En matemáticas, la función E fue introducida por Thomas Murray MacRobert ( 1937-1938 ) para extender la serie hipergeométrica generalizada p F q (·) al caso p > q + 1. El objetivo subyacente era definir una función muy general que incluye como casos particulares la mayoría de las funciones especiales conocidas hasta entonces. Sin embargo, esta función no tuvo un gran impacto en la literatura, ya que siempre se puede expresar en términos de la función G de Meijer , mientras que lo contrario no es cierto, por lo que la función G es de una naturaleza aún más general. Se define como:
Definición
Hay varias formas de definir la función E de MacRobert; la siguiente definición está en términos de la función hipergeométrica generalizada :
- cuando p ≤ q y x ≠ 0, o p = q + 1 y | x | > 1:
- cuando p ≥ q + 2, op = q + 1 y | x | <1:
Los asteriscos aquí nos recuerdan a ignorar la contribución con el índice j = h como sigue: En el producto esto equivale a la sustitución de Γ (0) con 1, y en el argumento de la función hipergeométrica esto equivale a acortar la longitud del vector de p a p - 1. Evidentemente, esta definición abarca todos los valores de p y q .
Relación con la función G de Meijer
La función E de MacRobert siempre se puede expresar en términos de la función G de Meijer :
donde los valores de los parámetros no están restringidos, es decir, esta relación se mantiene sin excepción.
Referencias
- Andrews, LC (1985). Funciones especiales para ingenieros y matemáticos aplicados . Nueva York: MacMillan. ISBN 0-02-948650-5.
- Erdélyi, A .; Magnus, W .; Oberhettinger, F. y Tricomi, FG (1953). Funciones trascendentales superiores (PDF) . Vol. 1. Nueva York: McGraw – Hill.
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tiene texto extra ( ayuda ) (ver § 5.2, "Definición de la función E", p. 203) - Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Yuri Veniaminovich ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [Octubre de 2014]. "9.4.". En Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (eds.). Tabla de Integrales, Series y Productos . Traducido por Scripta Technica, Inc. (8 ed.). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276 .
- MacRobert, TM (1937-1938). "Pruebas de inducción de las relaciones entre ciertas expansiones asintóticas y las correspondientes series hipergeométricas generalizadas". Proc. Roy. Soc. Edimburgo . 58 : 1-13. JFM 64.0337.01 .
- MacRobert, TM (1962). "Integrales de Barnes como suma de funciones E" . Mathematische Annalen . 147 (3): 240–243. doi : 10.1007 / bf01470741 . S2CID 121048026 . Zbl 0100.28601 .