En matemáticas, la función G fue introducida por Cornelis Simon Meijer ( 1936 ) como una función muy general destinada a incluir la mayoría de las funciones especiales conocidas como casos particulares. Este no fue el único intento de este tipo: la función hipergeométrica generalizada y la función E de MacRobert tenían el mismo objetivo, pero la función G de Meijer también pudo incluirlas como casos particulares. La primera definición fue hecha por Meijer usando una serie ; hoy en día la definición aceptada y más general es a través de una integral de línea en el plano complejo , introducida en su completa generalidad porArthur Erdélyi en 1953.
Con la definición moderna, la mayoría de las funciones especiales establecidas se pueden representar en términos de la función G de Meijer. Una propiedad notable es el cierre del conjunto de todas las funciones G no solo bajo diferenciación sino también bajo integración indefinida. En combinación con una ecuación funcional que permite liberar de una función G G ( z ) cualquier factor z ρ que sea una potencia constante de su argumento z , el cierre implica que siempre que una función es expresable como una función G de una constante múltiplo de alguna potencia constante del argumento de la función, f ( x ) = G ( cx γ ), la derivada y la antiderivada de esta función también se pueden expresar.
La amplia cobertura de funciones especiales también da poder a usos de la función G de Meijer distintos de la representación y manipulación de derivadas y antiderivadas. Por ejemplo, la integral definida sobre el eje real positivo de cualquier función g ( x ) que se puede escribir como un producto G 1 ( cx γ ) · G 2 ( dx δ ) de dos funciones G con γ / δ racional es igual a otra función G, y generalizaciones de transformadas integrales como la transformada de Hankel y la transformada de Laplace y sus inversas resultan cuando se emplean pares adecuados de funciones G como núcleos de transformada.
Una función aún más general, que introduce parámetros adicionales en la función G de Meijer, es la función H de Fox .
donde Γ denota la función gamma . Esta integral es del llamado tipo Mellin-Barnes y puede verse como una transformada inversa de Mellin . La definición se cumple bajo los siguientes supuestos:
0 ≤ m ≤ q y 0 ≤ n ≤ p , donde m , n , p y q son enteros números
a k - b j ≠ 1, 2, 3, ... para k = 1, 2, ..., n y j = 1, 2, ..., m , lo que implica que ningún polo de Γ ( b j - s ), j = 1, 2, ..., m , coincide con cualquier polo de cualquier Γ (1 - a k + s ), k = 1, 2, ..., n
z ≠ 0
Tenga en cuenta que, por razones históricas, el primer índice inferior y el segundo superior se refieren a la fila de parámetros superior , mientras que el segundo índice inferior y el primer índice superior se refieren a la fila de parámetros inferior . A menudo se encuentra la siguiente notación más sintética usando vectores :
Las implementaciones de la función G en sistemas de álgebra computacional emplean típicamente argumentos vector separado para los cuatro (posiblemente vacío) grupos de parámetros un 1 ... un n , un n 1 ... un p , b 1 ... b m , y b m 1 ... b q , y por lo tanto pueden omitir las órdenes p , q , n , y m como redundante.
La L en la integral representa el camino a seguir durante la integración. Hay tres opciones posibles para esta ruta:
1. L va de - i ∞ a + i ∞ tal que todos los polos de Γ ( b j - s ), j = 1, 2, ..., m , están a la derecha del camino, mientras que todos los polos de Γ (1 - a k + s ), k = 1, 2, ..., n , están a la izquierda. La integral luego converge para | arg z | < δ π , donde
un prerrequisito obvio para esto es δ > 0. La integral además converge para | arg z | = δ π ≥ 0 si (q - p) ( σ + 1 ⁄ 2 )> Re ( ν ) + 1, donde σ representa Re ( s ) cuando la variable de integración s se acerca tanto a + i ∞ como a - i ∞, y donde
Como corolario, para | arg z | = δ π y p = q la integral converge independientemente de σ siempre que Re ( ν ) <−1.
2. L es un bucle que comienza y termina en + ∞, rodeando todos los polos de Γ ( b j - s ), j = 1, 2, ..., m , exactamente una vez en la dirección negativa, pero sin rodear ningún polo de Γ (1 - a k + s ), k = 1, 2, ..., n . Entonces la integral converge para todo z si q > p ≥ 0; también converge para q = p > 0 siempre que | z | <1. En el último caso, la integral converge además para | z | = 1 si Re ( ν ) <−1, donde ν se define como para el primer camino.
