Fuerza de Lorentz

Fuerza que actúa sobre partículas cargadas en campos eléctricos y magnéticos.

Fuerza de Lorentz que actúa sobre partículas cargadas que se mueven rápidamente en una cámara de burbujas . Las trayectorias de carga positiva y negativa se curvan en direcciones opuestas.

En física (específicamente en electromagnetismo ) la fuerza de Lorentz (o fuerza electromagnética ) es la combinación de fuerza eléctrica y magnética en una carga puntual debido a campos electromagnéticos . Una partícula de carga q que se mueve con una velocidad v en un campo eléctrico E y un campo magnético B experimenta una fuerza de

${\displaystyle \mathbf {F} =q\,\mathbf {E} +q\,\mathbf {v} \times \mathbf {B} }$

(en unidades SI ^{[1] [2]} ). Dice que la fuerza electromagnética sobre una carga q es una combinación de una fuerza en la dirección del campo eléctrico E proporcional a la magnitud del campo y la cantidad de carga, y una fuerza en ángulo recto al campo magnético B y al velocidad v de la carga, proporcional a la magnitud del campo, la carga y la velocidad. Las variaciones de esta fórmula básica describen la fuerza magnética en un cable portador de corriente (a veces llamado fuerza de Laplace ), la fuerza electromotriz en un bucle de cable que se mueve a través de un campo magnético (un aspecto de la ley de inducción de Faraday), y la fuerza sobre una partícula cargada en movimiento.

Los historiadores sugieren que la ley está implícita en un artículo de James Clerk Maxwell , publicado en 1865. ^[3] Hendrik Lorentz llegó a una derivación completa en 1895, ^[4] identificando la contribución de la fuerza eléctrica unos años después de que Oliver Heaviside identificara correctamente la contribución de la fuerza magnética. ^[5]

Ley de fuerza de Lorentz como definición de E y B

Haz de electrones moviéndose en círculo, debido a la presencia de un campo magnético. La luz púrpura que revela la trayectoria del electrón en este tubo Teltron es creada por los electrones que chocan con las moléculas de gas.

Partículas cargadas que experimentan la fuerza de Lorentz.

En muchos tratamientos de libros de texto del electromagnetismo clásico, la ley fuerza de Lorentz se utiliza como la definición de los campos eléctricos y magnéticos E y B . ^{[6] [7] [8]} Para ser específicos, se entiende que la fuerza de Lorentz es el siguiente enunciado empírico:

La fuerza electromagnética F sobre una carga de prueba en un punto y tiempo dados es una función determinada de su carga qy la velocidad v , que se puede parametrizar exactamente mediante dos vectores E y B , en la forma funcional :

${\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}$

Esto es válido, incluso para partículas que se acercan a la velocidad de la luz (es decir, magnitud de v , | v | ≈ c ). ^[9] Por tanto, los dos campos vectoriales E y B quedan definidos en el espacio y el tiempo, y se denominan "campo eléctrico" y "campo magnético". Los campos se definen en todas partes en el espacio y el tiempo con respecto a la fuerza que recibiría una carga de prueba independientemente de si hay una carga presente para experimentar la fuerza.

Como definición de E y B , la fuerza de Lorentz es solo una definición en principio porque una partícula real (a diferencia de la "carga de prueba" hipotética de masa y carga infinitesimalmente pequeñas) generaría sus propios campos E y B finitos , que alteraría la fuerza electromagnética que experimenta. ^{[ cita requerida ]} Además, si la carga experimenta aceleración, como si fuera forzada a una trayectoria curva, emite radiación que hace que pierda energía cinética. Véase, por ejemplo, Bremsstrahlung y luz de sincrotrón . Estos efectos ocurren a través de un efecto directo (llamado fuerza de reacción de radiación)) e indirectamente (al afectar el movimiento de cargas y corrientes cercanas).

Ecuación

Partícula cargada

Fuerza de Lorentz F sobre una partícula cargada (de carga q ) en movimiento (velocidad instantánea v ). La E de campo y B campo varían en el espacio y el tiempo.

La fuerza F que actúa sobre una partícula de carga eléctrica q con velocidad instantánea v , debido a un campo eléctrico externo E y al campo magnético B , está dada por (en unidades SI ^[1] ): ^[10]

${\displaystyle \mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)}$

donde × es el producto cruzado vectorial (todas las cantidades en negrita son vectores). En términos de componentes cartesianos, tenemos:

${\displaystyle F_{x}=q\left(E_{x}+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}\right),}$

${\displaystyle F_{y}=q\left(E_{y}+v_{z}B_{x}-v_{x}B_{z}\right),}$

${\displaystyle F_{z}=q\left(E_{z}+v_{x}B_{y}-v_{y}B_{x}\right).}$

En general, los campos eléctricos y magnéticos son funciones de la posición y el tiempo. Por lo tanto, explícitamente, la fuerza de Lorentz se puede escribir como:

${\displaystyle \mathbf {F} \left(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t,q\right)=q\left[\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+{\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)\right]}$

en el que r es el vector de posición de la partícula cargada, t es el tiempo y el sobrepunto es una derivada del tiempo.

Una partícula cargada positivamente se acelerará en la misma orientación lineal que el campo E , pero se curvará perpendicularmente tanto al vector de velocidad instantánea v como al campo B de acuerdo con la regla de la mano derecha (en detalle, si los dedos de la mano derecha se extienden para apuntar en la dirección de v y luego se curvan para apuntar en la dirección de B , luego el pulgar extendido apuntará en la dirección de F ).

El término q E se llama fuerza eléctrica , mientras que el término q ( v × B ) se llama fuerza magnética . ^[11] Según algunas definiciones, el término "fuerza de Lorentz" se refiere específicamente a la fórmula de la fuerza magnética, ^[12] con la fuerza electromagnética total (incluida la fuerza eléctrica) con algún otro nombre (no estándar). Este artículo no seguirá esta nomenclatura: en lo que sigue, el término "fuerza de Lorentz" se referirá a la expresión de la fuerza total.

