En matemáticas , hay muchos tipos de desigualdades que involucran matrices y operadores lineales en espacios de Hilbert . Este artículo cubre algunas desigualdades de operadores importantes relacionadas con trazas de matrices. [1] [2] [3] [4]
Definiciones basicas
Deje H n denotar el espacio de hermitiana n × n matrices, H n + denotar el conjunto que consiste en positivo semi-definido n × n matrices hermitianos y H n ++ denotar el conjunto de definidas positivas matrices hermitianos. Para los operadores en un espacio de Hilbert de dimensión infinita, requerimos que sean de clase de rastreo y autoadjuntos , en cuyo caso se aplican definiciones similares, pero solo discutimos matrices, por simplicidad.
Para cualquier función f de valor real en un intervalo I ⊂ ℝ, se puede definir una función matricial f (A) para cualquier operador A ∈ H n con valores propios λ en I definiéndola en los valores propios y los proyectores correspondientes P como
- dada la descomposición espectral
Operador monótono
Una función f : I → ℝ definida en un intervalo I ⊂ ℝ se dice que es un operador monótono si ∀ n , y todo A, B ∈ H n con valores propios en I , se cumple lo siguiente,
donde la desigualdad A ≥ B significa que el operador A - B ≥ 0 es positivo semi-definido. Se puede comprobar que f (A) = A 2 , de hecho, ¡ no es un operador monótono!
Operador convexo
Una función se dice que es un operador convexo si para todosy todo A, B ∈ H n con valores propios en I , y, lo siguiente sostiene
Tenga en cuenta que el operador tiene valores propios en , desde y tienen valores propios de I .
Una función es el operador cóncavo si es el operador convexo, es decir, la desigualdad anterior para está alreves.
Convexidad articular
Una función , definido en intervalos se dice que es conjuntamente convexo si para todos y todo con valores propios en y todo con valores propios en y cualquier lo siguiente sostiene
Una función g es conjuntamente cóncava si - g es conjuntamente convexa, es decir, la desigualdad anterior para g se invierte.
Función de seguimiento
Dada una función f : ℝ → ℝ, la función de seguimiento asociada en H n está dada por
donde A tiene valores propios λ y Tr representa un rastro del operador.
Convexidad y monotonicidad de la función de traza.
Sea f : ℝ → ℝ continua, y sea n cualquier número entero. Entonces sí es monótono en aumento, también lo es en H n .
Asimismo, si es convexo , también lo essobre H n , y es estrictamente convexo si f es estrictamente convexo.
Ver prueba y discusión en, [1] por ejemplo.
Teorema de Löwner-Heinz
Para , la función es operador monótono y operador cóncavo.
Para , la función es operador monótono y operador cóncavo.
Para , la función es el operador convexo. Además,
- es el operador cóncavo y el operador monótono, mientras que
- es el operador convexo.
La prueba original de este teorema se debe a K. Löwner, quien dio una condición necesaria y suficiente para que f sea un operador monótono. [5] En [1] se analiza una demostración elemental del teorema y en [6] una versión más general del mismo. [6]
La desigualdad de Klein
Para todas las matrices A y B Hermitianas n × n y todas las funciones convexas diferenciables f : ℝ → ℝ con derivada f ' , o para todas las matrices A y B Hermitianas n × n definidas positivas , y todas las funciones convexas diferenciables f : (0, ∞) → ℝ, se cumple la siguiente desigualdad,
En cualquier caso, si f es estrictamente convexa, igualdad si y sólo si A = B . Una opción popular en las aplicaciones es f ( t ) = t log t , ver más abajo.
Prueba
Dejar para que, por ,
- ,
varía de a .
Definir
- .
Por convexidad y monotonicidad de las funciones de traza, es convexo, por lo que para todos ,
- ,
cual es,
- ,
y, de hecho, el lado derecho es monótono disminuyendo en .
Tomando el limite rendimientos
- ,
que con reordenamiento y sustitución es la desigualdad de Klein:
Tenga en cuenta que si es estrictamente convexo y , luego es estrictamente convexo. La afirmación final se deriva de esto y del hecho de que es monótono disminuyendo en .
