En matemáticas , un grupo totalmente desconectado es un grupo topológico que está totalmente desconectado . Tales grupos topológicos son necesariamente Hausdorff .
El interés se centra en grupos localmente compactos totalmente desconectados (denominados de diversas formas como grupos de tipo td , [1] grupos lucrativos localmente , [2] grupos td [3] ). El caso compacto ha sido muy estudiado - estos son los grupos lucrativos - pero durante mucho tiempo no se sabía mucho sobre el caso general. Un teorema de van Dantzig [4] de la década de 1930, que afirmaba que cada grupo de este tipo contiene un subgrupo abierto compacto , era todo lo que se conocía. Luego se realizó un trabajo pionero sobre este tema en 1994, cuando George Willismostró que cada grupo localmente compacto totalmente desconectado contiene un subgrupo llamado ordenado y una función especial en sus automorfismos, la función de escala , avanzando así el conocimiento de la estructura local. Caprace y Monod han obtenido avances en la estructura global de grupos totalmente desconectados en 2011 , destacando una clasificación de grupos característicamente simples y de grupos noetherianos.
Caja localmente compacta
En un grupo localmente compacto y totalmente desconectado, cada vecindario de la identidad contiene un subgrupo abierto compacto. Por el contrario, si un grupo es tal que la identidad tiene una base de vecindad que consiste en subgrupos abiertos compactos, entonces es localmente compacto y totalmente desconectado. [2]
Subgrupos ordenados
Sea G un grupo localmente compacto, totalmente desconectado, U un subgrupo abierto compacto de G yun automorphism continua de G .
Definir:
Se dice que U está ordenado para si y solo si y y esta cerrado.
La función de escala
El índice de en se muestra que es finito e independiente de la U que es ordenada para. Definir la función de escalacomo este índice. La restricción a los automorfismos internos da una función en G con propiedades interesantes. Estos son en particular:
Definir la funciónen G por, dónde es el automorfismo interno de en G .
Propiedades
- es continuo.
- , siempre que x en G sea un elemento compacto.
- por cada entero no negativo .
- La función modular en G viene dada por.
Cálculos y aplicaciones
La función de escala fue utilizada para probar una conjetura de Hofmann y Mukherja y ha sido calculada explícitamente para grupos de Lie p-ádicos y grupos lineales sobre campos de sesgo local por Helge Glöckner.
Notas
- ^ Cartier 1979 , §1.1
- ↑ a b Bushnell y Henniart , 2006 , §1.1
- ^ Borel y Wallach 2000 , Capítulo X
- ↑ van Dantzig , 1936 , p. 411
Referencias
- van Dantzig, David (1936), "Zur topologischen Algebra. III. Brouwersche und Cantorsche Gruppen" , Compositio Mathematica , 3 : 408–426
- Borel, Armand ; Wallach, Nolan (2000), Cohomología continua, subgrupos discretos y representaciones de grupos reductivos , Encuestas y monografías matemáticas, 67 (Segunda ed.), Providence, Rhode Island: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0851-1, MR 1721403
- Bushnell, Colin J .; Henniart, Guy (2006), La conjetura local de Langlands para GL (2) , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], 335 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 3-540-31511- X , ISBN 978-3-540-31486-8, MR 2234120
- Caprace, Pierre-Emmanuel; Monod, Nicolas (2011), "Descomposición de grupos compactos localmente en piezas simples", Matemáticas. Proc. Cambridge Philos. Soc. , 150 : 97–128, arXiv : 0811.4101 , Bibcode : 2011MPCPS.150 ... 97C , doi : 10.1017 / S0305004110000368 , MR 2739075
- Cartier, Pierre (1979), "Representaciones de-adic groups: a survey ", en Borel, Armand ; Casselman, William (eds.), Automorphic Forms, Representations, and L-Functions (PDF) , Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, 33, Part 1, Providence, Rhode Island : American Mathematical Society , págs. 111-155, ISBN 978-0-8218-1435-2, MR 0546593
- GA Willis - La estructura de grupos localmente compactos totalmente desconectados , Mathematische Annalen 300, 341-363 (1994)