3. L es un bucle que comienza y termina en −∞ y rodea todos los polos de Γ (1 - a k + s ), k = 1, 2, ..., n , exactamente una vez en la dirección positiva, pero sin rodear a ninguno. polo de Γ ( b j - s ), j = 1, 2, ..., m . Ahora la integral converge para todo z si p > q ≥ 0; también converge para p = q > 0 siempre que | z | > 1. Como se señaló también para el segundo camino, en el caso de p = q la integral también converge para | z | = 1 cuando Re ( ν ) <−1.
Las condiciones para la convergencia se establecen fácilmente aplicando la aproximación asintótica de Stirling a las funciones gamma en el integrando. Cuando la integral converge para más de uno de estos caminos, se puede demostrar que los resultados de la integración coinciden; si converge para un solo camino, entonces este es el único que se debe considerar. De hecho, la integración de la trayectoria numérica en el plano complejo constituye un enfoque práctico y sensato para el cálculo de las funciones G de Meijer.
Como consecuencia de esta definición, la función G de Meijer es una función analítica de z con posible excepción del origen z = 0 y del círculo unitario | z | = 1.
Ecuación diferencial
La función G satisface la siguiente ecuación diferencial lineal de orden max ( p , q ):
Para un conjunto fundamental de soluciones de esta ecuación en el caso de p ≤ q se puede tomar:
y de manera similar en el caso de p ≥ q :
Estas soluciones particulares son analíticas excepto por una posible singularidad en z = 0 (así como una posible singularidad en z = ∞), y en el caso de p = q también una singularidad inevitable en z = (−1) p - m - n . Como se verá a continuación, se pueden identificar con funciones hipergeométricas generalizadas p F q −1 del argumento (−1) p - m - n z que se multiplican por una potencia z b h , y con funciones hipergeométricas generalizadas q F p - 1 del argumento (−1) q - m - n z −1 que se multiplican por una potencia z a h −1 , respectivamente.
Relación entre la función G y la función hipergeométrica generalizada
Si la integral converge cuando se evalúa a lo largo de la segunda ruta introducida anteriormente, y si no aparecen polos confluentes entre Γ ( b j - s ), j = 1, 2, ..., m , entonces la función G de Meijer se puede expresar como una suma de residuos en términos de funciones hipergeométricas generalizadas p F q −1 (teorema de Slater):
La estrella indica que se omite el término correspondiente a j = h . Para que la integral converja a lo largo de la segunda trayectoria, uno debe tener p < q , o p = q y | z | <1, y para que los polos sean distintos, ningún par entre b j , j = 1, 2, ..., m , puede diferir en un número entero o en cero. Los asteriscos en la relación nos recuerdan ignorar la contribución con índice j = h de la siguiente manera: en el producto esto equivale a reemplazar Γ (0) con 1, y en el argumento de la función hipergeométrica, si recordamos el significado del vector notación,
esto equivale a acortar la longitud del vector de q a q -1.
Tenga en cuenta que cuando m = 0, la segunda ruta no contiene ningún polo, por lo que la integral debe desaparecer de manera idéntica,
si p < q , o p = q y | z | <1.
De manera similar, si la integral converge cuando se evalúa a lo largo del tercer camino anterior, y si no aparecen polos confluentes entre Γ (1 - a k + s ), k = 1, 2, ..., n , entonces la función G puede expresarse como:
Para esto, p > q , o p = q y | z | > 1 son obligatorios y ningún par entre a k , k = 1, 2, ..., n puede diferir en un número entero o en cero. Para n = 0, uno tiene, en consecuencia:
si p > q , o p = q y | z | > 1.
Por otro lado, cualquier función hipergeométrica generalizada se puede expresar fácilmente en términos de la función G de Meijer:
donde hemos hecho uso de la notación vectorial:
Esto es válido a menos que un valor entero no positivo de al menos uno de sus parámetros a p reduzca la función hipergeométrica a un polinomio finito, en cuyo caso el prefactor gamma de cualquiera de las funciones G desaparece y los conjuntos de parámetros de las funciones G violan el requisito a k - b j ≠ 1, 2, 3, ... para k = 1, 2, ..., n y j = 1, 2, ..., m de la definición anterior. Aparte de esta restricción, la relación es válida siempre que converja la serie hipergeométrica generalizada p F q ( z ), es decir, para cualquier z finito cuando p ≤ q y para | z | <1 cuando p = q + 1. En el último caso, la relación con la función G proporciona automáticamente la continuación analítica de p F q ( z ) a | z | ≥ 1 con una rama cortada de 1 a ∞ a lo largo del eje real. Finalmente, la relación proporciona una extensión natural de la definición de la función hipergeométrica a los órdenes p > q + 1. Por medio de la función G podemos así resolver la ecuación diferencial hipergeométrica generalizada para p > q + 1 también.
