Distribución logarítmica

Logarítmico

Función de probabilidad La función solo se define en valores enteros. Las líneas de conexión son simplemente guías para el ojo.
Función de distribución acumulativa
Parámetros	${\displaystyle 0<p<1}$
Apoyo	${\displaystyle k\in \{1,2,3,\ldots \}}$
PMF	${\displaystyle {\frac {-1}{\ln(1-p)}}{\frac {p^{k}}{k}}}$
CDF	${\displaystyle 1+{\frac {\mathrm {B} (p;k+1,0)}{\ln(1-p)}}}$
Significar	${\displaystyle {\frac {-1}{\ln(1-p)}}{\frac {p}{1-p}}}$
Modo	${\displaystyle 1}$
Diferencia	${\displaystyle -{\frac {p^{2}+p\ln(1-p)}{(1-p)^{2}(\ln(1-p))^{2}}}}$
MGF	${\displaystyle {\frac {\ln(1-pe^{t})}{\ln(1-p)}}{\text{ for }}t<-\ln p}$
CF	${\displaystyle {\frac {\ln(1-pe^{it})}{\ln(1-p)}}}$
PGF	${\displaystyle {\frac {\ln(1-pz)}{\ln(1-p)}}{\text{ for }}|z|<{\frac {1}{p}}}$

En probabilidad y estadísticas , la distribución logarítmica (también conocida como la distribución serie logarítmica o la distribución de la serie de registro ) es una distribución de probabilidad discreta derivada de la serie de Maclaurin expansión

${\displaystyle -\ln(1-p)=p+{\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {p^{3}}{3}}+\cdots .}$

De esto obtenemos la identidad

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}=1.}$

Esto conduce directamente a la función de masa de probabilidad de una variable aleatoria distribuida en Log ( p ) :

${\displaystyle f(k)={\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}}$

para k  ≥ 1, y donde 0 <  p  <1. Debido a la identidad anterior, la distribución está correctamente normalizada.

La función de distribución acumulativa es

${\displaystyle F(k)=1+{\frac {\mathrm {B} (p;k+1,0)}{\ln(1-p)}}}$

donde B es la función beta incompleta .

Una combinación de Poisson con variables aleatorias distribuidas en Log ( p ) tiene una distribución binomial negativa . En otras palabras, si N es una variable aleatoria con una distribución de Poisson , y X _i , i = 1, 2, 3, ... es una secuencia infinita de variables aleatorias independientes distribuidas de manera idéntica, cada una con una distribución Log ( p ), entonces

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}X_{i}}$

tiene una distribución binomial negativa. De esta forma, la distribución binomial negativa se considera una distribución de Poisson compuesta .

RA Fisher describió la distribución logarítmica en un artículo que la utilizó para modelar la abundancia relativa de especies . ^[1]

Ver también

• Distribución de Poisson (también derivada de una serie de Maclaurin)

Referencias

1. Fisher, RA; Corbet, AS; Williams, CB (1943). "La relación entre el número de especies y el número de individuos en una muestra aleatoria de una población animal" (PDF) . Revista de Ecología Animal . 12 (1): 42–58. doi : 10.2307 / 1411 . JSTOR  1411 . Archivado desde el original (PDF) el 26 de julio de 2011.

Otras lecturas

• Johnson, Norman Lloyd; Kemp, Adrienne W; Kotz, Samuel (2005). "Capítulo 7: Distribuciones logarítmicas y lagrangianas". Distribuciones discretas univariadas (3 ed.). John Wiley e hijos. ISBN 978-0-471-27246-5.
• Weisstein, Eric W. "Distribución de series de registros" . MathWorld .