El componente de fuerza magnética de la fuerza de Lorentz se manifiesta como la fuerza que actúa sobre un cable portador de corriente en un campo magnético. En ese contexto, también se le llama fuerza de Laplace .

La fuerza de Lorentz es una fuerza ejercida por el campo electromagnético sobre la partícula cargada, es decir, es la velocidad a la que se transfiere el momento lineal del campo electromagnético a la partícula. Asociado con él está la potencia, que es la velocidad a la que se transfiere energía desde el campo electromagnético a la partícula. Ese poder es

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {F} =q\,\mathbf {v} \cdot \mathbf {E} .}$

Observe que el campo magnético no contribuye a la potencia porque la fuerza magnética siempre es perpendicular a la velocidad de la partícula.

Distribución de carga continua

Fuerza de Lorentz (por unidad de volumen 3) f sobre una distribución de carga continua ( densidad de carga ρ) en movimiento. La densidad de corriente J de 3 corresponde al movimiento del elemento de carga dq en el elemento de volumen dV y varía a lo largo del continuo.

Para una distribución de carga continua en movimiento, la ecuación de fuerza de Lorentz se convierte en:

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =\mathrm {d} q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\,\!}$

donde es la fuerza sobre una pequeña parte de la distribución de carga con carga . Si ambos lados de esta ecuación se dividen por el volumen de esta pequeña parte de la distribución de carga , el resultado es:${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} }$${\displaystyle \mathrm {d} q}$${\displaystyle \mathrm {d} V}$

${\displaystyle \mathbf {f} =\rho \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\,\!}$

donde es la densidad de fuerza (fuerza por unidad de volumen) y es la densidad de carga (carga por unidad de volumen). A continuación, la densidad de corriente correspondiente al movimiento del continuo de carga es${\displaystyle \mathbf {f} }$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \mathbf {J} =\rho \mathbf {v} \,\!}$

por lo que el análogo continuo a la ecuación es ^[13]

${\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} \,\!}$

La fuerza total es la integral de volumen sobre la distribución de carga:

${\displaystyle \mathbf {F} =\iiint \!(\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} )\,\mathrm {d} V.\,\!}$

Al eliminar y , usando las ecuaciones de Maxwell , y manipulando usando los teoremas del cálculo vectorial , esta forma de la ecuación se puede usar para derivar el tensor de tensión de Maxwell , a su vez esto se puede combinar con el vector de Poynting para obtener el tensor de energía-tensión electromagnética T usado en relatividad general . ^[13]${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$

En términos de y , otra forma de escribir la fuerza de Lorentz (por unidad de volumen) es ^[13]${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$${\displaystyle \mathbf {S} }$

${\displaystyle \mathbf {f} =\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}-{\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}\,\!}$

donde es la velocidad de la luz y ∇ · denota la divergencia de un campo tensorial . En lugar de la cantidad de carga y su velocidad en los campos eléctricos y magnéticos, esta ecuación relaciona el flujo de energía (flujo de energía por unidad de tiempo por unidad de distancia) en los campos con la fuerza ejercida sobre una distribución de carga. Consulte Formulación covariante del electromagnetismo clásico para obtener más detalles.${\displaystyle c}$

La densidad de poder asociada con la fuerza de Lorentz en un medio material es

${\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathbf {E} .}$

Si separamos la carga total y la corriente total en sus partes libres y unidas, obtenemos que la densidad de la fuerza de Lorentz es

${\displaystyle \mathbf {f} =(\rho _{f}-\nabla \cdot \mathbf {P} )\mathbf {E} +(\mathbf {J} _{f}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}})\times \mathbf {B} .}$

donde: es la densidad de carga gratuita; es la densidad de polarización ; es la densidad de la corriente libre; y es la densidad de magnetización . De esta manera, la fuerza de Lorentz puede explicar el par aplicado a un imán permanente por el campo magnético. La densidad de la potencia asociada es${\displaystyle \rho _{f}}$${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle \mathbf {J} _{f}}$${\displaystyle \mathbf {M} }$

${\displaystyle \left(\mathbf {J} _{f}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\right)\cdot \mathbf {E} .}$

Ecuación en unidades cgs

Las fórmulas mencionadas anteriormente usan unidades SI que son las más comunes. En unidades cgs-gaussianas más antiguas , que son algo más comunes entre algunos físicos teóricos, así como entre los experimentadores de materia condensada, uno tiene en su lugar

${\displaystyle \mathbf {F} =q_{\mathrm {cgs} }\left(\mathbf {E} _{\mathrm {cgs} }+{\frac {\mathbf {v} }{c}}\times \mathbf {B} _{\mathrm {cgs} }\right).}$

donde c es la velocidad de la luz . Aunque esta ecuación se ve ligeramente diferente, es completamente equivalente, ya que uno tiene las siguientes relaciones: ^[1]

${\displaystyle q_{\mathrm {cgs} }={\frac {q_{\mathrm {SI} }}{\sqrt {4\pi \epsilon _{0}}}},\quad \mathbf {E} _{\mathrm {cgs} }={\sqrt {4\pi \epsilon _{0}}}\,\mathbf {E} _{\mathrm {SI} },\quad \mathbf {B} _{\mathrm {cgs} }={\sqrt {4\pi /\mu _{0}}}\,{\mathbf {B} _{\mathrm {SI} }},\quad c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}.}$

donde ε ₀ es la permitividad al vacío y μ ₀ la permeabilidad al vacío . En la práctica, los subíndices "cgs" y "SI" siempre se omiten y el sistema de unidades debe evaluarse a partir del contexto.

Historia

Teoría de los electrones de Lorentz. Fórmulas para la fuerza de Lorentz (I, fuerza ponderomotriz) y las ecuaciones de Maxwell para la divergencia del campo eléctrico E (II) y el campo magnético B (III), La théorie electromagnétique de Maxwell et son application aux corps mouvants , 1892, p. . 451. V es la velocidad de la luz.