Casos polinomiales
Para expresar casos polinomiales de funciones hipergeométricas generalizadas en términos de funciones G de Meijer, se necesita una combinación lineal de dos funciones G en general:
donde h = 0, 1, 2, ... es igual al grado del polinomio p +1 F q ( z ). Las órdenes de m y n pueden ser elegidos libremente en los intervalos de 0 ≤ m ≤ q y 0 ≤ n ≤ p , lo que permite evitar que específica número entero valores o entero diferencias entre los parámetros de un p y b q de la dan lugar polinomio a divergente funciones gamma en la prefactor o a un conflicto con la definición de la función G . Tenga en cuenta que la primera función G desaparece para n = 0 si p > q , mientras que la segunda función G desaparece para m = 0 si p < q . Nuevamente, la fórmula se puede verificar expresando las dos funciones G como sumas de residuos ; No es necesario excluir aquí ningún caso de polos confluentes permitidos por la definición de la función G.
Propiedades básicas de la función G
Como puede verse en la definición de la función G , si aparecen parámetros iguales entre a p y b q determinando los factores en el numerador y el denominador del integrando, la fracción se puede simplificar y el orden de la función por lo tanto ser reducido. El hecho de que el orden m o n disminuya depende de la posición particular de los parámetros en cuestión. Por lo tanto, si una de las a k , k = 1, 2, ..., n , es igual a una de las b j , j = m + 1, ..., q , la función G baja sus órdenes p , q y n :
Por la misma razón, si uno de los a k , k = n + 1, ..., p , es igual a uno de los b j , j = 1, 2, ..., m , entonces la función G reduce su órdenes p , q y m :
A partir de la definición, también es posible derivar las siguientes propiedades:
Con respecto a las derivadas de la función G, se encuentran estas relaciones:
De estos cuatro, se pueden deducir relaciones equivalentes simplemente evaluando la derivada en el lado izquierdo y manipulando un poco. Se obtiene por ejemplo:
Además, para derivadas de orden arbitrario h , se tiene
que también son válidas para h <0, lo que permite obtener la antiderivada de cualquier función G tan fácilmente como la derivada. Al elegir uno u otro de los dos resultados proporcionados en cualquier fórmula, siempre se puede evitar que el conjunto de parámetros en el resultado viole la condición a k - b j ≠ 1, 2, 3, ... para k = 1, 2, ..., n y j = 1, 2, ..., m que se impone por la definición de la función G . Tenga en cuenta que cada par de resultados se vuelve desigual en el caso de h <0.
A partir de estas relaciones, se pueden derivar las propiedades correspondientes de la función hipergeométrica de Gauss y de otras funciones especiales.
Relaciones de recurrencia
Al igualar diferentes expresiones para las derivadas de primer orden, se llega a las siguientes relaciones de recurrencia de 3 términos entre funciones G contiguas:
Relaciones similares para los pares de parámetros diagonales a 1 , b q y b 1 , a p siguen una combinación adecuada de los anteriores. Una vez más, las propiedades correspondientes de las funciones hipergeométricas y otras funciones especiales pueden derivarse de estas relaciones de recurrencia.
Teoremas de multiplicación
Siempre que z ≠ 0, se cumplen las siguientes relaciones:
Estos siguen por la expansión de Taylor sobre w = 1, con la ayuda de las propiedades básicas discutidas anteriormente. Los radios de convergencia dependerán del valor de zy de la función G que se expanda. Las expansiones pueden considerarse como generalizaciones de teoremas similares para funciones de Bessel , hipergeométricas e hipergeométricas confluentes .
Integrales definidas que involucran la función G
Entre las integrales definidas que involucran una función G arbitraria, una tiene:
Tenga en cuenta que aquí se han omitido las restricciones bajo las cuales existe esta integral. Por supuesto, no es de extrañar que la transformada de Mellin de una función G conduzca de nuevo al integrando que aparece en la definición anterior.
