En la teoría de la probabilidad , una distribución de Poisson compuesta es la distribución de probabilidad de la suma de un número de variables aleatorias independientes distribuidas de forma idéntica , donde el número de términos que se agregarán es en sí mismo una variable distribuida de Poisson . En los casos más simples, el resultado puede ser una distribución continua o discreta .
Definición
Suponer que
es decir, N es una variable aleatoria cuya distribución es una distribución de Poisson con valor esperado λ, y que
son variables aleatorias idénticamente distribuidas que son mutuamente independientes y también independiente de N . Entonces la distribución de probabilidad de la suma de iid variables aleatorias
es una distribución de Poisson compuesta.
En el caso de N = 0, entonces esto es una suma de 0 términos, por lo que el valor de Y es 0. Por lo tanto, la distribución condicional de Y dado que N = 0 es una distribución degenerada.
La distribución de Poisson compuesta se obtiene al marginar la distribución conjunta de ( Y , N ) sobre N , y esta distribución conjunta se puede obtener combinando la distribución condicional Y | N con la distribución marginal de N .
Propiedades
El valor esperado y la varianza de la distribución compuesta se pueden derivar de una manera simple de la ley de la expectativa total y la ley de la varianza total . Por lo tanto
Entonces, dado que E ( N ) = Var ( N ) si N es Poisson, estas fórmulas se pueden reducir a
La distribución de probabilidad de Y se puede determinar en términos de funciones características :
y por lo tanto, usando la función generadora de probabilidad de la distribución de Poisson, tenemos
Un enfoque alternativo es a través de funciones de generación acumulativa :
Mediante la ley de la acumulación total se puede demostrar que, si la media de la distribución de Poisson λ = 1, los acumulados de Y son los mismos que los momentos de X 1 . [ cita requerida ]
Se puede demostrar que toda distribución de probabilidad infinitamente divisible es un límite de distribuciones de Poisson compuestas. [1] Y las distribuciones de Poisson compuestas son infinitamente divisibles por la definición.
Distribución de Poisson compuesta discreta
Cuándo son variables aleatorias iid de valores enteros no negativos con , esta distribución de Poisson compuesta se denomina distribución de Poisson compuesta discreta [2] [3] [4] (o distribución de Poisson de tartamudeo [5] ). Decimos que la variable aleatoria discretaSatisfacer la caracterización de la función generadora de probabilidad.
tiene una distribución de Poisson compuesta discreta (DCP) con parámetros , que se denota por
Además, si , decimos tiene una distribución de orden de Poisson compuesta discreta . Cuándo, DCP se convierte en distribución de Poisson y distribución de Hermite , respectivamente. Cuándo, DCP se convierte en distribución triple tartamudeo-Poisson y distribución cuádruple tartamudez-Poisson, respectivamente. [6] Otros casos especiales incluyen: cambio de distribución geométrica , distribución binomial negativa , distribución de Poisson geométricos , Neyman distribución de tipo A, distribución Luria-Delbrück en experimento Luria-Delbrück . Para un caso más especial de DCP, consulte el artículo de revisión [7] y las referencias en él.
La caracterización de Feller de la distribución de Poisson compuesta establece que un valor entero no negativo rv es infinitamente divisible si y solo si su distribución es una distribución de Poisson compuesta discreta. [8] Se puede demostrar que la distribución binomial negativa es discreta infinitamente divisible , es decir, si X tiene una distribución binomial negativa, entonces para cualquier entero positivo n , existen variables aleatorias discretas iid X 1 , ..., X n cuyas suma tiene la misma distribución que X tiene. La distribución geométrica de desplazamiento es una distribución de Poisson compuesta discreta, ya que es un caso trivial de distribución binomial negativa .
Esta distribución puede modelar llegadas por lotes (por ejemplo, en una cola masiva [5] [9] ). La distribución de Poisson compuesta discreta también se utiliza ampliamente en la ciencia actuarial para modelar la distribución del monto total de la reclamación. [3]
Cuando algunas son negativos, es la distribución de Poisson pseudocompuesta discreta. [3] Definimos que cualquier variable aleatoria discretaSatisfacer la caracterización de la función generadora de probabilidad.
tiene una distribución de Poisson pseudocompuesta discreta con parámetros .
Distribución compuesta de Poisson Gamma
Si X tiene una distribución gamma , de la cual la distribución exponencial es un caso especial, entonces la distribución condicional de Y | N es nuevamente una distribución gamma. Se puede demostrar que la distribución marginal de Y es una distribución Tweedie [10] con poder de varianza 1
(prueba mediante comparación de función característica (teoría de la probabilidad) ). Para ser más explícito, siy
iid, entonces la distribución de
es un modelo de dispersión exponencial reproductiva con
El mapeo de parámetros parámetro Tweedie a los parámetros de Poisson y Gamma es el siguiente:
Procesos compuestos de Poisson
Un proceso de Poisson compuesto con tasay la distribución del tamaño del salto G es un proceso estocástico de tiempo continuo dada por
donde la suma es por convención igual a cero siempre que N ( t ) = 0. Aquí,es un proceso de Poisson con tasa, y son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, con función de distribución G , que también son independientes de[11]
Para la versión discreta del proceso de Poisson compuesto, se puede utilizar en el análisis de supervivencia para los modelos de fragilidad. [12]
Aplicaciones
Revfeim utilizó una distribución de Poisson compuesta, en la que los sumandos tienen una distribución exponencial , para modelar la distribución de la lluvia total en un día, donde cada día contiene un número de eventos distribuidos por Poisson, cada uno de los cuales proporciona una cantidad de lluvia que tiene una distribución exponencial. [13] Thompson aplicó el mismo modelo a las precipitaciones totales mensuales. [14]
Ha habido aplicaciones a las reclamaciones de seguros [15] [16] y de rayos X de tomografía computarizada . [17] [18] [19]
Ver también
- Proceso de Poisson compuesto
- Distribución de Hermite
- Distribución binomial negativa
- Distribución geométrica
- Distribución geométrica de Poisson
- Distribución gamma
- distribución de veneno
- Modelo inflado cero
Referencias
- ^ Lukacs, E. (1970). Funciones características. Londres: Griffin.
