En matemáticas, las representaciones admisibles son una clase de representaciones de buen comportamiento que se utilizan en la teoría de la representación de grupos reductivos de Lie y grupos localmente compactos totalmente desconectados . Fueron presentados por Harish-Chandra .
Grupos reductivos de mentiras reales o complejos
Sea G un grupo de Lie reductivo (real o complejo) conectado. Sea K un subgrupo compacto máximo. Una representación continua (π, V ) de G en un espacio de Hilbert complejo V [1] se llama admisible si π restringido a K es unitario y cada representación unitaria irreducible de K ocurre en él con multiplicidad finita. El ejemplo prototípico es el de una representación unitaria irreducible de G .
Una representación admisible π induce una -módulo que es más fácil de manejar ya que es un objeto algebraico. Se dice que dos representaciones admisibles son infinitesimalmente equivalentes si sus-los módulos son isomorfos. Aunque para las representaciones generales admisibles, esta noción es diferente de la equivalencia habitual, es un resultado importante que las dos nociones de equivalencia coincidan para las representaciones unitarias (admisibles). Además, existe una noción de unitaridad de-módulos. Esto reduce el estudio de las clases de equivalencia de representaciones unitarias irreductibles de G al estudio de clases de equivalencia infinitesimales de representaciones admisibles y la determinación de cuáles de estas clases son infinitesimalmente unitarias. El problema de parametrizar las clases de equivalencia infinitesimal de representaciones admisibles fue resuelto por completo por Robert Langlands y se denomina clasificación de Langlands .
Grupos totalmente desconectados
Sea G un grupo localmente compacto totalmente desconectado (como un grupo algebraico reductivo sobre un campo local no arquimediano o sobre los adeles finitos de un campo global ). Una representación (π, V ) de G en un espacio vectorial complejo V se llama suave si el subgrupo de G que fija cualquier vector de V está abierto . Si, además, el espacio de vectores fijado por cualquier subgrupo abierto compacto es de dimensión finita, entonces π se considera admisible . Representaciones admisibles de pgrupos -adic admiten más Descripción algebraica a través de la acción de la álgebra de Hecke de funciones localmente constantes en G .
Casselman y Bernstein y Zelevinsky llevaron a cabo estudios profundos de las representaciones admisibles de los grupos reductores p -ádicos en la década de 1970. Se realizaron avances más recientemente [ ¿cuándo? ] por Howe , Moy, Gopal Prasad y Bushnell y Kutzko, quienes desarrollaron una teoría de tipos y clasificaron el dual admisible (es decir, el conjunto de clases de equivalencia de representaciones admisibles irreductibles) en muchos casos. [ cita requerida ]
Notas
- ^ Es decir, un homomorfismo π: G → GL ( V ) (donde GL ( V ) es el grupo de operadores lineales acotados en V cuyo inverso también es acotado y lineal) de modo que el mapa asociado G × V → V es continuo.
Referencias
- Bushnell, Colin J .; Henniart, Guy (2006), La conjetura local de Langlands para GL (2) , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], 335 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 3-540-31511- X , ISBN 978-3-540-31486-8, MR 2234120
- Bushnell, Colin J .; Philip C. Kutzko (1993). El dual admisible de GL (N) a través de subgrupos abiertos compactos . Annals of Mathematics Studies 129. Princeton University Press. ISBN 0-691-02114-7.
- Capítulo VIII de Knapp, Anthony W. (2001). Teoría de representación de grupos semisimple: una descripción general basada en ejemplos . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-09089-0.