Las integrales de tipo Euler para la función G están dadas por:
Se pueden encontrar amplias restricciones bajo las cuales existen estas integrales en la p. 417 de "Tablas de transformadas integrales", vol. II (1954), editado por A. Erdelyi. Tenga en cuenta que, en vista de su efecto sobre la función G, estas integrales pueden usarse para definir la operación de integración fraccional para una clase bastante grande de funciones ( operadores de Erdélyi-Kober ).
Un resultado de fundamental importancia es que el producto de dos funciones G arbitrarias integradas sobre el eje real positivo puede representarse simplemente por otra función G (teorema de convolución):
Las restricciones bajo las cuales existe la integral se pueden encontrar en Meijer, CS, 1941: Nederl. Akad. Wetensch, Proc. 44, págs. 82-92. Observe cómo la transformada de Mellin del resultado simplemente ensambla los factores gamma de las transformadas de Mellin de las dos funciones en el integrando.
La fórmula de convolución se puede derivar sustituyendo la integral de Mellin-Barnes que define una de las funciones G, invirtiendo el orden de integración y evaluando la integral de la transformada de Mellin interna. Las integrales de tipo Euler anteriores siguen de forma análoga.
Transformada de Laplace
Usando las propiedades básicas e integrales de convolución anteriores , se puede demostrar que:
donde Re ( ω )> 0. Esta es la transformada de Laplace de una función G ( ηx ) multiplicada por una potencia x - α ; si ponemos α = 0 obtenemos la transformada de Laplace de la función G. Como de costumbre, la transformada inversa viene dada por:
donde c es una constante positiva real que coloca la ruta de integración a la derecha de cualquier polo del integrando.
Otra fórmula para la transformada de Laplace de una función G es:
donde nuevamente Re ( ω )> 0. Los detalles de las restricciones bajo las cuales existen las integrales se han omitido en ambos casos.
Transformaciones integrales basadas en la función G
En general, dos funciones k ( z , y ) y h ( z , y ) se denominan un par de núcleos de transformación si, para cualquier función adecuada f ( z ) o cualquier función adecuada g ( z ), las dos relaciones siguientes se mantienen simultáneamente :
Se dice que el par de granos es simétrico si k ( z , y ) = h ( z , y ).
Transformación de Narain
Roop Narain ( 1962 , 1963a , 1963b ) mostró que las funciones:
son un par asimétrico de núcleos de transformación, donde γ > 0, n - p = m - q > 0 y:
junto con otras condiciones de convergencia. En particular, si p = q , m = n , a j + b j = 0 para j = 1, 2, ..., p y c j + d j = 0 para j = 1, 2, ..., m , entonces el par de granos se vuelve simétrico. La conocida transformada de Hankel es un caso especial simétrico de la transformada de Narain ( γ = 1, p = q = 0, m = n = 1, c 1 = - d 1 = ν ⁄ 2 ).
Transformación de debilucho
Jet Wimp ( 1964 ) mostró que estas funciones son un par asimétrico de núcleos de transformación:
donde la función A (·) se define como:
Transformada de Laplace generalizada
La transformada de Laplace se puede generalizar en estrecha analogía con la generalización de Narain de la transformada de Hankel:
donde γ > 0 , p ≤ q , y:
y donde la constante c > 0 coloca el segundo camino de integración a la derecha de cualquier polo en el integrando. Para γ = 1 ⁄ 2 , ρ = 0 yp = q = 0, esto corresponde a la conocida transformada de Laplace.
Transformación de Meijer
CS Meijer dio dos casos particulares de esta generalización en 1940 y 1941. El caso resultante para γ = 1, ρ = - ν , p = 0, q = 1 yb 1 = ν puede escribirse (Meijer 1940 ):
y el caso obtenido para γ = 1 / 2 , ρ = - m - k , p = q = 1, un 1 = m - k y b 1 = 2 m puede escribirse (Meijer 1941a ):
Aquí I nu y K ν son las funciones de Bessel modificadas de la primera y segunda clase, respectivamente, M k , m y W k , m son las funciones de Whittaker , y factores de escala constantes se han aplicado a las funciones f y g y sus argumentos s y t en el primer caso.
Representación de otras funciones en términos de la función G
La siguiente lista muestra cómo las funciones elementales familiares resultan como casos especiales de la función G de Meijer:
Aquí, H denota la función escalonada de Heaviside .
