En matemáticas, el orden de Loewner es el orden parcial definido por el cono convexo de matrices semidefinidas positivas . Este orden se emplea generalmente para generalizar las definiciones de funciones escalares monótonas y cóncavas / convexas a funciones monótonas y cóncavas / convexas valoradas en Hermitian . Estas funciones surgen naturalmente en la teoría de matrices y operadores y tienen aplicaciones en muchas áreas de la física y la ingeniería.
Definición
Sean A y B dos matrices hermitianas de orden n . Decimos que A ≥ B si A - B es positivo semi-definido . De manera similar, decimos que A> B si A - B es definido positivo .
Propiedades
Cuando A y B son escalares reales (es decir, n = 1), el orden Perseus reduce al orden habitual de R . Aunque algunas propiedades familiares del orden habitual de R también son válidas cuando n ≥ 2, varias propiedades ya no son válidas. Por ejemplo, es posible que la comparabilidad de dos matrices ya no sea válida. De hecho, si y entonces ni A ≥ B ni B ≥ A son verdaderos.
Además, dado que A y B son matrices hermitianas, sus valores propios son todos números reales. Si λ 1 ( B ) es el valor propio máximo de B y λ n ( A ) el valor propio mínimo de A , un criterio suficiente para tener A ≥ B es que λ n ( A ) ≥ λ 1 ( B ). Si A o B es un múltiplo de la matriz identidad , este criterio también es necesario.
El orden de Loewner no tiene la propiedad de límite superior mínimo y, por lo tanto, no forma una red .
Ver también
Referencias
- Pukelsheim, Friedrich (2006). Diseño óptimo de experimentos . Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas. págs. 11-12. ISBN 9780898716047.
- Bhatia, Rajendra (1997). Análisis matricial . Nueva York, NY: Springer. ISBN 9781461206538.
- Zhan, Xingzhi (2002). Desigualdades matriciales . Berlín: Springer. págs. 1-15. ISBN 9783540437987.