K carreras en todos los subgrupos compactos abiertas K .se dice que es admisible si es suave yes de dimensión finita para cualquier subgrupo compacto abierto K .
Ahora hacemos una suposición general de que es como máximo contable para todas abiertas subgrupos compactos K .
El espacio dual lleva la acción de G dado por. En general,no es suave. Por lo tanto, establecemos dónde está actuando a través de y establecer . La representación fluidaentonces se llama el contragrediente o dual suave de.
El funtor contravariante
de la categoría de representaciones suaves de G a sí misma es exacta. Además, los siguientes son equivalentes.
- es admisible.
- es admisible. [2]
- El mapa canónico del módulo G es un isomorfismo.
Cuándo es admisible, es irreductible si y solo si es irreductible.
La suposición de contabilidad al principio es realmente necesaria, ya que existe un grupo localmente lucrativo que admite una representación suave irreductible. tal que no es irreductible.
Álgebra de Hecke de un grupo lucrativo local
Dejar Ser un grupo unimodular localmente lucrativo tal que es como máximo contable para todos los subgrupos compactos abiertos K , y una medida de Haar izquierda en . Dejar denotar el espacio de funciones localmente constantes en con soporte compacto. Con la estructura multiplicativa dada por
se convierte no necesariamente en asociativo unital -álgebra. Se llama álgebra de Hecke de G y se denota por. El álgebra juega un papel importante en el estudio de representaciones fluidas de grupos lucrativos locales. De hecho, uno tiene lo siguiente: dada una representación fluidade G , definimos una nueva acción en V :
Por tanto, tenemos el functor de la categoría de representaciones suaves de a la categoría de no degenerados -módulos. Aquí, "no degenerado" significa. Entonces el hecho es que el funtor es una equivalencia. [3]
Notas
Referencias
- Corinne Blondel, Teoría básica de representación de grupos p-ádicos reductivos [1]
- Bushnell, Colin J .; Henniart, Guy (2006), La conjetura local de Langlands para GL (2) , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], 335 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 3-540-31511- X , ISBN 978-3-540-31486-8, MR 2234120
- Milne, JS (1988), modelos canónicos de variedades Shimura (mixtas) y paquetes de vectores automórficos , MR 1044823