Los primeros intentos de describir cuantitativamente la fuerza electromagnética se realizaron a mediados del siglo XVIII. Se propuso que la fuerza sobre los polos magnéticos, por Johann Tobias Mayer y otros en 1760, ^[14] y los objetos cargados eléctricamente, por Henry Cavendish en 1762, ^[15] obedecían a una ley del inverso del cuadrado . Sin embargo, en ambos casos la prueba experimental no fue completa ni concluyente. No fue hasta 1784 cuando Charles-Augustin de Coulomb , utilizando una balanza de torsión , pudo demostrar definitivamente a través de experimentos que esto era cierto. ^[16] Poco después del descubrimiento en 1820 por Hans Christian Ørstedque una aguja magnética es accionada por una corriente voltaica, André-Marie Ampère ese mismo año pudo idear a través de la experimentación la fórmula para la dependencia angular de la fuerza entre dos elementos de corriente. ^{[17] [18]} En todas estas descripciones, la fuerza siempre se describió en términos de las propiedades de la materia involucrada y las distancias entre dos masas o cargas en lugar de en términos de campos eléctricos y magnéticos. ^[19]

El concepto moderno de campos eléctricos y magnéticos surgió por primera vez en las teorías de Michael Faraday , en particular en su idea de las líneas de fuerza , que posteriormente Lord Kelvin y James Clerk Maxwell le dieron una descripción matemática completa . ^[20] Desde una perspectiva moderna, es posible identificar en la formulación de Maxwell de 1865 de sus ecuaciones de campo una forma de la ecuación de fuerza de Lorentz en relación con las corrientes eléctricas, ^[3] aunque en la época de Maxwell no era evidente cómo se relacionaban sus ecuaciones. a las fuerzas sobre objetos cargados en movimiento. JJ Thomsonfue el primero en intentar derivar de las ecuaciones de campo de Maxwell las fuerzas electromagnéticas sobre un objeto cargado en movimiento en términos de las propiedades del objeto y los campos externos. Interesado en determinar el comportamiento electromagnético de las partículas cargadas en los rayos catódicos , Thomson publicó un artículo en 1881 en el que dio la fuerza sobre las partículas debido a un campo magnético externo como ^{[5] [21]}

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {q}{2}}\mathbf {v} \times \mathbf {B} .}$

Thomson derivó la forma básica correcta de la fórmula, pero, debido a algunos errores de cálculo y una descripción incompleta de la corriente de desplazamiento , incluyó un factor de escala incorrecto de la mitad delante de la fórmula. Oliver Heaviside inventó la notación vectorial moderna y la aplicó a las ecuaciones de campo de Maxwell; él también (en 1885 y 1889) había corregido los errores de la derivación de Thomson y llegó a la forma correcta de la fuerza magnética en un objeto cargado en movimiento. ^{[5] [22] [23]} Finalmente, en 1895, ^{[4] [24]} Hendrik Lorentzderivó la forma moderna de la fórmula para la fuerza electromagnética que incluye las contribuciones a la fuerza total tanto de los campos eléctricos como magnéticos. Lorentz comenzó abandonando las descripciones maxwellianas del éter y la conducción. En cambio, Lorentz hizo una distinción entre la materia y el éter luminífero y buscó aplicar las ecuaciones de Maxwell a una escala microscópica. Usando la versión de Heaviside de las ecuaciones de Maxwell para un éter estacionario y aplicando la mecánica de Lagrange (ver más abajo), Lorentz llegó a la forma correcta y completa de la ley de fuerza que ahora lleva su nombre. ^{[25] [26]}

Trayectorias de partículas debido a la fuerza de Lorentz

Artículo principal: Centro de orientación

Las partículas cargadas se desplazan en un campo magnético homogéneo. (A) Sin fuerza perturbadora (B) Con un campo eléctrico, E (C) Con una fuerza independiente, F (por ejemplo, gravedad) (D) En un campo magnético no homogéneo, grad H

En muchos casos de interés práctico, el movimiento en un campo magnético de una partícula cargada eléctricamente (como un electrón o un ión en un plasma ) puede tratarse como la superposición de un movimiento circular relativamente rápido alrededor de un punto llamado centro de guía y un deriva relativamente lenta de este punto. Las velocidades de deriva pueden diferir para varias especies dependiendo de sus estados de carga, masas o temperaturas, lo que posiblemente resulte en corrientes eléctricas o separación química.

Importancia de la fuerza de Lorentz

Mientras que las ecuaciones modernas de Maxwell describen cómo las partículas y corrientes cargadas eléctricamente o las partículas cargadas en movimiento dan lugar a campos eléctricos y magnéticos, la ley de fuerza de Lorentz completa esa imagen al describir la fuerza que actúa sobre una carga puntual en movimiento q en presencia de campos electromagnéticos. ^{[10] [27]} La ley de fuerza de Lorentz describe el efecto de E y Bsobre una carga puntual, pero tales fuerzas electromagnéticas no son la imagen completa. Las partículas cargadas posiblemente estén acopladas a otras fuerzas, en particular a la gravedad y a las fuerzas nucleares. Por lo tanto, las ecuaciones de Maxwell no están separadas de otras leyes físicas, sino que están acopladas a ellas a través de las densidades de carga y corriente. La respuesta de una carga puntual a la ley de Lorentz es un aspecto; la generación de E y B por corrientes y cargas es otra.

En materiales reales, la fuerza de Lorentz es inadecuada para describir el comportamiento colectivo de las partículas cargadas, tanto en principio como en forma de cálculo. Las partículas cargadas en un medio material no solo responden a los campos E y B , sino que también generan estos campos. Deben resolverse ecuaciones de transporte complejas para determinar la respuesta temporal y espacial de las cargas, por ejemplo, la ecuación de Boltzmann o la ecuación de Fokker-Planck o las ecuaciones de Navier-Stokes . Por ejemplo, ver magnetohidrodinámica , dinámica de fluidos , electrohidrodinámica , superconductividad , evolución estelar.. Se ha desarrollado todo un aparato físico para tratar estos asuntos. Véase, por ejemplo, las relaciones Green-Kubo y la función de Green (teoría de muchos cuerpos) .

