En geometría algebraica , una estructura de Hodge mixta es una estructura algebraica que contiene información sobre la cohomología de variedades algebraicas generales . Es una generalización de una estructura de Hodge , que se utiliza para estudiar variedades proyectivas suaves .
En la teoría mixta de Hodge, donde la descomposición de un grupo de cohomología puede tener subespacios de diferentes pesos, es decir, como una suma directa de estructuras de Hodge
donde cada una de las estructuras de Hodge tiene peso . Uno de los primeros indicios de que tales estructuras deberían existir proviene de la larga secuencia exacta de un par de variedades proyectivas suaves.. Los grupos de cohomología (por ) debe tener pesos diferentes provenientes de ambos y .
Motivación
Originalmente, las estructuras de Hodge se introdujeron como una herramienta para realizar un seguimiento de las descomposiciones abstractas de Hodge en los grupos de cohomología de variedades algebraicas proyectivas suaves . Estas estructuras dieron a los geómetras nuevas herramientas para estudiar curvas algebraicas , como el teorema de Torelli , las variedades abelianas y la cohomología de las variedades proyectivas suaves. Uno de los principales resultados para calcular las estructuras de Hodge es una descomposición explícita de los grupos de cohomología de hipersuperficies lisas utilizando la relación entre el ideal jacobiano y la descomposición de Hodge de una hipersuperficie proyectiva lisa a través del teorema del residuo de Griffith . Portar este lenguaje para suavizar variedades no proyectivas y variedades singulares requiere el concepto de estructuras mixtas de Hodge.
Definición
Una estructura mixta de Hodge [1] (MHS) es un triple tal que
- es un -módulo de tipo finito
- es un aumento - filtración en,
- es una disminución -filtración en ,
donde la filtración inducida de en las piezas clasificadas
son estructuras de peso de Hodge puras .
Observación sobre filtraciones
Tenga en cuenta que, al igual que las estructuras de Hodge, las estructuras de Hodge mixtas utilizan una filtración en lugar de una descomposición de suma directa, ya que los grupos de cohomología con términos anti-holomórficos, dónde , no varíe holomórficamente. Pero, las filtraciones pueden variar holomórficamente, dando una estructura mejor definida.
Morfismos de estructuras mixtas de Hodge
Los morfismos de las estructuras mixtas de Hodge se definen mediante mapas de grupos abelianos.
tal que
y el mapa inducido de -los espacios vectoriales tiene la propiedad
Más definiciones y propiedades
Números de Hodge
Los números de Hodge de un MHS se definen como las dimensiones
desde es un peso Estructura de Hodge, y
es el -componente de un peso Estructura Hodge.
Propiedades homologicas
Hay una categoría abeliana [2] de estructuras mixtas de Hodge que se han desvanecido-grupos siempre que el grado cohomológico sea superior a : es decir, dadas las estructuras de mezcolanza mixtas los grupos
por [2] pág . 83 .
Estructuras mixtas de Hodge sobre complejos bi-filtrados
Muchas estructuras de Hodge mixtas se pueden construir a partir de un complejo bifiltrado. Esto incluye complementos de variedades lisas definidas por el complemento de una variedad de cruce normal y cohomología logarítmica . Dado un complejo de gavillas de grupos abelianos y filtraciones [1] del complejo, es decir
Hay una estructura de Hodge mixta inducida en los grupos de hiperhomología.
del complejo bi-filtrado . Este complejo bi-filtrado se denomina complejo de Hodge mixto [1] : 23
Complejo logarítmico
Dada una variedad suave dónde es un divisor de cruce normal (lo que significa que todas las intersecciones de componentes son intersecciones completas ), hay filtraciones en el complejo logarítmico de cohomología dada por
Resulta que estas filtraciones definen una estructura de Hodge mixta natural en el grupo de cohomología. del complejo mixto de Hodge definido en el complejo logarítmico .
Compactaciones suaves
La construcción anterior del complejo logarítmico se extiende a todas las variedades suaves; y la estructura de Hodge mixta es isomorfa bajo cualquier compactación de este tipo. Nótese una compactación suave de una variedad suave. se define como una variedad suave y una incrustación tal que es un divisor de cruce normal. Es decir, dadas las compactaciones con divisores de límites hay un isomorfismo de estructura mixta de Hodge
que muestra que la estructura mixta de Hodge es invariante bajo una compactación suave. [2]
Ejemplo
Por ejemplo, en un género curva plana cohomología logarítmica de con el divisor de cruce normal con se puede calcular fácilmente [3] ya que los términos del complejo igual a
son ambos acíclicos. Entonces, la Hipercohomología es simplemente
el primer espacio vectorial son solo las secciones constantes, por lo tanto, el diferencial es el mapa cero. El segundo es que el espacio vectorial es isomorfo al espacio vectorial generado por
Luego tiene un peso estructura mixta de Hodge y tiene un peso estructura mixta de Hodge.