La siguiente lista muestra cómo se pueden expresar algunas funciones superiores en términos de la función G:
Incluso las derivadas de γ ( α , x ) y Γ ( α , x ) con respecto a α pueden expresarse en términos de la función G de Meijer. Aquí, γ y Γ son las funciones gamma incompletas inferior y superior , J ν e Y ν son las funciones de Bessel del primer y segundo tipo, respectivamente, I ν y K ν son las funciones de Bessel modificadas correspondientes, y Φ es el trascendente de Lerch .
Ver también
Gradshteyn y Ryzhik
Referencias
Andrews, LC (1985). Funciones especiales para ingenieros y matemáticos aplicados . Nueva York: MacMillan. ISBN 978-0-02-948650-4.
Askey, RA ; Daalhuis, Adri B. Olde (2010), "Meijer G-function" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
Bateman, H .; Erdélyi, A. (1953). Funciones trascendentales superiores, vol. Yo (PDF) . Nueva York: McGraw – Hill. (ver § 5.3, "Definición de la función G", pág. 206)
Beals, Richard; Szmigielski, Jacek (2013). "Funciones G de Meijer: una suave introducción" (PDF) . Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense . 60 (7): 866. doi : 10.1090 / noti1016 .
Brychkov, Yu. A.; Prudnikov, AP (2001) [1994], "Transformada de Meijer" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Yuri Veniaminovich ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [Octubre de 2014]. "9.3". En Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (eds.). Tabla de Integrales, Series y Productos . Traducido por Scripta Technica, Inc. (8 ed.). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276 .
Klimyk, AU (2001) [1994], "Funciones G de Meijer" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
Luke, Yudell L. (1969). Las funciones especiales y sus aproximaciones, vol. Yo . Nueva York: Academic Press. ISBN 978-0-12-459901-7. (ver Capítulo V, "La función hipergeométrica generalizada y la función G", pág. 136)
Meijer, CS (1936). "Über Whittakersche bzw. Besselsche Funktionen und deren Produkte". Nieuw Archief voor Wiskunde (2) (en alemán). 18 (4): 10–39. JFM 62.0421.02 .
Meijer, CS (1940). "Über eine Erweiterung der Laplace-Transformation - I, II". Actas de la Sección de Ciencias, Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Amsterdam) (en alemán). 43 : 599–608 y 702–711. JFM 66.0523.01 .
Meijer, CS (1941a). "Eine neue Erweiterung der Laplace-Transformation - I, II". Actas de la Sección de Ciencias, Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Amsterdam) (en alemán). 44 : 727–737 y 831–839. JFM 67.0396.01 .
Meijer, CS (1941b). "Multiplikationstheoreme für die Funktion". Actas de la Sección de Ciencias, Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Amsterdam) (en alemán). 44 : 1062–1070. JFM 67.1016.01 .
Narain, Roop (1962). "Las funciones G como núcleos de Fourier asimétricos - I" (PDF) . Actas de la American Mathematical Society . 13 (6): 950–959. doi : 10.1090 / S0002-9939-1962-0144157-5 . Señor 0144157 .
Narain, Roop (1963a). "Las funciones G como núcleos de Fourier asimétricos - II" (PDF) . Actas de la American Mathematical Society . 14 (1): 18-28. doi : 10.1090 / S0002-9939-1963-0145263-2 . Señor 0145263 .
Narain, Roop (1963b). "Las funciones G como núcleos de Fourier asimétricos - III" (PDF) . Actas de la American Mathematical Society . 14 (2): 271–277. doi : 10.1090 / S0002-9939-1963-0149210-9 . Señor 0149210 .
Prudnikov, AP; Marichev, OI; Brychkov, Yu. A. (1990). Integrales y Series, Vol. 3: Funciones más especiales . Newark, Nueva Jersey: Gordon y Breach. ISBN 978-2-88124-682-1. (ver § 8.2, "La función G de Meijer", p. 617)
Slater, Lucy Joan (1966). Funciones hipergeométricas generalizadas . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-06483-5. (hay un libro de bolsillo de 2008 con ISBN 978-0-521-09061-2 )
Cobarde, Jet (1964). "Una clase de transformaciones integrales" . Actas de la Sociedad Matemática de Edimburgo . Serie 2. 14 : 33–40. doi : 10.1017 / S0013091500011202 . Señor 0164204 . Zbl 0127.05701 .
enlaces externos
Weisstein, Eric W. "Función G de Meijer" . MathWorld .