Fuerza en un cable portador de corriente

Regla de la mano derecha para un cable portador de corriente en un campo magnético B

Cuando un cable que transporta una corriente eléctrica se coloca en un campo magnético, cada una de las cargas en movimiento, que comprenden la corriente, experimenta la fuerza de Lorentz y juntas pueden crear una fuerza macroscópica sobre el cable (a veces llamada fuerza de Laplace ). Al combinar la ley de fuerza de Lorentz anterior con la definición de corriente eléctrica, se obtiene la siguiente ecuación, en el caso de un cable recto fijo: ^[28]

${\displaystyle \mathbf {F} =I{\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B} }$

donde ℓ es un vector cuya magnitud es la longitud del alambre, y cuya dirección es a lo largo del alambre, alineada con la dirección de corriente convencional cargo fluir I .

Si el alambre no es recto sino curvo, la fuerza sobre él se puede calcular aplicando esta fórmula a cada segmento infinitesimal del alambre d ℓ , luego sumando todas estas fuerzas por integración . Formalmente, la fuerza neta sobre un cable rígido estacionario que transporta una corriente constante I es

${\displaystyle \mathbf {F} =I\int \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B} }$

Esta es la fuerza neta. Además, generalmente habrá torque , más otros efectos si el cable no es perfectamente rígido.

Una aplicación de esto es la ley de fuerza de Ampère , que describe cómo dos cables conductores de corriente pueden atraerse o repelerse, ya que cada uno experimenta una fuerza de Lorentz del campo magnético del otro. Para obtener más información, consulte el artículo: Ley de fuerza de Ampère .

EMF

El componente de fuerza magnética ( q v × B ) de la fuerza de Lorentz es responsable de la fuerza electromotriz en movimiento (o EMF en movimiento ), el fenómeno subyacente a muchos generadores eléctricos. Cuando un conductor se mueve a través de un campo magnético, el campo magnético ejerce fuerzas opuestas sobre los electrones y núcleos del cable, y esto crea el EMF. El término "EMF de movimiento" se aplica a este fenómeno, ya que la EMF se debe al movimiento del cable.

En otros generadores eléctricos, los imanes se mueven, mientras que los conductores no. En este caso, el EMF se debe al término de fuerza eléctrica ( q E ) en la ecuación de fuerza de Lorentz. El campo eléctrico en cuestión es creado por el campo magnético cambiante, lo que resulta en un campo electromagnético inducido , como se describe en la ecuación de Maxwell-Faraday (una de las cuatro ecuaciones de Maxwell modernas ). ^[29]

Ambos campos electromagnéticos, a pesar de sus orígenes aparentemente distintos, se describen mediante la misma ecuación, es decir, el campo electromagnético es la tasa de cambio del flujo magnético a través del cable. (Ésta es la ley de inducción de Faraday, ver más abajo .) La teoría especial de la relatividad de Einstein fue parcialmente motivada por el deseo de comprender mejor este vínculo entre los dos efectos. ^[29] De hecho, los campos eléctricos y magnéticos son facetas diferentes del mismo campo electromagnético, y al moverse de un marco inercial a otro, la porción del campo vectorial solenoidal del campo E puede cambiar total o parcialmente a B -campo o viceversa . ^[30]

Fuerza de Lorentz y ley de inducción de Faraday

Fuerza de Lorentz -imagen en una pared en Leiden

Artículo principal: ley de inducción de Faraday

Dado un bucle de alambre en un campo magnético , la ley de inducción de Faraday establece que la fuerza electromotriz inducida (EMF) en el alambre es:

${\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}}$

donde

${\displaystyle \Phi _{B}=\iint _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)}$

es el flujo magnético a través del bucle, B es el campo magnético, Σ ( t ) es una superficie limitada por el contorno cerrado ∂Σ ( t ), en el tiempo t , d A es un elemento de área vectorial infinitesimal de Σ ( t ) ( la magnitud es el área de un parche infinitesimal de superficie, la dirección es ortogonal a ese parche de superficie).

El signo del EMF está determinado por la ley de Lenz . Tenga en cuenta que esto es válido no solo para un cable estacionario , sino también para un cable en movimiento .

De la ley de inducción de Faraday (que es válida para un cable en movimiento, por ejemplo en un motor) y las ecuaciones de Maxwell , se puede deducir la fuerza de Lorentz. Lo contrario también es cierto, la fuerza de Lorentz y las ecuaciones de Maxwell se pueden usar para derivar la ley de Faraday .

Sea Σ ( t ) el cable en movimiento, que se mueve juntos sin rotación y con velocidad constante v y Σ ( t ) la superficie interna del cable. El EMF alrededor del camino cerrado ∂Σ ( t ) viene dado por: ^[31]

${\displaystyle {\mathcal {E}}=\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q}$

donde

${\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {F} /q}$

es el campo eléctrico y d ℓ es un elemento vectorial infinitesimal del contorno ∂Σ ( t ).

NB: Tanto d ℓ como d A tienen una ambigüedad de signo; para obtener el signo correcto, se usa la regla de la mano derecha , como se explica en el artículo Teorema de Kelvin-Stokes .

El resultado anterior se puede comparar con la versión de la ley de inducción de Faraday que aparece en las ecuaciones de Maxwell modernas, denominadas aquí ecuación de Maxwell-Faraday :

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\ .}$

La ecuación de Maxwell-Faraday también se puede escribir en forma integral usando el teorema de Kelvin-Stokes . ^[32]

Entonces tenemos la ecuación de Maxwell Faraday:

${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)=-\ \iint _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot {{\mathrm {d} \,\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t)} \over \mathrm {d} t}}$

y la Ley de Faraday,

${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,\ t)=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iint _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t).}$

Los dos son equivalentes si el cable no se mueve. Usando la regla integral de Leibniz y que div B = 0, da como resultado,

${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,t)=-\iint _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)+\oint _{\partial \Sigma (t)}\!\!\!\!\mathbf {v} \times \mathbf {B} \,\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}$

y usando la ecuación de Maxwell Faraday,

${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,\ t)=\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)+\oint _{\partial \Sigma (t)}\!\!\!\!\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t)\,\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}$

dado que esto es válido para cualquier posición del cable, implica que,

${\displaystyle \mathbf {F} =q\,\mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)+q\,\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t).}$

La ley de inducción de Faraday es válida tanto si el bucle de alambre es rígido y estacionario, como si está en movimiento o en proceso de deformación, y si el campo magnético es constante en el tiempo o cambia. Sin embargo, hay casos en los que la ley de Faraday es inadecuada o difícil de usar, y es necesaria la aplicación de la ley de fuerza de Lorentz subyacente. Ver inaplicabilidad de la ley de Faraday .

