En matemáticas aplicadas y teoría de sistemas dinámicos , los vectores de Lyapunov , llamados así por Aleksandr Lyapunov , describen direcciones características de expansión y contracción de un sistema dinámico. Se han utilizado en análisis de previsibilidad y como perturbaciones iniciales para la predicción por conjuntos en la predicción numérica del tiempo . [1] En la práctica moderna, a menudo se reemplazan por vectores reproducidos para este propósito. [2]
Descripción matemática
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/0/04/LyapunovDiagram.svg/333px-LyapunovDiagram.svg.png)
Los vectores de Lyapunov se definen a lo largo de las trayectorias de un sistema dinámico. Si el sistema se puede describir mediante un vector de estado d-dimensional los vectores de Lyapunov , punto en las direcciones en las que una perturbación infinitesimal crecerá asintóticamente, exponencialmente a una tasa promedio dada por los exponentes de Lyapunov .
- Cuando se expande en términos de vectores de Lyapunov, una perturbación se alinea asintóticamente con el vector de Lyapunov en esa expansión correspondiente al mayor exponente de Lyapunov, ya que esta dirección supera a todas las demás. Por lo tanto, casi todas las perturbaciones se alinean asintóticamente con el vector de Lyapunov correspondiente al mayor exponente de Lyapunov del sistema. [3]
- En algunos casos, los vectores de Lyapunov pueden no existir. [4]
- Los vectores de Lyapunov no son necesariamente ortogonales.
- Los vectores de Lyapunov no son idénticos a las direcciones de expansión y contracción principales locales, es decir, los vectores propios del jacobiano . Mientras que los últimos solo requieren conocimiento local del sistema, los vectores de Lyapunov están influenciados por todos los jacobianos a lo largo de una trayectoria.
- Los vectores de Lyapunov para una órbita periódica son los vectores Floquet de esta órbita.
Método numérico
Si el sistema dinámico es diferenciable y los vectores de Lyapunov existen, se pueden encontrar mediante iteraciones hacia adelante y hacia atrás del sistema linealizado a lo largo de una trayectoria. [5] [6] Deje mapear el sistema con el vector de estado en el momento al Estado en el momento . La linealización de este mapa, es decir, la matriz jacobiana describe el cambio de una perturbación infinitesimal . Es decir
Comenzando con una matriz de identidad las iteraciones
dónde viene dada por la descomposición QR de Gram-Schmidt de, convergerá asintóticamente a matrices que dependen solo de los puntos de una trayectoria, pero no en la elección inicial de . Las filas de las matrices ortogonales. definir un marco de referencia ortogonal local en cada punto y el primer Las filas abarcan el mismo espacio que los vectores de Lyapunov correspondientes a la mayores exponentes de Lyapunov. Las matrices triangulares superioresdescriben el cambio de una perturbación infinitesimal de un marco ortogonal local al siguiente. Las entradas diagonales de son factores de crecimiento locales en las direcciones de los vectores de Lyapunov. Los exponentes de Lyapunov están dados por las tasas de crecimiento promedio
y en virtud del estiramiento, la rotación y la ortogonalización de Gram-Schmidt, los exponentes de Lyapunov se ordenan como . Cuando se itera hacia adelante en el tiempo, un vector aleatorio contenido en el espacio abarcado por la primera columnas de es casi seguro que crecerá asintóticamente con el mayor exponente de Lyapunov y se alineará con el vector de Lyapunov correspondiente. En particular, la primera columna de apuntará en la dirección del vector de Lyapunov con el mayor exponente de Lyapunov si es lo suficientemente grande. Cuando se itera hacia atrás en el tiempo, un vector aleatorio contenido en el espacio abarcado por la primera columnas de casi con seguridad, se alineará asintóticamente con el vector de Lyapunov correspondiente al el mayor exponente de Lyapunov, si y son suficientemente grandes. Definiendo encontramos . Elegir el primero entradas de aleatoriamente y las otras entradas cero, e iterando este vector hacia atrás en el tiempo, el vector se alinea casi con seguridad con el vector de Lyapunov correspondiente a la el mayor exponente de Lyapunov si y son suficientemente grandes. Dado que las iteraciones aumentarán o reducirán exponencialmente un vector, se puede volver a normalizar en cualquier punto de iteración sin cambiar la dirección.
Referencias
- ^ Kalnay, E. (2007). Modelado atmosférico, asimilación de datos y previsibilidad . Cambridge: Cambridge University Press.
- ^ Kalnay, E .; Corazza, M .; Cai, M. (2002). "¿Son los vectores criados lo mismo que los vectores de Lyapunov?" . XXVII Asamblea General del EGS . Archivado desde el original el 5 de junio de 2010.
- ^ Ott, Edward (2002). Caos en sistemas dinámicos (Segunda ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge.
- ^ Ott, W .; Yorke, JA (2008). "Cuando los exponentes de Lyapunov no existen". Phys. Rev. E . 78 (5): 056203. bibcode : 2008PhRvE..78e6203O . doi : 10.1103 / PhysRevE.78.056203 . PMID 19113196 .
- ^ Ginelli, F .; Poggi, P .; Turchi, A .; Chaté, H .; Livi, R .; Politi, A. (2007). "Caracterización de la dinámica con vectores covariantes de Lyapunov". Phys. Rev. Lett . 99 (13): 130601. arXiv : 0706.0510 . Código bibliográfico : 2007PhRvL..99m0601G . doi : 10.1103 / PhysRevLett.99.130601 . PMID 17930570 .
- ^ Kuptsov, Pavel V .; Parlitz, Ulrich (2012). "Teoría y cálculo de vectores covariantes de Lyapunov". Revista de ciencia no lineal . 22 (5): 727–762. arXiv : 1105.5228 . Código bibliográfico : 2012JNS .... 22..727K . doi : 10.1007 / s00332-012-9126-5 .