En geometría algebraica , una estructura logarítmica proporciona un contexto abstracto para estudiar esquemas semiestables y, en particular, la noción de forma diferencial logarítmica y los conceptos relacionados con la teoría de Hodge . Esta idea tiene aplicaciones en la teoría de espacios de módulos , en la teoría de la deformación y en la teoría p-ádica de Hodge de Fontaine , entre otras.
Motivación
La idea es estudiar algunos variedad algebraica (o esquema ) T que es liso pero no necesariamente adecuada mediante la incorporación en X , que es adecuado, y luego mirar a ciertas poleas en X . El problema es que la subhaz deque consiste en funciones cuya restricción a U es invertible no es un haz de anillos (ya que agregar dos funciones que no desaparecen podría proporcionar una que se desvanece), y solo obtenemos un haz de submonoides de, multiplicativamente. Recordar esta estructura adicional en X corresponde a recordar de alguna manera la inclusión, que compara X con esta estructura extra con una variedad con límite (correspondiente a). [1]
Definición
Sea X un esquema. Una estructura pre-log en X consta de un haz de monoides (conmutativos)en X junto con un homomorfismo de monoides, dónde se considera un monoide bajo multiplicación de funciones.
Una estructura previa al registro es una estructura de registro si además induce un isomorfismo .
Un morfismo de estructuras (pre) logarítmicas consiste en un homomorfismo de haces de monoides que se conmutan con los homomorfismos asociados en .
Un esquema de troncos es simplemente un esquema provisto de una estructura de troncos.
Ejemplos de
- Para cualquier esquema X , se puede definir la estructura de registro trivial en X tomando y ser la identidad.
- El ejemplo motivador para la definición de estructura logarítmica proviene de esquemas semiestables. Sea X un esquema,la inclusión de un subesquema abierto de X , con complementoun divisor con cruces normales . Luego hay una estructura de registro asociada a esta situación, que es, con simplemente la inclusión del morfismo en . Esto se llama la canónica (o estándar ) estructura de registro en X asociada a D .
- Deje que R sea un anillo de valoración discreta , con el campo residuo k y el campo fracción K . Luego, la estructura de registro canónica en consiste en la inclusión de (y no !) adentro . Este es, de hecho, un ejemplo de la construcción anterior, pero tomando.
- Con R como arriba, también se puede definir la estructura de troncos huecos entomando el mismo haz de monoides que antes, pero enviando el ideal máximo de R a 0.
Aplicaciones
Una aplicación de las estructuras logarítmicas es la capacidad de definir formas logarítmicas en cualquier esquema logarítmico. A partir de esto, uno puede, por ejemplo, definir las nociones correspondientes de suavidad logarítmica y logarítmica de talento que son paralelas a las definiciones habituales de esquemas. Esto permite entonces el estudio de la teoría de la deformación .
Además, las estructuras logarítmicas sirven para definir la estructura mixta de Hodge en cualquier variedad uniforme X , tomando una compactificación con un límite de un divisor de cruces normales D y escribiendo el complejo Hodge-De Rham asociado a X con la estructura logarítmica estándar definida por D . [2]
Los objetos de registro también aparecen naturalmente como los objetos en el límite de los espacios de los módulos , es decir, de las degeneraciones.
La geometría logarítmica también permite la definición de cohomología logarítmica cristalina , un análogo de la cohomología cristalina que tiene buen comportamiento para variedades que no son necesariamente lisas, solo logarítmicas lisas. Esto tiene entonces aplicación a la teoría de las representaciones de Galois , y particularmente a las representaciones de Galois semiestables.
Ver también
- Forma logarítmica
- Geometría de registro
- Esquema semiestable
- Cohomología log-cristalina
Referencias
- ^ Arthur Ogus (2011). Conferencias sobre geometría algebraica logarítmica.
- ^ Chris AM Peters; Joseph HM Steenbrink (2007). Estructuras mixtas de Hodge. Saltador. ISBN 978-3-540-77015-2