Si el campo magnético está fijo en el tiempo y el bucle conductor se mueve a través del campo, el flujo magnético Φ _{B que} une el bucle puede cambiar de varias formas. Por ejemplo, si el campo B varía con la posición y el bucle se mueve a una ubicación con un campo B diferente , Φ _B cambiará. Alternativamente, si el bucle cambia la orientación con respecto a la B -field, el B ⋅ d Un diferencial elemento cambiará a causa de la diferente ángulo entre B y D A , también el cambio de Φ _B . Como tercer ejemplo, si una parte del circuito se barre a través de un B uniforme, independiente del tiempo-campo, y otra parte del circuito se mantiene estacionaria, el flujo que une todo el circuito cerrado puede cambiar debido al cambio en la posición relativa de las partes componentes del circuito con el tiempo (superficie ∂Σ ( t ) dependiente del tiempo). En los tres casos, la ley de inducción de Faraday entonces predice la FEM generada por el cambio en Φ _B .

Tenga en cuenta que la ecuación de Maxwell Faraday implica que el campo eléctrico E no es conservador cuando el campo magnético B varía en el tiempo, y no se puede expresar como el gradiente de un campo escalar y no está sujeto al teorema del gradiente, ya que su rotación no es cero. ^{[31] [33]}

Fuerza de Lorentz en términos de potenciales

Ver también: Descripciones matemáticas del campo electromagnético , ecuaciones de Maxwell y descomposición de Helmholtz

Los campos E y B pueden ser reemplazados por el potencial vectorial magnético A y el potencial electrostático ( escalar ) ϕ por

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$

${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$

donde ∇ es el gradiente, ∇⋅ es la divergencia, ∇ × es el rizo .

La fuerza se vuelve

${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {A} )\right].}$

Usando una identidad para el producto triple, esto se puede reescribir como,

${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\nabla \left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} \right)-\left(\mathbf {v} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} \right],}$

(Observe que las coordenadas y los componentes de la velocidad deben tratarse como variables independientes, por lo que el operador del actúa solo sobre , no sobre ; por lo tanto, no es necesario utilizar la notación de subíndice de Feynman en la ecuación anterior). Usando la regla de la cadena, la derivada total de es:${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {A} }$

de modo que la expresión anterior se convierta en:

${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla (\phi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\right]}$.

Con v = ẋ , podemos poner la ecuación en la forma conveniente de Euler-Lagrange

${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla _{\mathbf {x} }(\phi -{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\nabla _{\dot {\mathbf {x} }}(\phi -{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )\right]}$

donde

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {x} }={\hat {x}}{\dfrac {\partial }{\partial x}}+{\hat {y}}{\dfrac {\partial }{\partial y}}+{\hat {z}}{\dfrac {\partial }{\partial z}}}$

y

${\displaystyle \nabla _{\dot {\mathbf {x} }}={\hat {x}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {x}}}}+{\hat {y}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {y}}}}+{\hat {z}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {z}}}}}$.

Fuerza de Lorentz y mecánica analítica

Véase también: Momentum

El lagrangiano para una partícula cargada de masa my carga q en un campo electromagnético describe de manera equivalente la dinámica de la partícula en términos de su energía , en lugar de la fuerza ejercida sobre ella. La expresión clásica viene dada por: ^[34]

${\displaystyle L={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} +q\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} -q\phi }$

donde A y ϕ son los campos potenciales como arriba. La cantidad puede pensarse como una función potencial dependiente de la velocidad. ^[35] Usando las ecuaciones de Lagrange , la ecuación para la fuerza de Lorentz dada arriba se puede obtener nuevamente.${\displaystyle V=q(\phi -\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} )}$

Derivación de la fuerza de Lorentz a partir del Lagrangiano clásico (unidades SI)

Para un campo A , una partícula que se mueve con velocidad v = ṙ tiene un momento potencial , por lo que su energía potencial es . Para un campo ϕ , la energía potencial de la partícula es .${\displaystyle q\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle q\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)\cdot \mathbf {\dot {r}} }$${\displaystyle q\phi (\mathbf {r} ,t)}$ La energía potencial total es entonces: ${\displaystyle V=q\phi -q\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} }$ y la energía cinética es: ${\displaystyle T={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} }$ de ahí el lagrangiano: ${\displaystyle L=T-V={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} +q\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} -q\phi }$ ${\displaystyle L={\frac {m}{2}}({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})+q({\dot {x}}A_{x}+{\dot {y}}A_{y}+{\dot {z}}A_{z})-q\phi }$ Las ecuaciones de Lagrange son ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {\partial L}{\partial x}}}$ (lo mismo para y y z ). Entonces, calculando las derivadas parciales: ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}&=m{\ddot {x}}+q{\frac {\mathrm {d} A_{x}}{\mathrm {d} t}}\\&=m{\ddot {x}}+{\frac {q}{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}dt+{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}dx+{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}dy+{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}dz\right)\\&=m{\ddot {x}}+q\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}{\dot {y}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}{\dot {z}}\right)\\\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}=-q{\frac {\partial \phi }{\partial x}}+q\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}{\dot {y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}{\dot {z}}\right)}$ equiparando y simplificando: ${\displaystyle m{\ddot {x}}+q\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}{\dot {y}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}{\dot {z}}\right)=-q{\frac {\partial \phi }{\partial x}}+q\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}{\dot {y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}{\dot {z}}\right)}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}F_{x}&=-q\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}\right)+q\left[{\dot {y}}\left({\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)+{\dot {z}}\left({\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)\right]\\&=qE_{x}+q[{\dot {y}}(\nabla \times \mathbf {A} )_{z}-{\dot {z}}(\nabla \times \mathbf {A} )_{y}]\\&=qE_{x}+q[\mathbf {\dot {r}} \times (\nabla \times \mathbf {A} )]_{x}\\&=qE_{x}+q(\mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {B} )_{x}\end{aligned}}}$ y de manera similar para las direcciones y y z . Por tanto, la ecuación de fuerza es: ${\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {B} )}$

La energía potencial depende de la velocidad de la partícula, por lo que la fuerza depende de la velocidad, por lo que no es conservadora.