- ^ Johnson, NL, Kemp, AW y Kotz, S. (2005) Distribuciones discretas univariadas, tercera edición, Wiley, ISBN 978-0-471-27246-5 .
- ^ a b c Huiming, Zhang; Yunxiao Liu; Bo Li (2014). "Notas sobre el modelo de Poisson compuesto discreto con aplicaciones a la teoría del riesgo". Seguros: Matemáticas y Economía . 59 : 325–336. doi : 10.1016 / j.insmatheco.2014.09.012 .
- ^ Huiming, Zhang; Bo Li (2016). "Caracterizaciones de distribuciones de Poisson compuestas discretas". Comunicaciones en estadística: teoría y métodos . 45 (22): 6789–6802. doi : 10.1080 / 03610926.2014.901375 . S2CID 125475756 .
- ^ a b Kemp, CD (1967). " Distribuciones " " Tartamudeo - Poisson". Revista de investigación estadística y social de Irlanda . 21 (5): 151-157. hdl : 2262/6987 .
- ^ Patel, YC (1976). Estimación de los parámetros de las distribuciones de Poisson de tartamudeo triple y cuádruple. Technometrics, 18 (1), 67-73.
- ^ Wimmer, G., Altmann, G. (1996). La distribución múltiple de Poisson, sus características y variedad de formas. Revista biométrica, 38 (8), 995-1011.
- ^ Feller, W. (1968). Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones . Vol. I (3ª ed.). Nueva York: Wiley.
|volume=
tiene texto extra ( ayuda ) - ^ Adelson, RM (1966). "Distribuciones de Poisson compuestas". Revista de la Sociedad de Investigación Operativa . 17 (1): 73–75. doi : 10.1057 / jors.1966.8 .
- ^ Jørgensen, Bent (1997). La teoría de los modelos de dispersión . Chapman y Hall. ISBN 978-0412997112.
- ^ SM Ross (2007). Introducción a los modelos de probabilidad (novena ed.). Boston: Prensa académica. ISBN 978-0-12-598062-3.
- ^ Un bronceado.; Özel, G. (2013). "Funciones de supervivencia para los modelos de fragilidad basados en el proceso de Poisson compuesto discreto". Revista de Computación y Simulación Estadística . 83 (11): 2105–2116. doi : 10.1080 / 00949655.2012.679943 . S2CID 119851120 .
- ^ Revfeim, KJA (1984). "Un modelo inicial de la relación entre eventos de lluvia y lluvias diarias". Revista de hidrología . 75 (1–4): 357–364. Código bibliográfico : 1984JHyd ... 75..357R . doi : 10.1016 / 0022-1694 (84) 90059-3 .
- ^ Thompson, CS (1984). "Análisis de homogeneidad de una serie de precipitaciones: una aplicación del uso de un modelo de lluvia realista". J. Climatología . 4 (6): 609–619. Código bibliográfico : 1984IJCli ... 4..609T . doi : 10.1002 / joc.3370040605 .
- ^ Jørgensen, Bent; Paes De Souza, Marta C. (enero de 1994). "Ajuste del modelo de Poisson compuesto de Tweedie a los datos de reclamaciones de seguros". Revista actuarial escandinava . 1994 (1): 69–93. doi : 10.1080 / 03461238.1994.10413930 .
- ^ Smyth, Gordon K .; Jørgensen, Bent (29 de agosto de 2014). "Ajuste del modelo de Poisson compuesto de Tweedie a los datos de reclamaciones de seguros: modelado de dispersión" . Boletín ASTIN . 32 (1): 143-157. doi : 10.2143 / AST.32.1.1020 .
- ^ Whiting, Bruce R. (3 de mayo de 2002). "Estadísticas de señales en tomografía computarizada de rayos x". Medical Imaging 2002: Física de las imágenes médicas . Sociedad Internacional de Óptica y Fotónica. 4682 : 53–60. Código Bibliográfico : 2002SPIE.4682 ... 53W . doi : 10.1117 / 12.465601 . S2CID 116487704 .
- ^ Elbakri, Idris A .; Fessler, Jeffrey A. (16 de mayo de 2003). Sonka, Milán; Fitzpatrick, J. Michael (eds.). "Probabilidad eficiente y precisa para la reconstrucción de imágenes iterativas en tomografía computarizada de rayos X". Medical Imaging 2003: Procesamiento de imágenes . SPIE. 5032 : 1839–1850. Código Bibliográfico : 2003SPIE.5032.1839E . doi : 10.1117 / 12.480302 . S2CID 12215253 .
- ^ Whiting, Bruce R .; Massoumzadeh, Parinaz; Earl, Orville A .; O'Sullivan, Joseph A .; Snyder, Donald L .; Williamson, Jeffrey F. (24 de agosto de 2006). "Propiedades de datos de sinograma preprocesados en tomografía computarizada de rayos x". Física Médica . 33 (9): 3290–3303. Código Bibliográfico : 2006MedPh..33.3290W . doi : 10.1118 / 1.2230762 . PMID 17022224 .