Desigualdad de Golden-Thompson
En 1965, S. Golden [7] y CJ Thompson [8] descubrieron de forma independiente que
Para cualquier matrices ,
Esta desigualdad se puede generalizar para tres operadores: [9] para operadores no negativos,
Desigualdad de Peierls-Bogoliubov
Dejar ser tal que Tr e R = 1. Definiendo g = Tr Fe R , tenemos
La prueba de esta desigualdad se deriva de lo anterior combinado con la desigualdad de Klein . Tome f ( x ) = exp ( x ), A = R + F y B = R + gI . [10]
Principio variacional de Gibbs
Dejar ser un operador autoadjunto tal que es la clase de rastreo . Entonces para cualquier con
con igualdad si y solo si
Teorema de la concavidad de Lieb
El siguiente teorema fue probado por EH Lieb en. [9] Prueba y generaliza una conjetura de EP Wigner, MM Yanase y FJ Dyson. [11] Seis años más tarde, T. Ando [12] y B. Simon dieron otras pruebas , [3] y desde entonces se han dado varias más.
Para todos matrices , y todo y tal que y , con el mapa de valor real en dada por
- es conjuntamente cóncava en
- es convexo en .
Aquí representa el operador adjunto de
Teorema de lieb
Para una matriz hermitiana fija , la función
es cóncavo en .
El teorema y la demostración se deben a EH Lieb, [9] Thm 6, donde obtiene este teorema como corolario del Teorema de la concavidad de Lieb. La prueba más directa se debe a H. Epstein; [13] véanse los artículos de MB Ruskai, [14] [15] para una revisión de este argumento.
Teorema de convexidad de Ando
La demostración de T. Ando [12] del teorema de la concavidad de Lieb condujo al siguiente complemento significativo:
Para todos matrices , y todo y con , el mapa de valor real en dada por
es convexo.
Convexidad conjunta de entropía relativa
Para dos operadores definir el siguiente mapa
Para matrices de densidad y , el mapa es la entropía relativa cuántica de Umegaki .
Tenga en cuenta que la no negatividad de se sigue de la desigualdad de Klein con .
Declaración
El mapa es conjuntamente convexo.
Prueba
Para todos , es conjuntamente cóncava, según el teorema de la concavidad de Lieb , y por lo tanto
es convexo. Pero
y la convexidad se conserva en el límite.
La prueba se debe a G. Lindblad. [dieciséis]
Operador de Jensen y trazas de desigualdades
La versión del operador de la desigualdad de Jensen se debe a C. Davis. [17]
Una función real y continua en un intervalo satisface la Desigualdad del operador de Jensen si se cumple lo siguiente
para operadores con y para operadores autoadjuntos con espectro encendido.
Ver, [17] [18] para la demostración de los siguientes dos teoremas.
La traza de la desigualdad de Jensen
Deje f una función continua definida en un intervalo I y dejar que m y n ser números naturales. Si f es convexa, entonces tenemos la desigualdad
para todas ( X 1 , ..., X n ) matrices m × m autoadjuntas con espectros contenidos en I y todas ( A 1 , ..., A n ) de matrices m × m con
Por el contrario, si la desigualdad anterior se satisface por alguna n y m , donde n > 1, entonces f es convexa.
Desigualdad del operador de Jensen
Para una función continua definido en un intervalo Las siguientes condiciones son equivalentes:
- es el operador convexo.
- Por cada número natural tenemos la desigualdad
para todos operadores acotados y autoadjuntos en un espacio de Hilbert arbitrario con espectros contenidos en y todo en con
- para cada isometría en un espacio de Hilbert de dimensión infinita y
cada operador autoadjunto con espectro en .
- para cada proyección en un espacio de Hilbert de dimensión infinita , cada operador autoadjunto con espectro en y cada en .
Araki-Lieb-Thirring desigualdad
EH Lieb y WE Thirring demostraron la siguiente desigualdad en [19] en 1976: Para cualquier, y
En 1990 [20] H. Araki generalizó la desigualdad anterior a la siguiente: Para cualquier, y
- por
y
- por
La desigualdad de Lieb-Thirring también disfruta de la siguiente generalización: [21] para cualquier, y
El teorema de Effros y su extensión
E. Effros en [22] demostró el siguiente teorema.
Si es una función convexa del operador, y y están conmutando operadores lineales acotados, es decir, el conmutador , la perspectiva
es conjuntamente convexo, es decir, si y con (i = 1,2), ,
Ebadian y col. luego extendió la desigualdad al caso donde y no viaje. [23]
La desigualdad de trazas de Von Neumann, llamada así por su creador John von Neumann , establece que para cualquier n × n matrices complejas A , B con valores singulares y respectivamente, [24]
Un simple corolario de esto es el siguiente resultado: [25] Para matrices complejas semidefinitas positivas n × n hermitianas A , B donde ahora los valores propios se ordenan de forma decreciente ( y , respectivamente),
Ver también
- entropía de von Neumann
- La desigualdad de Lieb-Thirring
- Teorema de Schur-Horn
Referencias
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