El lagrangiano relativista es

${\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt {1-\left({\frac {\dot {\mathbf {r} }}{c}}\right)^{2}}}+q\mathbf {A} (\mathbf {r} )\cdot {\dot {\mathbf {r} }}-q\phi (\mathbf {r} )\,\!}$

La acción es la longitud de arco relativista de la trayectoria de la partícula en el espacio-tiempo , menos la contribución de energía potencial, más una contribución adicional que mecánicamente cuántica es una fase adicional que obtiene una partícula cargada cuando se mueve a lo largo de un potencial vectorial.

Derivación de la fuerza de Lorentz a partir del lagrangiano relativista (unidades SI)

Las ecuaciones de movimiento derivadas al extremar la acción (ver cálculo de matrices para la notación): ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {P} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} }}=q{\partial \mathbf {A} \over \partial \mathbf {r} }\cdot {\dot {\mathbf {r} }}-q{\partial \phi \over \partial \mathbf {r} }\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {P} -q\mathbf {A} ={\frac {m{\dot {\mathbf {r} }}}{\sqrt {1-\left({\frac {\dot {\mathbf {r} }}{c}}\right)^{2}}}}\,}$ son las mismas que las ecuaciones de movimiento de Hamilton : ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}\left({\sqrt {(\mathbf {P} -q\mathbf {A} )^{2}+(mc^{2})^{2}}}+q\phi \right)\,\!}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=-{\partial \over \partial \mathbf {r} }\left({\sqrt {(\mathbf {P} -q\mathbf {A} )^{2}+(mc^{2})^{2}}}+q\phi \right)\,\!}$ ambos son equivalentes a la forma no canónica: ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({m{\dot {\mathbf {r} }} \over {\sqrt {1-\left({\frac {\dot {\mathbf {r} }}{c}}\right)^{2}}}}\right)=q\left(\mathbf {E} +{\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {B} \right).\,\!}$ Esta fórmula es la fuerza de Lorentz, que representa la velocidad a la que el campo EM agrega impulso relativista a la partícula.

Forma relativista de la fuerza de Lorentz

Forma covariante de la fuerza de Lorentz

Tensor de campo

Artículos principales: Formulación covariante del electromagnetismo clásico y descripciones matemáticas del campo electromagnético.

Usando la firma métrica (1, −1, −1, −1) , la fuerza de Lorentz para una carga q se puede escribir en ^[36] forma covariante :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p^{\alpha }}{\mathrm {d} \tau }}=qF^{\alpha \beta }U_{\beta }}$

donde p ^α es el cuatro-momento , definido como

${\displaystyle p^{\alpha }=\left(p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}\right)=\left(\gamma mc,p_{x},p_{y},p_{z}\right)\,,}$

τ el tiempo apropiado de la partícula, F ^αβ el tensor electromagnético contravariante

${\displaystyle F^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}}$

y U es la velocidad 4 covariante de la partícula, definida como:

${\displaystyle U_{\beta }=\left(U_{0},U_{1},U_{2},U_{3}\right)=\gamma \left(c,-v_{x},-v_{y},-v_{z}\right)\,,}$

en el cual

${\displaystyle \gamma (v)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}{c^{2}}}}}}}$

es el factor de Lorentz .

Los campos se transforman en un marco que se mueve con velocidad relativa constante mediante:

${\displaystyle F'^{\mu \nu }={\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }{\Lambda ^{\nu }}_{\beta }F^{\alpha \beta }\,,}$

donde Λ ^μ _α es el tensor de transformación de Lorentz .

Traducción a notación vectorial

El componente α = 1 (componente x ) de la fuerza es

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}=qU_{\beta }F^{1\beta }=q\left(U_{0}F^{10}+U_{1}F^{11}+U_{2}F^{12}+U_{3}F^{13}\right).}$

Sustituyendo los componentes del tensor electromagnético covariante F se obtiene

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}=q\left[U_{0}\left({\frac {E_{x}}{c}}\right)+U_{2}(-B_{z})+U_{3}(B_{y})\right].}$

Usando los componentes de los rendimientos covariantes de cuatro velocidades

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}&=q\gamma \left[c\left({\frac {E_{x}}{c}}\right)+(-v_{y})(-B_{z})+(-v_{z})(B_{y})\right]\\&=q\gamma \left(E_{x}+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}\right)\\&=q\gamma \left[E_{x}+\left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)_{x}\right]\,.\end{aligned}}}$

El cálculo para α = 2 , 3 (componentes de fuerza en la Y y Z direcciones) produce resultados similares, por lo que la recogida de los 3 ecuaciones en una sola:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} \tau }}=q\gamma \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\,,}$

y dado que los diferenciales en el tiempo de coordenadas dt y el tiempo propio dτ están relacionados por el factor de Lorentz,

${\displaystyle dt=\gamma (v)d\tau \,,}$

así llegamos a

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\,.}$

Esta es precisamente la ley de fuerza de Lorentz, sin embargo, es importante notar que p es la expresión relativista,

${\displaystyle \mathbf {p} =\gamma (v)m_{0}\mathbf {v} \,.}$

Fuerza de Lorentz en álgebra del espacio-tiempo (STA)