Ejemplos de
Complemento de una variedad proyectiva suave por una subvariedad cerrada
Dada una suave variedad proyectiva de dimensión y una subvariedad cerrada hay una larga secuencia exacta en cohomología [4] pg7-8
viniendo del triángulo distinguido
de poleas construibles . Hay otra secuencia larga y exacta
del triángulo distinguido
cuando sea es suave. Tenga en cuenta los grupos de homologíase denominan homología de Borel-Moore , que son duales a la cohomología para espacios generales y significa tensar con la estructura Tate agregar peso a la filtración de peso. La hipótesis de la suavidad es necesaria porque la dualidad de Verdier implica, y cuando sea es suave. Además, el complejo de dualización para tiene peso , por eso . Además, los mapas de la homología de Borel-Moore deben torcerse hasta el peso es para que tenga un mapa para . Además, existe la combinación perfecta de dualidad
dando un isomofismo de los dos grupos.
Toro algebraico
Un toro algebraico unidimensional es isomorfo a la variedad , por lo que sus grupos de cohomología son isomorfos a
La larga secuencia exacta exacta luego lee
Desde y esto da la secuencia exacta
dado que hay una torsión de pesos para mapas bien definidos de estructuras mixtas de Hodge, existe el isomorfismo
Superficie cuartica K3 menos una curva de género 3
Dada una superficie cuártica K3 , y una curva de género 3 definido por el lugar de desaparición de una sección genérica de , por lo tanto, es isomorfo hasta cierto punto curva plana, que tiene el género 3. Luego, la secuencia de Gysin da la secuencia larga exacta
Pero, es un resultado que los mapas tomar una clase de tipo Hodge a una clase de tipo Hodge . [5] Las estructuras de Hodge tanto para la superficie K3 como para la curva son bien conocidas y se pueden calcular utilizando el ideal jacobiano . En el caso de la curva hay dos mapas de cero
por eso contiene el peso una pieza . Porque tiene dimensión , pero la clase de Leftschetz es asesinado por el mapa
enviando el clase en hacia clase en . Entonces el grupo de cohomología primitiva es el peso 2 piezas de . Por lo tanto,
Las filtraciones inducidas sobre estas piezas graduadas son las filtraciones de Hodge provenientes de cada grupo de cohomología.
Ver también
- Motivo (geometría algebraica)
- Ideal jacobiano
- Fibra Milnor
- Módulo Hodge mixto
Referencias
- ↑ a b c Filippini, Sara Angela; Ruddat, Helge; Thompson, Alan (2015). "Una introducción a las estructuras de Hodge". Variedades Calabi-Yau: Aritmética, Geometría y Física . Monografías del Fields Institute. 34 . págs. 83–130. arXiv : 1412.8499 . doi : 10.1007 / 978-1-4939-2830-9_4 . ISBN 978-1-4939-2829-3. S2CID 119696589 .
- ^ a b c Peters, C. (Chris) (2008). Estructuras mixtas de mezcolanza . Steenbrink, JHM Berlín: Springer. ISBN 978-3-540-77017-6. OCLC 233973725 .
- ^ Tenga en cuenta que estamos usando el teorema de Bézout, ya que este se puede dar como el complemento de la intersección con un hiperplano.
- ^ Corti, Alessandro. "Introducción a la teoría mixta de Hodge: una conferencia para el LSGNT" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 12 de agosto de 2020.
- ^ Griffiths; Schmid (1975). Desarrollos recientes en la teoría de Hodge: una discusión de técnicas y resultados . Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 31-127.
- Filippini, Sara Angela; Ruddat, Helge; Thompson, Alan (2015). "Una introducción a las estructuras de Hodge". Variedades Calabi-Yau: Aritmética, Geometría y Física . Monografías del Fields Institute. 34 . págs. 83–130. arXiv : 1412.8499 . doi : 10.1007 / 978-1-4939-2830-9_4 . ISBN 978-1-4939-2829-3. S2CID 119696589 .
Ejemplos de
- Una guía ingenua para la teoría mixta de Hodge
- Introducción a las estructuras limitadas mixtas de Hodge
- Estructura de Hodge mixta de Deligne para variedades proyectivas con solo singularidades cruzadas normales
En simetría de espejo
- Modelo B local y estructura mixta de Hodge