Los campos eléctricos y magnéticos son dependientes de la velocidad de un observador , por lo que la forma relativista de la ley de la fuerza de Lorentz mejor se puede exhibir a partir de una expresión de coordenadas independiente de los campos electromagnéticos y magnéticos , y un tiempo de dirección arbitraria, . Esto puede ser resuelta a través de Espacio-Tiempo Algebra (o el álgebra geométrica del espacio-tiempo), un tipo de Clifford álgebra definida en un espacio pseudo-euclidiana , ^[37] como${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \gamma _{0}}$

${\displaystyle \mathbf {E} =({\mathcal {F}}\cdot \gamma _{0})\gamma _{0}}$

y

${\displaystyle i\mathbf {B} =({\mathcal {F}}\wedge \gamma _{0})\gamma _{0}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es un bivector de espacio-tiempo (un segmento de plano orientado, al igual que un vector es un segmento de línea orientado), que tiene seis grados de libertad correspondientes a aumentos (rotaciones en planos de espacio-tiempo) y rotaciones (rotaciones en planos de espacio-espacio) . El producto escalar con el vector extrae un vector (en el álgebra espacial) de la parte traslacional, mientras que el producto de la cuña crea un trivector (en el álgebra espacial) que es dual a un vector que es el vector de campo magnético habitual. La velocidad relativista viene dada por los cambios (similares al tiempo) en un vector de posición de tiempo , donde${\displaystyle \gamma _{0}}$${\displaystyle v={\dot {x}}}$

${\displaystyle v^{2}=1,}$

(que muestra nuestra elección para la métrica) y la velocidad es

${\displaystyle \mathbf {v} =cv\wedge \gamma _{0}/(v\cdot \gamma _{0}).}$

La forma adecuada (invariante es un término inadecuado porque no se ha definido ninguna transformación) de la ley de fuerza de Lorentz es simplemente

${\displaystyle F=q{\mathcal {F}}\cdot v}$

Tenga en cuenta que el orden es importante porque entre un bivector y un vector el producto escalar es antisimétrico. Tras una división del espacio-tiempo como se puede obtener la velocidad, y los campos como el anterior producen la expresión habitual.

Fuerza de Lorentz en la relatividad general

En la teoría general de la relatividad, la ecuación de movimiento de una partícula con masa y carga , que se mueve en un espacio con tensor métrico y campo electromagnético , se da como${\displaystyle m}$${\displaystyle e}$${\displaystyle g_{ab}}$${\displaystyle F_{ab}}$

${\displaystyle m{\frac {du_{c}}{ds}}-m{\frac {1}{2}}g_{ab,c}u^{a}u^{b}=eF_{cb}u^{b}\;,}$

donde ( se toma a lo largo de la trayectoria) , y .${\displaystyle u^{a}=dx^{a}/ds}$${\displaystyle dx^{a}}$${\displaystyle g_{ab,c}=\partial g_{ab}/\partial x^{c}}$${\displaystyle ds^{2}=g_{ab}dx^{a}dx^{b}}$

La ecuación también se puede escribir como

${\displaystyle m{\frac {du_{c}}{ds}}-m\Gamma _{abc}u^{a}u^{b}=eF_{cb}u^{b}\;,}$

¿Dónde está el símbolo de Christoffel (de la conexión métrica libre de torsión en la relatividad general), o como${\displaystyle \Gamma _{abc}}$

${\displaystyle m{\frac {Du_{c}}{ds}}=eF_{cb}u^{b}\;,}$

donde es el diferencial covariante en relatividad general (métrica, libre de torsión).${\displaystyle D}$

Aplicaciones

La fuerza de Lorentz ocurre en muchos dispositivos, que incluyen:

• Ciclotrones y otros aceleradores de partículas de trayectoria circular
• Espectrómetros de masas
• Filtros de velocidad
• Magnetrones
• Velocimetría de fuerza de Lorentz

En su manifestación como la fuerza de Laplace sobre una corriente eléctrica en un conductor, esta fuerza ocurre en muchos dispositivos, entre ellos:

• Motor electrico
• Cañones de riel
• Motores lineales
• Altavoces
• Propulsores magnetoplasmadinámicos
• Generadores electricos
• Generadores homopolares
• Alternadores lineales

Ver también

Artículos sobre
Electromagnetismo
Electricidad Magnetismo Historia Libros de texto
Electrostática Carga eléctrica ley de Coulomb Conductor Cargar densidad Permitividad Momento dipolo eléctrico Campo eléctrico Potencial eléctrico Flujo eléctrico  / energía potencial Descarga electrostática Ley de Gauss Inducción Aislante Densidad de polarización Electricidad estática Triboelectricidad
Magnetostática Ley de Ampère Ley de Biot-Savart Ley de Gauss para el magnetismo Campo magnético Flujo magnético Momento dipolar magnético Permeabilidad magnética Potencial escalar magnético Magnetización Fuerza magnetomotriz Potencial de vector magnético Regla de la mano derecha
Electrodinámica Ley de fuerza de Lorentz Inducción electromagnética Ley de Faraday Ley de Lenz Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell Campo electromagnetico Pulso electromagnetico Radiación electromagnética Tensor de Maxwell Vector de poynting Potencial de Liénard – Wiechert Ecuaciones de Jefimenko Corriente de Foucault Ecuaciones de Londres Descripciones matemáticas del campo electromagnético.
Red eléctrica Corriente alterna Capacidad Corriente continua Corriente eléctrica Electrólisis Densidad actual Calentamiento Joule Fuerza electromotriz Impedancia Inductancia Ley de Ohm Circuito paralelo Resistencia Cavidades resonantes Circuito en serie Voltaje Guías de ondas
Formulación covariante Tensor electromagnético ( tensor de tensión-energía ) Cuatro corrientes Electromagnético de cuatro potenciales
Científicos Amperio Biot Culombio Davy Einstein Faraday Fizeau Gauss Heaviside Enrique Hertz Joule Lenz Lorentz Maxwell Ørsted Ohm Ritchie Savart Cantante Tesla Volta Weber Poisson
v t mi

• efecto Hall
• Electromagnetismo
• Gravitomagnetismo
• Ley de fuerza de Ampère
• Hendrik Lorentz
• Ecuaciones de Maxwell
• Formulación de las ecuaciones de Maxwell en relatividad especial
• Problema del conductor y el imán móvil
• Fuerza Abraham-Lorentz
• Fórmula de Larmor
• Radiación ciclotrónica
• Magnetorresistencia
• Potencial escalar
• Descomposición de Helmholtz
• Centro de orientación
• Línea de campo
• ley de Coulomb
• Flotabilidad electromagnética

Notas al pie

1. En unidades SI, B se mide en teslas (símbolo: T). En unidades gaussianas-cgs , B se mide en gauss (símbolo: G). Consulte, por ejemplo, "Preguntas frecuentes sobre geomagnetismo" . Centro Nacional de Datos Geofísicos . Consultado el 21 de octubre de 2013 .)
2. El campo H se mide en amperios por metro (A / m) en unidades SI y en oersteds (Oe) en unidades cgs. "Sistema internacional de unidades (SI)" . Referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre . Instituto Nacional de Estándares y Tecnología . Consultado el 9 de mayo de 2012 .
3. Huray, Paul G. (2010). Ecuaciones de Maxwell . Wiley-IEEE. pag. 22. ISBN 978-0-470-54276-7.
4. Por F. Dahl, Destello de los rayos catódicos: una historia del electrón de JJ Thomson , CRC Press, 1997, p. 10.
5. Paul J. Nahin, Oliver Heaviside , JHU Press, 2002.
6. Véase, por ejemplo, Jackson, págs. 777–8.
7. JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Gravitación . WH Freeman & Co. págs.  72 –73. ISBN 0-7167-0344-0.. Estos autores utilizan la fuerza de Lorentz en el tensor de la forma como definidor del tensor de campo electromagnético F , a su vez los campos E y B .
8. ES Grant; WR Phillips; Manchester Physics (1990). Electromagnetismo (2ª ed.). John Wiley e hijos. pag. 122. ISBN 978-0-471-92712-9.
9. ES Grant; WR Phillips; Manchester Physics (1990). Electromagnetismo (2ª ed.). John Wiley e hijos. pag. 123. ISBN 978-0-471-92712-9.
10. Véase Jackson, página 2. El libro enumera las cuatro ecuaciones modernas de Maxwell, y luego establece: "También es esencial para la consideración del movimiento de partículas cargadas la ecuación de fuerza de Lorentz, F = q ( E + v × B ), que da la fuerza que actúa sobre una carga puntual q en presencia de campos electromagnéticos ".
11. Ver Griffiths, página 204.
12. Por ejemplo, consulte el sitio web del Instituto Lorentz o Griffiths.
13. Griffiths, David J. (1999). Introducción a la electrodinámica . reimprimir. con corr. (3ª ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey [ua]: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-805326-0.
14. Delon, Michel (2001). Enciclopedia de la Ilustración . Chicago, IL: Fitzroy Dearborn Publishers. pag. 538. ISBN 157958246X.
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25. Darrigol, Olivier (2000). Electrodinámica de Ampère a Einstein . Oxford, [Inglaterra]: Oxford University Press. pag. 327 . ISBN 0-19-850593-0.
26. Whittaker, ET (1910). Una historia de las teorías del éter y la electricidad: desde la época de Descartes hasta finales del siglo XIX . Longmans, Green and Co. págs. 420–423. ISBN 1-143-01208-9.
27. Ver Griffiths, página 326, que establece que las ecuaciones de Maxwell, "junto con la ley de fuerza [de Lorentz] ... resumen todo el contenido teórico de la electrodinámica clásica".
28. "Experimentos de física" . www.physicsexperiment.co.uk . Consultado el 14 de agosto de 2018 .
29. Véase Griffiths, páginas 301–3.
30. Tai L. Chow (2006). Teoría electromagnética . Sudbury MA: Jones y Bartlett. pag. 395. ISBN 0-7637-3827-1.
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35. Lanczos, Cornelius, 1893-1974. (Enero de 1986). Los principios variacionales de la mecánica (Cuarta ed.). Nueva York. ISBN 0-486-65067-7. OCLC  12949728 .
36. Jackson, JD Capítulo 11
37. Hestenes, David . "Cálculo del espacio-tiempo" .

Referencias

Las referencias numeradas se refieren en parte a la lista que se encuentra a continuación.

• Feynman, Richard Phillips ; Leighton, Robert B .; Sands, Matthew L. (2006). Las conferencias de Feynman sobre física (3 vol.) . Pearson / Addison-Wesley. ISBN 0-8053-9047-2.: volumen 2.
• Griffiths, David J. (1999). Introducción a la electrodinámica (3ª ed.). Upper Saddle River, [Nueva Jersey]: Prentice-Hall. ISBN 0-13-805326-X.
• Jackson, John David (1999). Electrodinámica clásica (3ª ed.). Nueva York, [NY.]: Wiley. ISBN 0-471-30932-X.

• Serway, Raymond A .; Jewett, John W., Jr. (2004). Física para científicos e ingenieros, con física moderna . Belmont, [CA]: Thomson Brooks / Cole. ISBN 0-534-40846-X.
• Srednicki, Mark A. (2007). Teoría cuántica de campos . Cambridge, [Inglaterra]; Nueva York [NY.]: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86449-7.

enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con la fuerza de Lorentz .

Wikiquote tiene citas relacionadas con: Fuerza de Lorentz

• Fuerza de Lorentz (demostración)
• Ley de Faraday: Tankersley y Mosca
• Notas de HyperPhysics de Física y Astronomía en la Universidad Estatal de Georgia ; ver también la página de inicio
• Applet interactivo de Java sobre la desviación magnética de un haz de partículas en un campo magnético homogéneo por Wolfgang Bauer
• La fórmula de fuerza de Lorentz en una pared directamente enfrente de la casa de Lorentz en el centro de Leiden